Sarake- ja nolla-avaruuden kannan määrääminen¶

Esitetään seuraavaksi algoritmi, jonka avulla voidaan löytää kannat sarake- ja nolla-avaruuksille. Todistetaan ensin tulos, johon algoritmi perustuu.

Lause.

Matriisin \(A\) sarakeavaruuden \(R(A)\) kanta muodostuu niistä \(A\):n sarakevektoreista, joiden kohdalla johtavat ykköset sijaitsevat redusoidussa riviporrasmuodossa \(\text{rref}(A)\).

Todistus. Olkoot \(\vv_1,...,\vv_k\) matriisin \(A\) ne sarakevektorit, joiden kohdille redusoidussa riviporrasmuodossa \(\text{rref}(A)\) johtavat ykköset sijaitsevat. Koska yhtälöllä \(\begin{bmatrix} \vv_1&...&\vv_k\end{bmatrix}\xx=\nol\) on vain triviaaliratkaisu \(\xx=\nol\) ovat vektorit lineaarisesti riippumattomat.

Oletetaan, että \(\uu_1,...,\uu_l\) ovat loput \(A\):n sarakevektorit. Gaußin eliminoinnin nojalla nähdään, että yhtälöllä \(\begin{bmatrix} \vv_1&...&\vv_k & \uu_j \end{bmatrix}\xx=\nol\) on aina ei-triviaaliratkaisuja jokaisella \(j=1,..,l\). Näin ollen kannan vektorien määrän kasvattamista kuvaavan seurauslauseen nojalla

\[\Span\{\vv_1,...,\vv_k\}=\Span\{\vv_1,...,\vv_k,\uu_1,...,\uu_l\}=R(A),\]

joka osoittaa, että \(\vv_1,...,\vv_k\) on kanta. \(\square\)

Nolla-avaruuden kanta puolestaan löydetään helposti tutkimalla homogeenisen yhtälön \(A\xx=\nol\) ratkaisua. Listataan nyt:

Algoritmi sarake-ja nolla-avaruuksien kannan laskemiseksi

Etsi matriisin \(A\) redusoitu vaakariviporrasmuoto \(\text{rref}(A)\).
Valitse matriisista \(A\) ne sarakkeet, joita vastaavissa sarakkeissa matriisissa \(\text{rref}(A)\) on johtavat ykköset. Nämä matriisin \(A\) sarakkeet eli pystyvektorit muodostavat matriisin \(A\) sarakeavaruuden \(R(A)\) kannan.
Ratkaise johtavat muuttujat matriisiyhtälöstä \(\text{rref}(A)\xx=\nol\) vapaiden muuttujien avulla (käyttäen parametrejä). Kirjoita tulos \(k\) vektorin lineaarikombinaationa (\(k\) on vapaiden muuttujien lkm). Lineaarikombinaatiossa olevat \(k\) vektoria muodostavat matriisin \(A\) nolla-avaruuden \(N(A)\) kannan.

Havainnollistetaan tätä esimerkin avulla.

Esimerkki. :class: caution

Määrää matriisin

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ -1 & -1 & 3 & 3 \end{bmatrix}\end{split}\]

sarake- ja nolla-avaruuksien kannat.

Ratkaisu.

Muunnetaan matriisi redusoituun riviporrasmuotoon, joka on

\[\begin{split}\text{rref}(A)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -10 & -8\\ 0 & 1 & 7 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Koska johtavat ykköset ovat \(1.\) ja \(2.\) sarakkeessa, valitaan sarakeavaruuden \(R(A)\) kannaksi

\[\begin{split}\Big\{ \begin{bmatrix} 1\\2\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\3\\-1\end{bmatrix}\Big\}.\end{split}\]

Samalla nähdään, että \(\dim{R(A)}=2\). Koska yhtälöillä \(A\xx=\nol\) ja \(\text{rref}(A)\xx=\nol\) on sama ratkaisu, voidaan ratkaisu lukea suoraan redusoidusta riviporrasmuodosta, siis homogeenisen yhtälön ratkaisu on

\[\begin{split}\begin{aligned} x_1 &=10t+8s\\ x_2 &=-7t-5s\\ x_3&=t\\ x_4&=s\end{aligned}\end{split}\]

joka vektorimuodossa

\[\begin{split}\xx=\begin{bmatrix}10\\-7\\ 1\\ 0\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}8\\-5\\ 0\\ 1\end{bmatrix}s,\end{split}\]

joten nolla-avaruuden \(N(A)\) kannaksi voidaan valita

\[\begin{split}\Big\{ \begin{bmatrix}10\\-7\\ 1\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}8\\-5\\ 0\\ 1\end{bmatrix} \Big\}\end{split}\]

jotka ovat selvästi lineaarisesti riippumattomat. Lisäksi \(\dim{N(A)}=2\).