- MAT-01330
- 3. Integraalikäsitteen laajennuksia ja sovelluksia
- 3.2 Integraalin geometrisia sovelluksia
Integraalin geometrisia sovelluksia¶
Määrätyn integraalin geometrista tulkintaa laajentamalla havaitaan, että jatkuvien funktioiden \(f, g : [a,b]\to\mathbb R\), \(f(x)\ge g(x)\), kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on
Pituuden, pinta-alan ja tilavuuden määritelmiä käsitellään tarkemmin vasta myöhemmillä opintojaksoilla, mutta kuvien avulla voidaan vakuuttua seuraavista tuloksista. Oletetaan, että \(f : [a,b]\to\mathbb R\) on jatkuva, derivoituva ja että \(f'\) on jatkuva. Funktion \(f\) kuvaajan pituus on
Kun funktion \(f\) kuvaaja pyörähtää \(x\)-akselin ympäri, niin syntyvän kappaleen vaipan ala on
ja kappaleen tilavuus on
Esimerkki.
Mikä on käyrän \(y=x^{\frac{3}{2}}\) pituus välillä \(0\le x\le1\)? Entä pyörähdyskappaleen tilavuus?
Merkitään \(y(x)=x^{\frac{3}{2}}\). Nyt \(y'(x)=\frac32x^{\frac{1}{2}}\), joten kysytty pituus on
Tilavuus on