Muutosnopeutta ja linearisointia¶

Tässä osiossa perehdytään derivaatan käsitteeseen kahdesta näkökulmasta.

Mikä on funktion \(f(x)\) hetkellinen kasvunopeus pisteessä \(x=a\)? Kasvunopeudella voi tilanteesta riippuen olla jokin fysikaalinen tulkinta. Lisäksi kasvunopeuden merkin perusteella voidaan päätellä, missä \(f\) kasvaa ja missä vähenee. Sovelluksena tästä kulkutarkastelusta saadaan keino selvittää funktion pienin ja suurin arvo.
Mikä on funktion \(f(x)\) kuvaajan \(y=f(x)\) pisteeseen \((a,f(a))\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö? Tämä yhtälö on muotoa \(T(x)=Ax+B\), ja sen avulla voidaan arvoida yksinkertaisella tavalla monimutkaista funktiota \(f(x)\) lähellä pistettä \(a\).

Tavoitteena on oppia derivoimaan alkeisfunktioista muodostettuja funktioita ja tehdä niille kulku-, ääriarvo- ja approksimaatiotarkasteluja. Lisäksi tutustutaan pienimmän neliösumman menetelmään yhtälöryhmän ratkaisun arvioimiseksi.

Tärppejä tähän osioon:

Derivaatan määritelmä ja erotusosamäärä
Derivointisäännöt vakiolla kertomiselle, summalle, tulolle ja osamäärälle, ketjusääntö, sekä käänteisfunktion derivointi
Alkeisfunktioiden derivointikaavat
Lineaarinen approksimaatio ja funktion kuvaajan tangenttisuora
Funktion ääriarvojen ja kulun tutkiminen, kriittiset pisteet, sekä lokaalien ääriarvojen etsiminen
l’Hôpital’n sääntö
Pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälöryhmälle, normaaliryhmän ratkaiseminen ja polynomin sovittaminen pisteistöön