Funktio

Määritelmä.

Olkoot \(A\) ja \(B\) epätyhjiä joukkoja. Funktio (function) \(f\) on olio, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon (domain) \(A\) alkioon täsmälleen yhden maalijoukon (codomain) \(B\) alkion. Sanotaan, että \(f\) kuvaa (maps) joukon \(A\) alkiot joukon \(B\) alkioille, ja merkitään \(f : A\to B\). Jos \(x \in A\), \(y \in B\) ja \(f\) kuvaa alkion \(x\) alkiolle \(y\), niin merkitään \(y = f(x)\) ja sanotaan, että \(y\) on funktion \(f\) arvo (value) pisteessä \(x\).

Funktion \(f\) määrittelyjoukkoa merkitään myös \(\mathcal{M}_f\) ja arvojoukkoa \(\mathcal{A}_f\).

Funktion määritelmässä olennaisinta on, että jokaisella määrittelyjoukon \(A\) alkiolla on täsmälleen yksi kuva maalijoukossa \(B\). Maalijoukon alkioilla puolestaan ei tarvitse olla vastaavaa lähtöalkiota, tai vaihtoehtoisesti niitä voi olla useita! Onkin luontevinta määritellä maalijoukon \(B\) alkion \(y\) alkukuva (preimage)

\[f^{-1}(y) = \{x \in A : f(x) = y\},\]

eli kaikkien alkiolle \(y\) kuvautuvien määrittelyjoukon alkioiden joukko. Merkintä \(f^{-1}(y)\) luetaan ”f miinus 1 y”.

On tavanomaista käyttää alkion \(x\) kuvan merkintää \(f(x)\) myös toisenlaisessa yhteydessä. Määrittelyjoukon \(A\) osajoukon \(C\) kuvajoukkoa merkitään

\[f(C) = \{f(x) : x \in C\},\]

ja koko määrittelyjoukon kuvajoukkoa \(f(A) = \{f(x) : x \in A\} = \mathcal{R}(f)\) kutsutaan funktion \(f\) arvojoukoksi (range).

Määritelmä.

Funktio \(f : A \to B\) on

• injektio (one-to-one), jos aina kun \(x_1, x_2 \in A\) ja \(x_1 \not= x_2\), myös \(f(x_1)\ne f(x_2)\) (funktio \(f\) kuvaa eri alkiot eri alkioiksi),
• surjektio (onto), jos \(f(A) = B\) (arvojoukko on koko maalijoukko),
• bijektio (bijection), jos \(f\) on injektio ja surjektio.

Näitä ominaisuuksia voidaan luonnehtia vielä funktion maalijoukon näkökulmasta seuraavasti.

• Injektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa korkeintaan yksi määrittelyjoukon alkio.
• Surjektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa vähintään yksi määrittelyjoukon alkio.
• Bijektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa täsmälleen yksi määrittelyjoukon alkio.

Funktiota kuvattaessa määrittely- ja maalijoukkoja ei välttämätta mainita erikseen, vaan ilmoitetaan vain funktion sääntö tai lauseke. Tällöin määrittelyjoukko ymmärretään mahdollisimman laajaksi.

Esimerkki.

1. Polynomifunktion \(f(x)=x^2+1\) laajin mahdollinen määrittelyjoukko on \(\mathbb R\), maalijoukko \(\mathbb R\) ja arvojoukko \(f(\mathbb R)=[1,\infty)\), sillä \(x^2 \geq 0\) aina, kun \(x\) on reaaliluku. Joukon \((-1,2]\) kuvajoukko on \(f((-1,2])=[1,5]\). Määritetään joidenkin alkioiden alkukuvia.

   \[\begin{split}\begin{aligned} f^{-1}(2)&=\{-1,1\}&&\text{(eikä funktio siten ole injektio)}\\ f^{-1}(1)&=\{0\}\\ f^{-1}(-7)&=\emptyset&&\text{(eikä funktio siten ole surjektio)} \end{aligned}\end{split}\]

   Funktiosta \(f\) saadaan surjektio, jos sen maalijoukkoa rajataan arvojoukkoon, eli määritellään se kuvauksena \(f : \mathbb R\to [1, \infty)\).

2. Funktion \(f((x,y))=f(x,y)=x+y\) määrittelyjoukko on \(\mathbb R^2\) ja maalijoukko \(\mathbb R\). Alkion \(1\) alkukuva on

   \[f^{-1}(1)=\{(x,y)\in\mathbb R^2 : x+y=1\},\]

   eli \(xy\)-tason suora. Tämän vuoksi \(f\) ei ole injektio. Se on kuitenkin surjektio, sillä olipa \(z\) mikä tahansa reaaliluku, niin valitsemalla \(x=z\) ja \(y=0\) on \(f(x,y)=z\).

Esimerkki.

Määritellään lattiafunktio (floor) \(f(x) = \lfloor x\rfloor\) asettamalla

\[\lfloor x\rfloor=\text{suurin kokonaisluku }n\text{, jolle }n\le x.\]

Nyt esimerkiksi \(f\left(\frac52\right)=2\), \(f(2)=2\) ja \(f(-2\frac12)=-3\). Määrittelyjoukko on \(\mathbb R\) ja maalijoukoksi voidaan ottaan \(\mathbb R\), eli lattiafunktio kuvaa reaaliluvut reaaliluvuille. Arvojoukko on \(f(\mathbb R)=\mathbb Z\). Määritetään joidenkin joukkojen ja alkioiden kuvia ja alkukuvia.

\[f([-1,2])=\{-1,0,1,2\}, \qquad f^{-1}\left({\tfrac12}\right)=\emptyset, \qquad f^{-1}(2)=[2,3).\]

Esimerkki.

Mikä on funktion \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}\) määrittelyjoukko?

Ratkaisu.

Jakajan ei voi saada arvoa nolla ja reaalilukuihin rajoituttaessa juurrettavan lausekkeen täytyy olla ei-negatiivinen. Näistä saadaan ehdot

\[\begin{split}\begin{cases} \sqrt{2x + 4} \not= 0 \\ 2x + 4 \geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x \not= -2 \\ x \geq -2. \end{cases}\end{split}\]

On siis oltava \(x > -2\), eli määrittelyjoukko on \(M_f = (-2, \infty)\).

Posting submission...