Integraalin geometrisia sovelluksia

Määrätyn integraalin geometrista tulkintaa laajentamalla havaitaan, että jatkuvien funktioiden $f, g : [a,b]\to\mathbb R$, $f(x)\ge g(x)$, kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on

$$A=\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x.$$

Pituuden, pinta-alan ja tilavuuden määritelmiä käsitellään tarkemmin vasta myöhemmillä opintojaksoilla, mutta kuvien avulla voidaan vakuuttua seuraavista tuloksista. Oletetaan, että $f : [a,b]\to\mathbb R$ on jatkuva, derivoituva ja että $f'$ on jatkuva. Funktion $f$ kuvaajan pituus on

$$s=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x.$$

Kun funktion $f$ kuvaaja pyörähtää $x$-akselin ympäri, niin syntyvän kappaleen vaipan ala on

$$A=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x$$

ja kappaleen tilavuus on

$$V=\pi\int_a^bf(x)^2\,\mathrm{d}x.$$

Esimerkki.

Mikä on käyrän $y=x^{\frac{3}{2}}$ pituus välillä $0\le x\le1$? Entä pyörähdyskappaleen tilavuus?

Ratkaisu.

Merkitään $y(x)=x^{\frac{3}{2}}$. Nyt $y'(x)=\frac32x^{\frac{1}{2}}$, joten kysytty pituus on

$$s=\int_0^1\sqrt{1+\frac94x}\,\mathrm{d}x=\bigg/_{\mspace{-10mu}\,0}^{\,1}\frac{8}{27}\Big(1+\frac94x\Big)^{3/2}=\frac{13\sqrt{13}-8}{27}\approx1{,}44.$$

Tilavuus on

$$V=\pi\int_0^1x^3\,\mathrm{d}x=\pi\bigg/_{\mspace{-10mu}\,0}^{\,1}\frac14x^4=\frac{\pi}{4}.$$

Palautusta lähetetään...