1. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus »
  2. Jatkuvuus
\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Jatkuvuus

Funktion jatkuvuus on intuitiivisesti yksinkertainen käsite. Reaalifunktioiden tapauksessa jatkuvuus voidaan tulkita geometrisesti siten, että jatkuvan funktion kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. Jatkuvuuden luonteesta johtuen jatkuvien funktioiden käytös on paikallisesti hallitumpaa verrattuna epäjatkuviin funktioihin, minkä vuoksi niillä on myös paljon hyödyllisiä ominaisuuksia. Näitä ominaisuuksia esitellään myöhemmin tässä osiossa jatkuvuuden määrittelyn jälkeen.

Matemaattisesti jatkuvuutta tarkastellaan jonkin pisteen \(a\) suhteen. Kynäluonnehdinnasta voidaan päätellä ehdot, jotka jatkuvan funktion tulee täyttää. Ensinnäkin funktion pitää olla määritely pisteessä \(a\), sillä muuten kuvaajassa olisi tässä kohtaa aukko. Jotta kynää ei tarvitse nostaa paperista, pitää funktion arvoa \(f(a)\) voida lähestyä sen kummaltakin puolelta. Raja-arvojen kontekstissa tämä tarkoittaa sitä, että funktiolla pitää olla raja-arvo pisteessä \(a\). Tämä raja-arvo ei kuitenkaan voi olla mikä tahansa, vaan sen pitää olla yhtä suuri kuin funktion arvo \(f(a)\).

Määritelmä 4.4.1

Olkoon funktio \(f\) määritelty pisteen \(a\) ympäristössä \((c, d)\). Sanotaan, että \(f\) on jatkuva (continuous) pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a}f(x).\]

Jos funktio \(f\) ei ole jatkuva pisteessä \(a\), niin sitä kutsutaan epäjatkuvaksi pisteessä \(a\).

Siinä missä raja-arvo ei ota kantaa, mitä funktiolle tapahtuu pisteessä \(a\), funktion jatkuvuus vaatii, että funktio on määritelty jatkuvuuden tarkastelupisteessä. Toisin sanoen funktion jatkuvuudesta pisteessä \(a\) ei voida puhua, jos funktio ei ole määritelty siinä, vaikka raja-arvosta mahdollisesti voidaan. Funktion jatkuvuus pisteessä \(a\) voidaan siten kiteyttää kolmeen vaatimukseen:

  1. Funktio on määritelty pisteessä \(a\), eli \(f(a)\) on olemassa.
  2. Funktiolla on raja-arvo pisteessä \(a\), eli \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\) on olemassa.
  3. Funktion arvo ja raja-arvo pisteessä \(a\) ovat yhtä suuret, eli \(f(a) = \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\).
../_images/jatkuvuuden-havainnollistus1.svg
../_images/jatkuvuuden-havainnollistus2.svg
../_images/jatkuvuuden-havainnollistus3.svg

Yllä olevista kuvaajista oikeanpuoleisin kuuluu funktiolle, joka on jatkuva pisteessä \(a\). Muut kuvastavat pisteessä \(a\) epäjatkuvia funktioita. Mieti, miksi!

Esimerkki 4.4.2

  1. Esimerkin 4.2.11 funktiota \(g : \R\setminus\{0\}\to\R\),

    \[g(x) = x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\]

    ei ole määritelty pisteessä \(0\), mutta sillä on raja-arvo \(\lim\limits_{x\to0}g(x)=0\). Niinpä funktio \(f\colon\R\to\R\),

    \[\begin{split}f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&\text{kun }x\ne0\\ 0,&\text{kun }x=0\end{cases}\end{split}\]

    on jatkuva pisteessä \(0\). Funktio \(g\) saadaan siis jatkettua jatkuvaksi funktioksi pisteessä \(0\), kun määritellään \(g(0)\) sopivasti. Tällöin sanotaan, että piste \(0\) on funktion \(g\) poistuva epäjatkuvuuspiste.

  2. Pohdi, miksei esimerkin 4.1.1 kohtien 2–5 funktiota \(f\) saada millään määrittelyllä \(f(0)\) jatkuvaksi pisteessä \(0\).

Jatkuvuutta on nyt tarkasteltu pisteen \(a\) ympäristössä. Jos jatkuvuutta halutaan tutkia välin päätepisteissä, pitää se määritellä erikseen. Tämä onnistuu toispuoleisten raja-arvojen avulla.

Määritelmä 4.4.3

Välillä \([a,d)\) määritelty funktio \(f\) on oikealta puolijatkuva pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a+}f(x).\]

Vastaavasti välillä \((c,a]\) määritelty funktio \(f\) on vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a-}f(x).\]

Jos funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(a\), se on selvästi myös sekä oikealta että vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(a\). Seuraavassa esimerkissä havainnollistetaan funktiota, joka on puolijatkuva vasemmalta mutta ei oikealta. Esimerkki havainnollistaa myös hyppäysepäjatkuvuutta, joka määritellään esimerkin jälkeen.

Esimerkki 4.4.4

Funktio

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x\le1\\ 2-x,&\text{kun }x>1 \end{cases}\end{split}\]

on vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(1\) mutta ei oikealta.

../_images/funktiohyppyepajatkuvuus.svg

Määritelmä 4.4.5

Olkoon funktiolla \(f\) olemassa äärelliset toispuoliset raja-arvot pisteessä \(a\). Jos

\[\lim_{x\to a-} f(x) \not= \lim_{x\to a+} f(x),\]

niin funktiolla sanotaan olevan hyppäysepäjatkuvuuspiste pisteessä \(a\).

Tähän asti funktion jatkuvuutta on tarkasteltu vain yksittäisten pisteiden suhteen. Usein yksittäisten pisteiden sijaan jatkuvuutta halutaan tutkia erilaisilla reaalilukuväleillä tai näistä koostuvissa joukoissa. Määritellään nämä käsitteet seuraavaksi.

Määritelmä 4.4.6

Olkoon \(I\) reaalilukuväli ja funktio \(f\) määritelty joukossa \(I\). Funktion \(f\) on jatkuvuus välillä \(I\) määritellään välin eri tapauksissa seuraavasti.

  1. \(I=(c, d)\): Funktio \(f\) on jatkuva välillä \(I\), jos se on jatkuva jokaisessa välin \((c, d)\) pisteessä.
  2. \(I=[c, d)\): Funktio \(f\) on jatkuva välillä \(I\), jos se on jatkuva välillä \((c,d)\) ja oikealta puolijatkuva pisteessä \(c\).
  3. \(I=(c,d]\): Funktio \(f\) on jatkuva välillä \(I\), jos se on jatkuva välillä \((c, d)\) ja vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(d\).
  4. \(I=[c,d]\): Funktio \(f\) on jatkuva välillä \(I\), jos se on jatkuva välillä \((c, d)\) ja puolijatkuva välin kummassakin päätepisteessä.

Olkoot \(I_1, I_2, \ldots, I_n\) reaalilukuvälejä, \(A = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_n\) ja funktio \(f\) määritelty joukossa \(A\). Funktio \(f\) on jatkuva joukossa \(A\), jos se on jatkuva jokaisella välillä \(I_j\), \(j = 1, \ldots, n\).

Lisäksi funktio on paloittain jatkuva välillä \(I\), jos sillä on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä ja ne kaikki ovat hyppäysepäjatkuvuuksia.

Jatkossa joukolla \(I\) tarkoitetaan yleistä reaalilukuväliä, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu sekä rajoitettu tai rajoittamaton. Jos funktio \(f\) on jatkuva koko määrittelyjoukossaan, kutsutaan sitä usein yksinkertaisesti jatkuvaksi.

Tunnista tekniikassa melko usein esiintyviä paloittain jatkuvia funktioita kuvaajan perusteella. Esiintyviä nimiä ei tarvitse muistaa tällä kurssilla. Kirjoita laatikoihin oikeiden kuvien numerot.

../_images/KMT-vko4-paljvuus-kuvat.svg
Diracin deltafunktio \(\delta(x)= \begin{cases} 0, & \text{jos } x\neq 0 \\ 1, & \text{jos } x=0 \end{cases}\) (signaalinkäsittelyssä yksikköimpulssifunktio)
Heavisiden funktio \(H(x)= \begin{cases} 1, & \text{jos } x\geq 0 \\ 0, & \text{jos } x<0 \end{cases}\) (säätötekniikassa kuvaa päälle laitettavaa ja jäävää kytkintä)
Signum-funktio \(\sgn(x)\) (ilmoittaa luvun etumerkin)
Lattiafunktio \(\lfloor x \rfloor\) (pyöristys alaspäin)
Kattofunktio \(\lceil x \rceil\) (pyöristys ylöspäin)
Kanttiaalto
Saha-aalto
Kolmioaalto (on itse asiassa jatkuva funktio)

Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia

Raja-arvon laskusääntöjen mukaisesti jatkuvien funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat myös jatkuvia.

Lause 4.4.7

Olkoot funktiot \(f\) ja \(g\) jatkuvia pisteessä \(a\). Tällöin \(f(x)+g(x)\), \(f(x)-g(x)\) ja \(f(x)g(x)\) ovat jatkuvia pisteessä \(a\). Jos lisäksi \(g(a)\ne0\), niin myös \(\frac{f(x)}{g(x)}\) on jatkuva pisteessä \(a\).

Piilota/näytä todistus

Todistetaan näistä funktioiden \(f\) ja \(g\) summa esimerkiksi. Muut kohdat todistetaan vastaavasti.

Olkoot \(f\) ja \(g\) jatkuvia pisteessä \(a\). Jatkuvuuden määritelmän mukaan siis

\[\lim_{x\to a} f(x) = f(a) \qquad \text{ja} \qquad \lim_{x\to a} g(x) = g(a).\]

Nyt lauseen 4.2.5 neljännen kohdan mukaan

\[\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x) = f(a) + g(a),\]

eli funktioiden summa on määritelmän mukaan jatkuva pisteessä \(a\).

Koska funktio \(g(x) = x\) on selvästi jatkuva, edellisestä lauseesta seuraa, että jokainen polynomifunktio

\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\]

on jatkuva joukossa \(\R\) ja siten jokainen rationaalifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan.

Esimerkki 4.4.8

  1. Funktio \(f(x)=-3x^2+7x-1\) on jatkuva joukossa \(\R\).

  2. Funktio \(f(x)=\dfrac1x\) on jatkuva määrittelyjoukossaan \(\R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)\).

  3. Funktio

    \[f(x)=\frac{x^2+5x+6}{x^2-2x-8}\]

    on jatkuva määrittelyjoukossaan \(\R\setminus\{-2,4\}\).

    Koska \(x=-2\) on sekä osoittajan että nimittäjän nollakohta, lauseen 3.3.4 nojalla ne voidaan jakaa tekijöihin, joista yhteinen tekijä \((x-(-2))\) supistuu pois.

    \[f(x)=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-4)}=\frac{x+3}{x-4} \to \frac{-2+3}{-2-4} = - \frac{1}{6},\]

    kun \(x\to -2\). Siispä piste \(-2\) on funktion \(f\) poistuva epäjatkuvuuspiste. Määrittelemällä \(f(-2) = \frac{1}{6}\) funktio \(f\) saadaan jatkuvaksi joukkoon \(\R\setminus\{4\}\) .

  4. Esimerkin 4.4.4 funktio on paloittain jatkuva joukossa \(\R\) ja kohdan 3 funktio on paloittain jatkuva joukossa \(\R\setminus\{4\}\). Miksi kohtien 2 ja 3 funktiot eivät ole paloittain jatkuvia koko reaalilukujen joukossa?

Jatkuvista funktioista muodostettu yhdistetty funktio on myös jatkuva.

Lause 4.4.9

Olkoon funktio \(g\) jatkuva pisteessä \(a\) ja olkoon funktio \(f\) jatkuva pisteessä \(g(a)\). Tällöin yhdistetty funktio \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) on jatkuva pisteessä \(a\).

Piilota/näytä todistus

Olkoon funktio \(g\) jatkuva pisteessä \(a\) ja olkoon funktio \(f\) jatkuva pisteessä \(g(a)\). Määritelmällisesti siis

\[\lim_{x\to a} g(x) = g(a) \qquad \text{ja} \qquad \lim_{x\to g(a)} f(x) = f(g(a)).\]

Nyt lauseen 4.2.5 viimeisen kohdan nojalla (\(M = g(a)\))

\[\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = \lim_{x\to a} f(g(x)) = f(g(a))=(f \circ g)(a),\]

eli yhdistetty funktio on jatkuva pisteessä \(a\).

Esimerkki 4.4.10

Aiemmin on jo todettu, että \(\sqrt{x}\to\sqrt{a}\), kun \(x\to a\) ja \(a,x > 0\). Siis \(\sqrt{x}\) on jatkuva joukossa \([0,\infty)\) ja täten funktio \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x-4}}\) on jatkuva määrittelyjoukossaan \((-\infty,-3]\cup(4,\infty)\).

Seuraavat funktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan, mutta mikä niistä on paloittain jatkuva joukossa \(\R\)? Jos et muuten keksi vastausta, piirrä funktioiden kuvaajat.
Merkitään edellisen kohdan oikeaa vastausta funktiona \(f(x)\). Mikä seuraavista pätee funktiolle \(f\)?
Käytetään edelleen samasta funktiosta merkintää \(f\). Onko funktion epäjatkuvuuspiste poistuva?

Seuraavaksi esitellään tärkeä lause, jonka avulla voidaan perustella, mitä arvoja jatkuva funktio saavuttaa suljetulla ja rajoitetulla välillä. Lauseen tärkeydestä kielii myös se, että sille on annettu erillinen nimi jatkuvien funktioiden väliarvolause. Lauseen todistaminen sivuutetaan sen vaativuuden vuoksi, mutta lauseen tulos vaikuttaa ilmiselvältä, kun sitä perustelee jatkuvuuden kynätulkinnan avulla.

Lause 4.4.11 (Jatkuvien funktioiden väliarvolause)

Olkoon funktio \(f\) jatkuva suljetulla ja rajoitetulla välillä \([a,b]\). Jos \(y \in [f(a), f(b)]\), niin väliltä \([a, b]\) löydetään jokin piste \(c\), jolle \(f(c) = y\). Toisin sanoen funktio \(f\) saavuttaa kaikki lukujen \(f(a)\) ja \(f(b)\) välissä olevat arvot.

Tässä esitelty väliarvolause koskee jatkuvia funktioita. Myöhemmin derivaatan yhteydessä esitellään differentiaalilaskennan väliarvolause, ja kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta kerrotaan lisäksi integraalilaskennan väliarvolauseesta. Nämä kaikki lauseet jakavat saman piirteen, eli lauseet kertovat tietyn pisteen \(c\) olemassaolosta mutta eivät anna mitään varsinaista keinoa löytää tai määrittää sitä. Usein matematiikassa pelkkä tietoisuus tällaisen luvun olemassaolosta on riittävän voimakas argumentti esimerkiksi todistuksissa. Lisäksi on mukavampaa yrittää etsiä ja määrittää jotain lukua, kun tietää varmaksi, että se ylipäätään on olemassa.

Hyvin tunnettu väliarvolauseen erikoistapaus on Bolzanon lause.

Lause 4.4.12 (Bolzanon lause)

Olkoon funktio \(f\) jatkuva suljetulla ja rajoitetulla välillä \([a,b]\) ja olkoot \(f(a)\) ja \(f(b)\) erimerkkiset. Tällöin väliltä \([a, b]\) löydetään jokin piste \(c\), jolle \(f(c) = 0\), eli funktiolla \(f\) on nollakohta välillä \([a, b]\).

Kynätulkinnan avulla perusteltuna lause on ilmeinen: jos pisteissä \(a\) ja \(b\) kynä on eri puolilla \(x\)-akselia, niin jossain kohtaa matkalla pisteestä \(a\) pisteeseen \(b\) pitää kulkea \(x\)-akselin yli, mikäli kynää ei saa nostaa paperista. Tästä ylimenokohdasta löydetään lauseen takaama nollakohta.

Esimerkki 4.4.13

Tutkitaan jatkuvan funktion \(f(x)=x^5-3x+1\) nollakohtia. Tiedetään, että tällä viidennen asteen polynomifunktiolla on korkeintaan \(5\) reaalista nollakohtaa, mutta yleistä ratkaisukaavaa niiden löytämiseksi ei ole.

Lasketaan funktion arvoja muutamissa pisteissä. Koska \(f(-2)=-25<0\) ja \(f(-1)=3>0\), niin Bolzanon lauseen nojalla välillä \([-2,-1]\) on oltava ainakin yksi nollakohta. Puolivälissä \(f(-1.5)\approx-2.09<0\), joten nollakohta on välillä \([-1.5,-1]\). Tämän välin puolivälissä \(f(-1.25)\approx1.70>0\), joten nollakohta on välillä \([-1.5,-1.25]\). Näin jatkamalla saadaan nollakohta määritettyä haluttuun tarkkuuteen. Kyseisen nollakohdan likiarvo yhdeksällä desimaalilla on \(-1.388~791~984\).

Tätä yksinkertaista numeerista tapaa löytää funktion nollakohtia kutsutaan puolitusmenetelmäksi.

Tarkastellaan funktioita

\[f(x)=-2x^3+7x^2-3 \qquad\text{ja}\qquad g(x)=\frac{2x-3}{2x-5}.\]
Valitse seuraavista kaikki välit, joiden päätepisteissä saadaan erimerkkiset funktion \(f\) arvot. Jos et saa lainkaan palautetta, et ole vielä valinnut kaikkia oikeita vastauksia.
Mitä voit näiden välien tutkimisen jälkeen sanoa funktion \(f\) nollakohdista Bolzanon lauseen huomioon ottaen? Välillä \([-1,4]\)
Vaihdetaan funktiota. Valitse seuraavista kaikki välit, joiden päätepisteissä saadaan erimerkkiset funktion \(g\) arvot. Jos et saa lainkaan palautetta, et ole vielä valinnut kaikkia oikeita vastauksia.
Mitä tiedät aikaisempien lukujen perusteella olevan totta rationaalifunktiolle \(g\)?
Miksi Bolzanon lause ei tässä tapauksessa kerro nollakohtien määrää oikein?

Lauseen 2.4.2 perusteella aidosti monotoninen funktio \(f : I\to\R\) on injektio ja tästä seuraa, että sen maalijoukoltaan rajoitetulla versiolla \(f : I\to f(I)\) on olemassa käänteisfunktio \(f^{-1} : f(I)\to I\). Jos funktio \(f\) on vielä jatkuva, niin sama on voimassa myös käänteisfunktiolle \(f^{-1}\).

Lause 4.4.14

Välillä \(I\) aidosti kasvavan (vähenevän) jatkuvan funktion \(f\) kuvajoukko \(f(I)\) on reaalilukuväli, ja käänteisfunktio \(f^{-1} : f(I)\to I\) on jatkuva.

Piilota/näytä todistus

Annetaan todistusten idea ja sivuutetaan täsmälliset todistukset. Olkoon funktio \(f\) aidosti kasvava ja jatkuva. Aidosti vähenevän funktion tapaus todistuu vastaavasti. Käsitellään väitteet yksi kerrallaan.

  1. Kuvajoukko \(f(I)\) on reaalilukuväli.

    Havainnollistetaan todistusta tapauksessa, jossa \(I = [a, b]\), missä \(a < b\). Koska \(f\) on aidosti kasvava \(f(a) \leq f(x) \leq f(b)\) aina, kun \(x \in [a, b]\), joten \(f(I) \subseteq [f(a), f(b)]\). Toisaalta jatkuvien funktioiden väliarvolauseen nojalla \(f\) saavuttaa kaikki arvot välillä \([f(a), f(b)]\), joten \([f(a), f(b)] \subseteq f(I)\). Täten kuvajoukko on \(f(I) = [f(a), f(b)]\), eli se on reaalilukuväli.

  2. Käänteisfunktio \(f^{-1}\) on jatkuva.

    Väite on intuitiivisesti selvä, sillä jos funktion \(f\) kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista, niin sama on totta myös sen peilikuvalle suoran \(y=x\) suhteen.

Alkeisfunktioiden jatkuvuus

Aiemmin todettiin jo, että jokainen polynomi- ja rationaalifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan. Tässä osiossa todetaan muidenkin alkeisfunktioiden olevan jatkuvia koko määrittelyjoukossaan. Tällöin niiden avulla eri aritmeettisin laskutoimituksin muodostetut funktiot ja niistä muodostetut yhdistetyt funktiot ovat myös jatkuvia määrittelyjoukossaan lauseen 4.4.7 ja lauseen 4.4.9 perusteella. Lisäksi lause 4.4.14 perustelee sen, miksi tällaisten funktioiden käänteisfunktiot ovat jatkuvia, mikäli käänteisfunktiot ovat olemassa.

Lause 4.4.15

Potenssifunktio \(x^r\), \(r\in\Q\), on jatkuva määrittelyjoukossaan.

Piilota/näytä todistus

Jaetaan todistus kahteen osaan.

  1. \(r = \frac{1}{n}\), missä \(n \in \N\). Tällöin potenssilausekkeen \(x^r\) määräämä funktio on aidosti kasvavan ja jatkuvan funktion \(f(x) = x^n\) käänteisfunktio, ja täten jatkuva.
  2. \(r = \frac{m}{n}\), missä \(m \in \Z\) ja \(n \in \N\). Tällöin potenssilausekkeen \(x^r\) määräämä funktio on jatkuvien funktioiden \(f(x) = x^m\) ja \(g(x) = x^{\frac{1}{n}}\) yhdisteenä jatkuva.

Myös yleinen potenssifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan, mutta sen todistaminen vaatii tietoa eksponentti- ja logaritmifunktioiden jatkuvuudesta. Todistetaan seuraavaksi loput alkeisfunktiot jatkuviksi alkaen trigonometrisista funktioista.

Lause 4.4.16

Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Piilota/näytä todistus

Olkoon \(a\) reaaliluku. Sinifunktion tapauksessa on osoitettava, että

\[\lim_{x\to a}\sin x=\sin a,\]

eli yhtäpitävästi kun \(x = a + h\)

\[\lim_{h\to0}\sin(a+h)=\sin a.\]

Sinin summakaavan ja raja-arvojen laskusääntöjen avulla saadaan

\[\lim_{h \to 0}\sin(a+h)=\sin a\left(\lim_{h \to 0}\cos h\right)+\cos a\left(\lim_{h \to 0}\sin h\right) = \sin a \cdot 1 + \cos a \cdot 0 = \sin a.\]

missä \(\lim\limits_{h\to0}\sin h=0\) ja \(\lim\limits_{h\to0}\cos h=1\) lauseen 4.2.12 nojalla. Kosinifunktiota koskeva väite todistetaan vastaavasti. Tangenttifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan, sillä se on jatkuvien funktioiden osamäärä. Arkusfunktioiden jatkuvuus seuraa nyt lauseesta 4.4.14.

Lause 4.4.17

Eksponentti- ja logaritmifunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Piilota/näytä todistus
Eksponenttifunktion määritelmä koko reaalilukujen joukossa nojaa jo raja-arvon käsitteeseen, jolloin jatkuvuus on sen luonnollinen ominaisuus. Tarkempi todistus sivuutetaan. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktiona jatkuva.

Seuraus 4.4.18

Yleinen potenssifunktio \(x^a\), \(a\in\R\) on jatkuva määrittelyjoukossaan.

Piilota/näytä todistus
Yleinen potenssifunktio määritellään eksponentti- ja logaritmifunktion avulla, ja se voidaan tulkita jatkuvien funktioiden \(f(x) = e^x\) ja \(g(x) = a\ln x\) yhdisteeksi \(f\circ g\), joka on jatkuva.

Seuraus 4.4.19

Hyperboliset funktiot ja areafunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Piilota/näytä todistus
Hyperboliset funktiot määritellään eksponenttifunktion ja aritmeettisten laskutoimitusten avulla, ja areafunktiot ovat niiden käänteisfunktiot.