Potenssisarjat

Määritelmä.

Reaaliluvusta $x$ riippuvaa sarjaa

$$\sum_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots$$

kutsutaan pisteen $c$ ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut $a_k$, missä $k = 1, 2, \ldots$, ovat potenssisarjan kertoimia ja reaaliluku $c$ on sarjan kehityskeskus.

Tässä ensimmäisessä termissä $(x-c)^0=1$, jos $x\ne c$. Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) $0^0=1$, jolloin ensimmäinen termi on $a_0(x-c)^0=a_0$ kaikilla $x$.

Esimerkki.

Sarja

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-0)^k$$

on pisteen $0$ ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat $a_k = \frac{1}{k!}$. Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun $x\ne0$. Nythän

$$\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{x^k}{k!}}\right|=\frac{k!}{(k+1)!}\left|\frac{x^{k+1}}{x^k}\right|=\frac{|x|}{k+1}\to0,$$

kun $k\to\infty$. Pisteessä $x=0$ on $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{0^k}{k!}\right| = \frac{1}{1!} = 1$, joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun $x\in\mathbb R$.

Lause.

Jos potenssisarja $\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$ suppenee jollakin $x=x_0\ne0$, niin sarja suppenee itseisesti kaikilla $x$, jotka toteuttavat $-|x_0|<x<|x_0|$.

Todistus.

Oletetaan, että $x\in(-|x_0|,|x_0|)$ ja merkitään $r=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1$. Koska sarja suppenee pisteessä $x_0$, on oltava $\lim\limits_{k\to\infty}a_kx_0^k=0$ ja täten löydetään sellainen indeksi $K$, että $|a_kx_0^k|<1$ aina, kun $k\ge K$. Nyt

$$\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx^k\right| =\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx_0^k\right|\left|\frac{x^k}{x_0^k}\right|<\sum_{k=K}^{\infty}\left|\frac{x}{x_0}\right|^k<\sum_{k=K}^\infty r^k<\infty,$$

missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana. $\square$

Seuraus.

Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.

1. Sarja suppenee vain, kun $x=c$.
2. Sarja suppenee itseisesti aina, kun $x\in\mathbb R$.
3. Löydetään sellainen $R>0$, että sarja suppenee itseisesti, kun $|x-c|<R$ ja hajaantuu, kun $|x-c|>R$.

Todistus.

Väite seuraa edellisestä lauseesta asettamalla $t=x-c$, jolloin väite palautuu sarjan $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kt^k$ tutkimiseksi. $\square$

Lukua $R\in[0,\infty)$ tai $R=\infty$ kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence). Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence). Jos $R\in(0,\infty)$, niin päätepisteissä $c-R$ ja $c+R$ sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista $\{c\}$, $(c-R,c+R)$, $[c-R,c+R)$, $(c-R,c+R]$, $[c-R,c+R]$ tai $\mathbb R$.

Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo

$$\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.$$

Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun $x \not= c$.

$$\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-c)^{k+1}}{a_k(x-c)^k}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\lim_{k\to\infty}\frac{|x-c|^{k+1}}{|x-c|^k} =\rho|x-c|<1$$

jos ja vain jos $|x-c|<\frac{1}{\rho}$. Suppenemissäde on siis

$$R=\frac1\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|.$$

Jos raja-arvo $\rho = 0$, niin suppenemissäde $R=\infty$, ja jos $\rho=\infty$, niin $R=0$. Päätepisteissä $c-R$ ja $c+R$ suppenemista on tutkittava erikseen.

Esimerkki.

Määritä potenssisarjojen

1. $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}$
2. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n$
3. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}$

suppenemisvälit.

Ratkaisu.

1. Tämä on pisteen $0$ ympärille kehitetty potenssisarja, jolle $a_0=0$ ja $a_k=\frac{1}{k}$, kun $k \geq 1$. Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, kun $x\ne0$. Havaitaan, että

   $$\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{k+1}}{\frac{x^k}{k}}\right|=\frac{k}{k+1}|x|\to|x|,$$

   kun $k\to\infty$. Sarja siis suppenee suhdetestin nojalla itseisesti, kun $|x| < 1$ ja hajaantuu, kun $|x| > 1$, eli suppenemissäde $R=1$. Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun $x=1$, sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun $x=-1$, sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis $[-1,1)$.

2. Muokkaamalla

   $$\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n$$

   nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle $a_n=\frac{n!}{2^n}$ ja $c=0$. Tarkastellaan suppenemista suhdetestillä, kun $x\ne0$. Tässä tapauksessa

   $$\left|\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}x^{n+1}}{\frac{n!}{2^n}x^n}\right|=\frac{n+1}{2}|x|\to\infty,$$

   kun $n\to\infty$. Sarja siis suppenee vain kun $x=0$.

3. Nyt

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.$$

   Tämän potenssisarjan kehityskeskus on $c=-\frac{5}{2}$. Jos $x\ne -\frac{5}{2}$, itseisen suppenemisen ehdoksi saadaan

   $$\begin{split}\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^{n+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n}\right| &=\frac23\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right| \\ &=\frac23\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right| < 1, \end{aligned}\end{split}$$

   eli

   $$\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right|<\frac32.$$

   Suppenemissäde $R=\frac{3}{2}$ ja sarja suppenee ainakin välillä $\left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1)$. Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä $x=-4$ sarja tulee muotoon

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},$$

   joka suppenee itseisesti, sillä

   $$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.$$

   Pisteessä $x=-1$ sarja tulee muotoon

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},$$

   joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis $[-4,-1]$.

Pisteessä $0$ kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion

$$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots.$$

Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan $f$ on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.

Lause.

Olkoon $R>0$ edellisen potenssisarjan suppenemissäde. Tällöin funktio $f(x)$ on derivoituva välillä $(-R,R)$ ja integroituva jokaisella välillä $[a,b]\subseteq(-R,R)$. Kun $|x|<R$, niin

$$\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=0}^\infty D(a_kx^k) =\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \int_0^xf(t)\,\mathrm{d}t &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^xa_kt^k\,\mathrm{d}t =\sum_{k=0}^\infty\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}=a_0x+\frac12a_1x^2+\frac13a_2x^3+\cdots. \end{aligned}\end{split}$$

Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde $R$.

Muunnokselle $x - c = u$ on voimassa $\mathrm{d}x = \mathrm{d}u$, ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k$.

Esimerkki.

Tutkitaan geometrista sarjaa

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots,$$

kun $-1 < x < 1$. Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan

$$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$$

välille $-1 < x < 1$. Toisaalta integroimalla yhtälö puolittain väliä $[0,x]$ pitkin saadaan

$$-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}x^{k+1}=x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots.$$

Sijoitetaan tässä muuttujan $x$ paikalle $-x$ jolloin nähdään, että

$$\ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots,$$

kun $-1 < x < 1$.

Palautusta lähetetään...