Sarake- ja nolla-avaruuden kannan määrääminen¶

Esitetään seuraavaksi algoritmi, jonka avulla voidaan löytää kannat sarake- ja nolla-avaruuksille. Todistetaan ensin tulos, johon algoritmi perustuu.

Lause.

Matriisin $A$ sarakeavaruuden $R(A)$ kanta muodostuu niistä $A$ :n sarakevektoreista, joiden kohdalla johtavat ykköset sijaitsevat redusoidussa riviporrasmuodossa $\text{rref}(A)$ .

Todistus. Olkoot

$\vv_1,...,\vv_k$ matriisin

$A$ ne sarakevektorit, joiden kohdille redusoidussa riviporrasmuodossa

$\text{rref}(A)$ johtavat ykköset sijaitsevat. Koska yhtälöllä

$\begin{bmatrix} \vv_1&...&\vv_k\end{bmatrix}\xx=\nol$ on vain triviaaliratkaisu

$\xx=\nol$ ovat vektorit lineaarisesti riippumattomat.

Oletetaan, että

$\uu_1,...,\uu_l$ ovat loput

$A$ :n sarakevektorit. Gaußin eliminoinnin nojalla nähdään, että yhtälöllä

$\begin{bmatrix} \vv_1&...&\vv_k & \uu_j \end{bmatrix}\xx=\nol$ on aina ei-triviaaliratkaisuja jokaisella

$j=1,..,l$ . Näin ollen kannan vektorien määrän kasvattamista kuvaavan seurauslauseen nojalla

$\Span\{\vv_1,...,\vv_k\}=\Span\{\vv_1,...,\vv_k,\uu_1,...,\uu_l\}=R(A),$

joka osoittaa, että $\vv_1,...,\vv_k$ on kanta. $\square$

Nolla-avaruuden kanta puolestaan löydetään helposti tutkimalla homogeenisen yhtälön

$A\xx=\nol$ ratkaisua. Listataan nyt:

Algoritmi sarake-ja nolla-avaruuksien kannan laskemiseksi

Etsi matriisin $A$ redusoitu vaakariviporrasmuoto $\text{rref}(A)$ .
Valitse matriisista $A$ ne sarakkeet, joita vastaavissa sarakkeissa matriisissa $\text{rref}(A)$ on johtavat ykköset. Nämä matriisin $A$ sarakkeet eli pystyvektorit muodostavat matriisin $A$ sarakeavaruuden $R(A)$ kannan.
Ratkaise johtavat muuttujat matriisiyhtälöstä $\text{rref}(A)\xx=\nol$ vapaiden muuttujien avulla (käyttäen parametrejä). Kirjoita tulos $k$ vektorin lineaarikombinaationa ( $k$ on vapaiden muuttujien lkm). Lineaarikombinaatiossa olevat $k$ vektoria muodostavat matriisin $A$ nolla-avaruuden $N(A)$ kannan.

Havainnollistetaan tätä esimerkin avulla.

Esimerkki. :class: caution

Määrää matriisin

$\begin{split}A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ -1 & -1 & 3 & 3 \end{bmatrix}\end{split}$

sarake- ja nolla-avaruuksien kannat.

Ratkaisu.

Muunnetaan matriisi redusoituun riviporrasmuotoon, joka on

$\begin{split}\text{rref}(A)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -10 & -8\\ 0 & 1 & 7 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\end{split}$

Koska johtavat ykköset ovat $1.$ ja $2.$ sarakkeessa, valitaan sarakeavaruuden $R(A)$ kannaksi

$\begin{split}\Big\{ \begin{bmatrix} 1\\2\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2\\3\\-1\end{bmatrix}\Big\}.\end{split}$

Samalla nähdään, että $\dim{R(A)}=2$ . Koska yhtälöillä $A\xx=\nol$ ja $\text{rref}(A)\xx=\nol$ on sama ratkaisu, voidaan ratkaisu lukea suoraan redusoidusta riviporrasmuodosta, siis homogeenisen yhtälön ratkaisu on

$\begin{split}\begin{aligned} x_1 &=10t+8s\\ x_2 &=-7t-5s\\ x_3&=t\\ x_4&=s\end{aligned}\end{split}$

joka vektorimuodossa

$\begin{split}\xx=\begin{bmatrix}10\\-7\\ 1\\ 0\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}8\\-5\\ 0\\ 1\end{bmatrix}s,\end{split}$

joten nolla-avaruuden $N(A)$ kannaksi voidaan valita

$\begin{split}\Big\{ \begin{bmatrix}10\\-7\\ 1\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}8\\-5\\ 0\\ 1\end{bmatrix} \Big\}\end{split}$

jotka ovat selvästi lineaarisesti riippumattomat. Lisäksi $\dim{N(A)}=2$ .