Processing math: 100%
This course has already ended.

Potenssi- ja juurifunktiot

Määritelmä.

Potenssifunktio (power function) f(x)=xn positiivisille kokonaisluvuille n määritellään asettamalla

xn=xxxn kpl.

Lukua x kutsutaan kantaluvuksi ja lukua n eksponentiksi. Erityisesti sanotaan, että x2 on luvun x neliö ja x3 luvun x kuutio.

Havainnollistetaan potenssifunktioita piirtämällä niiden kuvaajia. Parittomilla eksponenteilla xn on negatiivinen, kun x on negatiivinen, ja parillisilla eksponenteilla xn on aina ei-negatiivinen. Perustele tämä itsellesi potenssifunktion määritelmän avulla.

../_images/alkeisfunktiotpotenssikuvaajat.svg

Potenssifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että

xnxm=(xxxn kpl)(xxxm kpl)=xxxn+m kpl=xn+m.

Myös muut tutut eksponenttien laskusäännöt voidaan johtaa vastaavasti määritelmästä.

xn+m=xnxm,(xn)m=xnm ja (xy)n=xnyn,

missä x ja y ovat reaalilukuja, sekä n ja m positiivisia kokonaislukuja.

Määritelmä.

Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio xn negatiivisille eksponenteille määritellään asettamalla

xn=1xn,

kun x0.

Tarkastellaan vielä, mitä voisi olla x0. Koska esimerkiksi 0=11, niin silloin kun x0, on voimassa

x0=x11=x1x1=x1x=xx=1.

Siis x0=1, kunhan x0. Lauseke 00 on epämääräinen, eikä sille tule asettaa arvoa ilman erityistä harkintaa. Näin on saatu määriteltyä potenssifunktio f(x)=xn määritellyksi kaikilla nZ. Kun n0, funktio f on määritelty vain nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla.

../_images/alkeisfunktiotkaanteiskuvaaja.svg

On melko suoraviivaista todistaa, että eksponenttien laskusäännöt ovat voimassa myös ei-positiivisille eksponenteille, kunhan kaikki lausekkeen osat on määritelty. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä lakia tapauksessa n0 ja m<0.

xnxm=n kplxxxxxxm kpl={n(m) kplxxx,jos nm1xxxmn kpl,jos n<m,

eli xnxm=xn+m.

Lause.

Potenssifunktio xn, missä n on positiivinen kokonaisluku, toteuttaa seuraavat ehdot.

  1. Jos n on pariton, niin xn<yn aina, kun x<y.
  2. Jos n on parillinen ja x,y0, niin xn<yn aina, kun x<y.
Todistus.

Havainnollistetaan todistusta muutamissa tapauksissa, joissa n on pieni positiivinen kokonaisluku. Olkoon x<y. Jos n=1, niin väite on selvä. Jos n=2 ja sekä x että y ei-negatiivisia, niin reaalilukujen järjestysaksioomien nojalla

x2=xx<xy<yy=y2.

Jos n=3, niin käsitellään useampi tapaus

  1. x,y0. Tällöin edellä osoitetun nojalla x2<y2, ja vastaavasti osoitetaan, että x3<y3.
  2. x<0 ja y0. Jos x2<y2, niin x3=xx2<xy2<yy2=y3. Jos puolestaan x2y2, niin järjestysaksioomien nojalla x3xy2<yy2=y3.
  3. x,y<0. Tällöin x ja y ovat positiivisia reaalilukuja, joille y<x. Täten aiemmin osoitetun nojalla (y)2=y2<x2=(x)2, ja edelleen järjestysaksioomien nojalla x3<xy2<y3.

Täsmällinen todistus muille positiivisille kokonaisluvuille n tapahtuu induktiolla, johon palataan myöhemmin todistusmenetelmien yhteydessä.

Tämän tuloksen avulla voidaan määritellä potenssiin korotukselle käänteinen operaatio. Voidaan osoittaa, että yhtälöllä yn=x on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu luvulle y silloin, kun

  1. n on pariton, tai
  2. n on parillinen ja x,y0.

Yhtälön yn=x yksikäsitteistä ratkaisua kutsutaan luvun x n. juureksi ja merkitään nx. Jos n on parillinen, x>0 ja luvulle y ei aseteta rajoitteita, niin yhtälöllä on kuitenkin kaksi vastalukuratkaisua: jos yn=x, niin (y)n=(1)nyn=1yn=x. Tällöin juureksi valitaan yhtälön positiivinen ratkaisu.

Määritelmä.

Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Valitsemalla yhtälön yn=x yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu määritellään juurifunktio (root function) nx=x1n. Jos n on pariton, niin x on reaaliluku, ja jos n on parillinen, niin vaaditaan x0. Erityisesti sanotaan, että 2x=x=x12 on luvun x neliöjuuri ja 3x=x13 luvun x kuutiojuuri.

Lause.

Jos x<y, niin nx<ny, kunhan molemmat lausekkeet on määritelty.

Juurifunktio ja potenssifunktio ikään kuin kumoavat toisensa, sillä ne toteuttavat ehdot

nxn=xja(ny)n=y,

missä parillisilla n sekä x että y ovat ei-negatiivisia.

../_images/alkeisfunktiotjuurikuvaaja.svg

Lause.

Jos n on parillinen positiivinen kokonaisluku ja x reaaliluku, niin nxn=|x|.

Todistus.

Olkoon n parillinen positiivinen kokonaisluku. Jos x0, niin määritelmien nojalla nxn=x. Jos puolestaan x<0, niin xn>0, eli juurilauseke y=nxn on määritelty. Yhtälön yn=xn ratkaisut luvulle y ovat x ja x, joista x on positiivinen. Täten nxn=x. Yhteenvetona siis

nxn={x,kun x0x,kun x<0,

eli nxn=|x| itseisarvon määritelmän nojalla.

Määritelmä.

Olkoon m kokonaisluku ja n positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio xr rationaalisille eksponenteille r=mn määritellään asettamalla

xr=xmn=(nx)m,

kun x on reaaliluku, x0 jos n on parillinen ja x0 jos m<0.

Rationaaliluvuille r potenssifunktio xr on ikään kuin kokonaislukupotenssi- ja juurifunktion yhdistelmä. Sen alle voidaankin yhdistää kaikki aiemmat määritelmät, ja potenssifunktio xr toteuttaa kaikki eksponenttien laskusäännöt.

xr+s=xrxs,(xr)s=xrsja(xy)r=xryr.

Todistetaan viimeinen laskusääntö. Olkoon r=mn rationaaliluku, sekä x ja y sopivia reaalilukuja. Tällöin

(xy)r=(xy)mn=(nxy)m,

missä juuri z=nxy on yhtälön zn=xy yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu. Mutta aiemmin esiteltyjen eksponenttien laskusääntöjen nojalla myös nxnx on tällainen ratkaisu, sillä

(nxnx)n=(nx)n(ny)n=xy.

Tämän vuoksi nxy=nxny, ja täten

(xy)r=(nxny)m=(nx)m(ny)m=xmnymn=xryr.

Lause.

Potenssifunktio xr, missä r on rationaaliluku, toteuttaa seuraavat ehdot, kun x,y0.

  1. Jos r>0, niin xr<yr aina, kun x<y.
  2. Jos r<0, niin xr>yr aina, kun x<y.
  3. Jos r=0, niin xr=1.

Seuraavassa kuvassa hahmotellaan potenssifunktion xr kuvaajan kulkua eri eksponenttien r arvoilla, kun x0.

../_images/alkeisfunktiotrationaalipotenssikuvaaja.svg

Potenssifunktioiden kanssa täytyy olla hyvin varovainen, jos aikoo supistaa tai laventaa eksponenttia. Havainnollistetaan ongelmaa ”todistamalla”, että

1=(1)13!=(1)26=(1)216=((1)2)16=116=1.

Mikä menee pieleen? Tarkastelemalla potenssifunktioita x13=3x ja x26=(6x)2 määritelmän avulla nähdään, että ensimmäinen on määritelty kaikille reaaliluvuille, mutta jälkimmäinen vain ei-negatiivisille reaaliluvuille. Funktiot x13 ja x26 eivät siis ole samat! Edeltävässä päättelyssä huutomerkillä merkitty yhtäsuuruus ei siis ole voimassa, sillä lauseketta (1)26=(61)2 ei ole määritelty reaalisena. Eksponentissa supistaessa ja laventaessa on aina tarkistettava, että käsiteltävä lauseke pysyy määriteltynä.

Posting submission...