- MAT-04601
- 2. Alkeisfunktioiden kertaus
- 2.2 Potenssi- ja juurifunktiot
Potenssi- ja juurifunktiot¶
Määritelmä.
Potenssifunktio (power function) f(x)=xn positiivisille kokonaisluvuille n määritellään asettamalla
Lukua x kutsutaan kantaluvuksi ja lukua n eksponentiksi. Erityisesti sanotaan, että x2 on luvun x neliö ja x3 luvun x kuutio.
Havainnollistetaan potenssifunktioita piirtämällä niiden kuvaajia. Parittomilla eksponenteilla xn on negatiivinen, kun x on negatiivinen, ja parillisilla eksponenteilla xn on aina ei-negatiivinen. Perustele tämä itsellesi potenssifunktion määritelmän avulla.
Potenssifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että
Myös muut tutut eksponenttien laskusäännöt voidaan johtaa vastaavasti määritelmästä.
missä x ja y ovat reaalilukuja, sekä n ja m positiivisia kokonaislukuja.
Määritelmä.
Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio x−n negatiivisille eksponenteille määritellään asettamalla
kun x≠0.
Tarkastellaan vielä, mitä voisi olla x0. Koska esimerkiksi 0=1−1, niin silloin kun x≠0, on voimassa
Siis x0=1, kunhan x≠0. Lauseke 00 on epämääräinen, eikä sille tule asettaa arvoa ilman erityistä harkintaa. Näin on saatu määriteltyä potenssifunktio f(x)=xn määritellyksi kaikilla n∈Z. Kun n≤0, funktio f on määritelty vain nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla.
On melko suoraviivaista todistaa, että eksponenttien laskusäännöt ovat voimassa myös ei-positiivisille eksponenteille, kunhan kaikki lausekkeen osat on määritelty. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä lakia tapauksessa n≥0 ja m<0.
eli xnxm=xn+m.
Lause.
Potenssifunktio xn, missä n on positiivinen kokonaisluku, toteuttaa seuraavat ehdot.
- Jos n on pariton, niin xn<yn aina, kun x<y.
- Jos n on parillinen ja x,y≥0, niin xn<yn aina, kun x<y.
Havainnollistetaan todistusta muutamissa tapauksissa, joissa n on pieni positiivinen kokonaisluku. Olkoon x<y. Jos n=1, niin väite on selvä. Jos n=2 ja sekä x että y ei-negatiivisia, niin reaalilukujen järjestysaksioomien nojalla
Jos n=3, niin käsitellään useampi tapaus
- x,y≥0. Tällöin edellä osoitetun nojalla x2<y2, ja vastaavasti osoitetaan, että x3<y3.
- x<0 ja y≥0. Jos x2<y2, niin x3=x⋅x2<xy2<y⋅y2=y3. Jos puolestaan x2≥y2, niin järjestysaksioomien nojalla x3≤xy2<y⋅y2=y3.
- x,y<0. Tällöin −x ja −y ovat positiivisia reaalilukuja, joille −y<−x. Täten aiemmin osoitetun nojalla (−y)2=y2<x2=(−x)2, ja edelleen järjestysaksioomien nojalla x3<xy2<y3.
Täsmällinen todistus muille positiivisille kokonaisluvuille n tapahtuu induktiolla, johon palataan myöhemmin todistusmenetelmien yhteydessä. ◻
Tämän tuloksen avulla voidaan määritellä potenssiin korotukselle käänteinen operaatio. Voidaan osoittaa, että yhtälöllä yn=x on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu luvulle y silloin, kun
- n on pariton, tai
- n on parillinen ja x,y≥0.
Yhtälön yn=x yksikäsitteistä ratkaisua kutsutaan luvun x n. juureksi ja merkitään n√x. Jos n on parillinen, x>0 ja luvulle y ei aseteta rajoitteita, niin yhtälöllä on kuitenkin kaksi vastalukuratkaisua: jos yn=x, niin (−y)n=(−1)nyn=1⋅yn=x. Tällöin juureksi valitaan yhtälön positiivinen ratkaisu.
Määritelmä.
Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Valitsemalla yhtälön yn=x yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu määritellään juurifunktio (root function) n√x=x1n. Jos n on pariton, niin x on reaaliluku, ja jos n on parillinen, niin vaaditaan x≥0. Erityisesti sanotaan, että 2√x=√x=x12 on luvun x neliöjuuri ja 3√x=x13 luvun x kuutiojuuri.
Lause.
Jos x<y, niin n√x<n√y, kunhan molemmat lausekkeet on määritelty.
Juurifunktio ja potenssifunktio ikään kuin kumoavat toisensa, sillä ne toteuttavat ehdot
missä parillisilla n sekä x että y ovat ei-negatiivisia.
Lause.
Jos n on parillinen positiivinen kokonaisluku ja x reaaliluku, niin n√xn=|x|.
Olkoon n parillinen positiivinen kokonaisluku. Jos x≥0, niin määritelmien nojalla n√xn=x. Jos puolestaan x<0, niin xn>0, eli juurilauseke y=n√xn on määritelty. Yhtälön yn=xn ratkaisut luvulle y ovat x ja −x, joista −x on positiivinen. Täten n√xn=−x. Yhteenvetona siis
eli n√xn=|x| itseisarvon määritelmän nojalla. ◻
Määritelmä.
Olkoon m kokonaisluku ja n positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio xr rationaalisille eksponenteille r=mn määritellään asettamalla
kun x on reaaliluku, x≥0 jos n on parillinen ja x≠0 jos m<0.
Rationaaliluvuille r potenssifunktio xr on ikään kuin kokonaislukupotenssi- ja juurifunktion yhdistelmä. Sen alle voidaankin yhdistää kaikki aiemmat määritelmät, ja potenssifunktio xr toteuttaa kaikki eksponenttien laskusäännöt.
Todistetaan viimeinen laskusääntö. Olkoon r=mn rationaaliluku, sekä x ja y sopivia reaalilukuja. Tällöin
missä juuri z=n√xy on yhtälön zn=xy yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu. Mutta aiemmin esiteltyjen eksponenttien laskusääntöjen nojalla myös n√xn√x on tällainen ratkaisu, sillä
Tämän vuoksi n√xy=n√xn√y, ja täten
Lause.
Potenssifunktio xr, missä r on rationaaliluku, toteuttaa seuraavat ehdot, kun x,y≥0.
- Jos r>0, niin xr<yr aina, kun x<y.
- Jos r<0, niin xr>yr aina, kun x<y.
- Jos r=0, niin xr=1.
Seuraavassa kuvassa hahmotellaan potenssifunktion xr kuvaajan kulkua eri eksponenttien r arvoilla, kun x≥0.
Potenssifunktioiden kanssa täytyy olla hyvin varovainen, jos aikoo supistaa tai laventaa eksponenttia. Havainnollistetaan ongelmaa ”todistamalla”, että
Mikä menee pieleen? Tarkastelemalla potenssifunktioita x13=3√x ja x26=(6√x)2 määritelmän avulla nähdään, että ensimmäinen on määritelty kaikille reaaliluvuille, mutta jälkimmäinen vain ei-negatiivisille reaaliluvuille. Funktiot x13 ja x26 eivät siis ole samat! Edeltävässä päättelyssä huutomerkillä merkitty yhtäsuuruus ei siis ole voimassa, sillä lauseketta (−1)26=(6√−1)2 ei ole määritelty reaalisena. Eksponentissa supistaessa ja laventaessa on aina tarkistettava, että käsiteltävä lauseke pysyy määriteltynä.