Funktio

Määritelmä.

Olkoot $A$ ja $B$ epätyhjiä joukkoja. Funktio (function) $f$ on olio, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon (domain) $A$ alkioon täsmälleen yhden maalijoukon (codomain) $B$ alkion. Sanotaan, että $f$ kuvaa (maps) joukon $A$ alkiot joukon $B$ alkioille, ja merkitään $f : A\to B$. Jos $x \in A$, $y \in B$ ja $f$ kuvaa alkion $x$ alkiolle $y$, niin merkitään $y = f(x)$ ja sanotaan, että $y$ on funktion $f$ arvo (value) pisteessä $x$.

Funktion $f$ määrittelyjoukkoa merkitään myös $\mathcal{M}_f$ ja arvojoukkoa $\mathcal{A}_f$.

Funktion määritelmässä olennaisinta on, että jokaisella määrittelyjoukon $A$ alkiolla on täsmälleen yksi kuva maalijoukossa $B$. Maalijoukon alkioilla puolestaan ei tarvitse olla vastaavaa lähtöalkiota, tai vaihtoehtoisesti niitä voi olla useita! Onkin luontevinta määritellä maalijoukon $B$ alkion $y$ alkukuva (preimage)

$$f^{-1}(y) = \{x \in A : f(x) = y\},$$

eli kaikkien alkiolle $y$ kuvautuvien määrittelyjoukon alkioiden joukko. Merkintä $f^{-1}(y)$ luetaan ”f miinus 1 y”.

On tavanomaista käyttää alkion $x$ kuvan merkintää $f(x)$ myös toisenlaisessa yhteydessä. Määrittelyjoukon $A$ osajoukon $C$ kuvajoukkoa merkitään

$$f(C) = \{f(x) : x \in C\},$$

ja koko määrittelyjoukon kuvajoukkoa $f(A) = \{f(x) : x \in A\} = \mathcal{R}(f)$ kutsutaan funktion $f$ arvojoukoksi (range).

Määritelmä.

Funktio $f : A \to B$ on

• injektio (one-to-one), jos aina kun $x_1, x_2 \in A$ ja $x_1 \not= x_2$, myös $f(x_1)\ne f(x_2)$ (funktio $f$ kuvaa eri alkiot eri alkioiksi),
• surjektio (onto), jos $f(A) = B$ (arvojoukko on koko maalijoukko),
• bijektio (bijection), jos $f$ on injektio ja surjektio.

Näitä ominaisuuksia voidaan luonnehtia vielä funktion maalijoukon näkökulmasta seuraavasti.

• Injektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa korkeintaan yksi määrittelyjoukon alkio.
• Surjektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa vähintään yksi määrittelyjoukon alkio.
• Bijektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa täsmälleen yksi määrittelyjoukon alkio.

Funktiota kuvattaessa määrittely- ja maalijoukkoja ei välttämätta mainita erikseen, vaan ilmoitetaan vain funktion sääntö tai lauseke. Tällöin määrittelyjoukko ymmärretään mahdollisimman laajaksi.

Esimerkki.

1. Polynomifunktion $f(x)=x^2+1$ laajin mahdollinen määrittelyjoukko on $\mathbb R$, maalijoukko $\mathbb R$ ja arvojoukko $f(\mathbb R)=[1,\infty)$, sillä $x^2 \geq 0$ aina, kun $x$ on reaaliluku. Joukon $(-1,2]$ kuvajoukko on $f((-1,2])=[1,5]$. Määritetään joidenkin alkioiden alkukuvia.

   $$\begin{split}\begin{aligned} f^{-1}(2)&=\{-1,1\}&&\text{(eikä funktio siten ole injektio)}\\ f^{-1}(1)&=\{0\}\\ f^{-1}(-7)&=\emptyset&&\text{(eikä funktio siten ole surjektio)} \end{aligned}\end{split}$$

   Funktiosta $f$ saadaan surjektio, jos sen maalijoukkoa rajataan arvojoukkoon, eli määritellään se kuvauksena $f : \mathbb R\to [1, \infty)$.

2. Funktion $f((x,y))=f(x,y)=x+y$ määrittelyjoukko on $\mathbb R^2$ ja maalijoukko $\mathbb R$. Alkion $1$ alkukuva on

   $$f^{-1}(1)=\{(x,y)\in\mathbb R^2 : x+y=1\},$$

   eli $xy$-tason suora. Tämän vuoksi $f$ ei ole injektio. Se on kuitenkin surjektio, sillä olipa $z$ mikä tahansa reaaliluku, niin valitsemalla $x=z$ ja $y=0$ on $f(x,y)=z$.

Esimerkki.

Määritellään lattiafunktio (floor) $f(x) = \lfloor x\rfloor$ asettamalla

$$\lfloor x\rfloor=\text{suurin kokonaisluku }n\text{, jolle }n\le x.$$

Nyt esimerkiksi $f\left(\frac52\right)=2$, $f(2)=2$ ja $f(-2\frac12)=-3$. Määrittelyjoukko on $\mathbb R$ ja maalijoukoksi voidaan ottaan $\mathbb R$, eli lattiafunktio kuvaa reaaliluvut reaaliluvuille. Arvojoukko on $f(\mathbb R)=\mathbb Z$. Määritetään joidenkin joukkojen ja alkioiden kuvia ja alkukuvia.

$$f([-1,2])=\{-1,0,1,2\}, \qquad f^{-1}\left({\tfrac12}\right)=\emptyset, \qquad f^{-1}(2)=[2,3).$$

Esimerkki.

Mikä on funktion $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}$ määrittelyjoukko?

Ratkaisu.

Jakajan ei voi saada arvoa nolla ja reaalilukuihin rajoituttaessa juurrettavan lausekkeen täytyy olla ei-negatiivinen. Näistä saadaan ehdot

$$\begin{split}\begin{cases} \sqrt{2x + 4} \not= 0 \\ 2x + 4 \geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x \not= -2 \\ x \geq -2. \end{cases}\end{split}$$

On siis oltava $x > -2$, eli määrittelyjoukko on $M_f = (-2, \infty)$.

Posting submission...