Joukko¶

Määritelmä.

Joukko (set) on sellainen kokoelma olioita, että

jokaisesta oliosta voidaan sanoa, kuuluuko se kyseiseen joukkoon vai ei,
jokaisista kahdesta joukkoon kuuluvasta oliosta voidaan sanoa, ovatko ne samoja vai eivät.

Joukkoon kuuluvia olioita joukon alkioiksi (element) tai jäseniksi (member).

Oliot, joita tarkastellaan voivat olla mitä tahansa, mutta matematiikassa käsitellään usein esimerkiksi lukujen tai vektoreiden muodostamia joukkoja. Joukkoja merkitään usein isoilla kirjaimilla \(A,B,C,\ldots\) ja niiden alkioita pienillä kirjaimilla \(a,b,c,\ldots\). Joukkoa merkitään aaltosulkein \(\{\cdot\}\) ja tietty joukko voidaan määritellä luettelemalla sen alkiot, kuten

\[\{2,4,6,8\}\qquad\text{tai}\qquad\{2,4,6,\ldots\},\]

missä jälkimmäinen ymmärretään päättymättömäksi listaksi parillisia luonnollisia lukuja. Toinen vaihtoehto on ilmaista joukkoon kuulumisen ehto, eli esimerkiksi

\[\{\text{aakkoset }x : x\text{ on suomen kielen vokaali}\}\]

tarkoittaa joukkoa \(\{\text{a}, \text{e}, \text{i}, \text{o}, \text{u}, \text{y}, \text{ä}, \text{ö}\}\). Joukon alkioita listatessa toistoilla ja järjestyksellä ei ole merkitystä. Joukkoihin ja niiden alkioihin liittyy seuraavia merkintöjä.

Jos alkiot \(x\) ja \(y\) ovat samat, kirjoitetaan \(x = y\).
Jos alkiot \(x\) ja \(y\) eivät ole samat, kirjoitetaan \(x \not= y\).
Jos \(x\) on joukon \(A\) alkio, kirjoitetaan \(x \in A\).
Jos \(x\) ei ole joukon \(A\) alkio, kirjoitetaan \(x \not\in A\).
Jos kaikki joukon \(A\) alkiot ovat myös joukon \(B\) alkioita, kirjoitetaan \(A \subseteq B\) ja sanotaan, että \(A\) on joukon \(B\) osajoukko.
Jos kaikki joukon \(A\) alkiot eivät ole joukon \(B\) alkioita, kirjoitetaan \(A \not\subseteq B\).
Jos joukoissa \(A\) ja \(B\) on täsmälleen samat alkiot, kirjoitetaan \(A = B\).
Merkintä \(\varnothing = \emptyset = \{\}\) tarkoittaa tyhjää joukkoa, jossa ei ole yhtään alkiota.

Joukko \(A\) on joukon \(B\) osajoukko täsmälleen silloin, kun jokainen joukon \(A\) alkio kuuluu myös joukkoon \(B\). Lauselogiikan kielellä siis

\[A \subseteq B \Leftrightarrow x \in A \rightarrow x \in B.\]

Vastaavasti joukot \(A\) ja \(B\) ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki alkiot ovat samat, eli

\[A = B \Leftrightarrow x \in A \leftrightarrow x \in B.\]

Muistamalla ekvivalenssilain voidaan myös todeta, että

\[\begin{split}\begin{aligned} A = B &\Leftrightarrow (x \in A \rightarrow x \in B) \land (x \in B \rightarrow x \in A)\\ &\Leftrightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A.\end{aligned}\end{split}\]

Toisin sanoen kaksi joukkoa ovat samat, jos ja vain jos ne ovat toistensa osajoukkoja.

Joukkoa, joka ei ole tyhjä joukko \(\varnothing\), sanotaan epätyhjäksi. Lisäksi joukko on äärellinen, jos sen jäsenten lukumäärä on äärellinen. Muutoin joukko on ääretön.

Esimerkki.

Jos \(A=\{1,3,5\}\), niin seuraavat lauseet ovat tosia.

\[\begin{split}\begin{aligned} &1\in A && \{1,2,3\}\not\subseteq A\\ &2\not\in A && \{1,3,5\}\subseteq A\\ &\{1\}\subset A && \{3,1,1,5,3\}=A\\ &\{1,5\}\subset A && \{1,2,3\}\ne A\end{aligned}\end{split}\]

Huomautus.

Lauseet \(\varnothing \subseteq A\) ja \(A \subseteq A\) ovat aina tosia riippumatta joukosta \(A\). Perusteluna on se, että niiden kanssa loogisesti ekvivalentit lauseet

\[x \in \varnothing \rightarrow x \in A\qquad\text{ja}\qquad x \in A \rightarrow x \in A\]

ovat tautologioita.
Kahden joukon samuus \(A = B\) todistetaan kahdessa osassa: ensin osoitetaan että \(A \subseteq B\) ja sitten että \(B \subseteq A\). Alaviiva osajoukkomerkinnässä korostaa sitä, että jokainen joukko on itsensä osajoukko (vertaa merkintöihin \(\leq\) ja \(\geq\)). Jos halutaan painottaa, että kyseessä on aito osajoukko, voidaan myös merkitä \(A \subset B\).

Lukualueet luonnollisista luvuista kompleksilukuihin voidaan myös esittää joukkoina. Reaalilukujen täsmällinen määritelmä on sen verran monimutkainen, että se sivuutetaan.

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbb N&=\{1,2,3,\ldots\}&&\text{luonnolliset luvut}\\ \mathbb Z&=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}&&\text{kokonaisluvut}\\ \mathbb Q&=\left\{\frac{m}{n}: m\in\mathbb Z\land n\in\mathbb N\right\}&&\text{rationaaliluvut}\\ \mathbb R&&&\text{reaaliluvut}\\ \mathbb C&=\{x + yi : x \in \mathbb R\land y \in \mathbb R\}&&\text{kompleksiluvut}\end{aligned}\end{split}\]

Näille joukoille voidaan kirjoittaa osajoukkoketju \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C\). Ei ole olemassa yhtenäistä sopimusta siitä, kuuluuko \(0\) joukkoon \(\mathbb N\) vai ei, ja tämän vuoksi käytäntö tulee kunkin tekstin yhteydessä tarkastaa. Lisäksi positiivisille ja negatiivisille kokonaisluvuille käytetään yleisesti merkintöjä \(\mathbb Z_+=\{1,2,3,\ldots\}\) ja \(\mathbb Z_-=\{-1,-2,-3,\ldots\}\).

Jos \(a\in\mathbb R\), \(b\in\mathbb R\) ja \(a<b\), niin määritellään rajoitetut välit

\[\begin{split}\begin{aligned} (a,b)&=\{x\in\mathbb R:\ a<x<b\}&&\text{avoin väli}\\ [a,b]&=\{x\in\mathbb R:\ a\le x\le b\}&&\text{suljettu väli}\\ (a,b]&=\{x\in\mathbb R:\ a< x\le b\}&&\text{puoliavoin väli}\\ [a,b)&=\{x\in\mathbb R:\ a\le x< b\}&&\text{puoliavoin väli}\end{aligned}\end{split}\]

ja rajoittamattomat välit

\[\begin{split}\begin{aligned} (a,\infty)&=\{x\in\mathbb R:\ x>a\}&&\text{avoin väli}\\ [a,\infty)&=\{x\in\mathbb R:\ x\ge a\}&&\text{suljettu väli}\\ (-\infty,b)&=\{x\in\mathbb R:\ x< b\}&&\text{avoin väli}\\ (-\infty,b]&=\{x\in\mathbb R:\ x\le b\}&&\text{suljettu väli}\end{aligned}\end{split}\]

Samassa hengessä kirjoitetaan \((-\infty,\infty)=\mathbb R\).

Esimerkki.

\(\{n : n = 2k - 1 \land k \in \mathbb N\} = \{2k - 1 : k \in \mathbb N\} = \{1, 3, 5, \ldots\}\)
\(\{2k - 1 : k \in \mathbb N\land k \leq 50\} = \{2k - 1 : k = 1, \ldots, 50\} = \{1, 3, 5, \ldots, 99\}\)
\(\{x \in \mathbb R: x^2 - 8x + 15 = 0\} = \{3, 5\}\)
\(\{x \in \mathbb R: x^2 - 8x + 15 < 0\} = (3, 5)\)
\(\{x \in \mathbb R: x^2 + 1 = 0\} = \varnothing\)
\(\{x \in \mathbb C: x^2 + 1 = 0\} = \{-i, i\}\)
\(\left\{\mathbf{x}\in \mathbb R^3 : \begin{bmatrix}1 & 5 & 1\\2 & 11 & 5\end{bmatrix}\mathbf{x}= \mathbf{0}\right\} = \left\{t\begin{bmatrix}14\\-3\\1\end{bmatrix} : t \in \mathbb R\right\}\)

Esimerkki.

Olkoot joukot

\[\begin{split}\begin{aligned} A&=\{n\in\mathbb N: \text{luvun }n\text{ kaksi viimeistä numeroa ovat 24}\}\qquad\text{ja}\\ B&=\{n\in\mathbb N: n\text{ on jaollinen luvulla 4}\}.\end{aligned}\end{split}\]

Osoita, että \(A \subseteq B\).

Todistus.

Oletetaan, että \(n \in A\) ja pyritään osoittamaan, että \(n \in B\). Oletuksen nojalla luonnollisen luvun \(n\) kaksi viimeistä numeroa (kymmenjärjestelmässä) ovat 24, joten

\[n = 100k + 24\]

jollakin \(k = 0, 1, 2, \ldots\). Nyt tässä esityksessä voidaan ottaa \(4\) yhteiseksi tekijäksi, jolloin \(n = 4(25k + 6)\). Luku \(25k + 6\) on kokonaisluku, sillä \(25\), \(k\) ja \(6\) ovat kokonaislukuja, ja täten \(4\) on luvun \(n\) tekijä. Siis \(n \in B\), ja näin on osoitettu, että \(A \subseteq B\). \(\square\)

Esimerkki.

Osoita, että \(\left\{\mathbf{x}\in \mathbb R^3 : \begin{bmatrix}1 & 5 & 1\\2 & 11 & 5\end{bmatrix}\mathbf{x}= \mathbf{0}\right\} = \left\{t\begin{bmatrix}14\\-3\\1\end{bmatrix} : t \in \mathbb R\right\}\).

Todistus.

Merkitään

\[\begin{split}\begin{aligned} A &= \left\{\mathbf{x}\in \mathbb R^3 : \begin{bmatrix}1 & 5 & 1\\2 & 11 & 5\end{bmatrix}\mathbf{x}= \mathbf{0}\right\} \qquad\text{ja} \\ B &= \left\{t\begin{bmatrix}14\\-3\\1\end{bmatrix} : t \in \mathbb R\right\}.\end{aligned}\end{split}\]

Osoitetaan ensin, että \(A \subseteq B\). Olkoon \(\mathbf{x}= \begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}^T \in A\), jolloin

\[\begin{split}\begin{bmatrix}1 & 5 & 1\\2 & 11 & 5\end{bmatrix}\mathbf{x}= \mathbf{0}.\end{split}\]

Viemällä vastaava kokonaismatriisi redusoituun riviporrasmuotoon havaitaan, että

\[\begin{split}\begin{bmatrix}1 & 0 & -14\\0 & 1 & 3\end{bmatrix}\mathbf{x}= \mathbf{0},\end{split}\]

eli

\[\begin{split}\begin{cases}x - 14z = 0\\y + 3z = 0.\end{cases}\end{split}\]

Parametrisoidaan \(z = t\), missä \(t \in \mathbb R\), jolloin

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}14t\\-3t\\t\end{bmatrix} = t\begin{bmatrix}14\\-3\\1\end{bmatrix} \in B.\end{split}\]

Täten \(A \subseteq B\). Osoitetaan sitten, että \(B \subseteq A\). Oletetaan, että \(\mathbf{x}\in B\), eli

\[\begin{split}\mathbf{x}= t\begin{bmatrix}14\\-3\\1\end{bmatrix}\end{split}\]

jollakin \(t \in \mathbb R\). Tällöin

\[\begin{split}\begin{bmatrix}1 & 5 & 1\\2 & 11 & 5\end{bmatrix}\mathbf{x}= \begin{bmatrix}1 & 5 & 1\\2 & 11 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}14t\\-3t\\t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(14 - 5 \cdot 3 + 1)t\\(2 \cdot 14 - 11 \cdot 3 + 5)t\end{bmatrix} = \mathbf{0},\end{split}\]

eli \(\mathbf{x}\in A\). Täten \(B \subseteq A\) ja \(A = B\). \(\square\)

Esimerkki.

Todista vektorijoukon virittäjien karsintaa koskeva lause.

Todistus.

Oletetaan, että vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia, ja että vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{x}\) ovat lineaarisesti riippuvia. On todistettava, että tällöin A =

\[\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{x}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\} = B.\]

Oletetaan, että vektori \(\mathbf{y}\in A\), jolloin

\[\mathbf{y}= a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_k\mathbf{v}_k + a\mathbf{x}\]

joillakin reaalilukukertoimilla \(a_1, a_2, \ldots, a_k, a\). Koska vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia,

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k \not= \mathbf{0}\]

aina, kun vähintään yksi kertoimista \(c_1, c_2, \ldots, c_k\) poikkeaa nollasta. Toisaalta, koska vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{x}\) ovat lineaarisesti riippuvia, joillakin kertoimilla \(b_1, b_2, \ldots, b_k, b\) on voimassa

\[b_1\mathbf{v}_1 + b_2\mathbf{v}_2 + \cdots + b_k\mathbf{v}_k + b\mathbf{x}= \mathbf{0}\]

ja vähintään yksi niistä poikkeaa nollasta. Jos nyt \(b = 0\), niin olisi

\[b_1\mathbf{v}_1 + b_2\mathbf{v}_2 + \cdots + b_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}\]

samalla, kun jokin kertoimista \(b_1, b_2, \ldots, b_k\) eroaa nollasta. Tämä on ristiriita, joten \(b \not= 0\) ja täten

\[\mathbf{x}= -\frac{1}{b}(b_1\mathbf{v}_1 + b_2\mathbf{v}_2 + \cdots + b_k\mathbf{v}_k).\]

Sijoittamalla tämä vektorin \(\mathbf{y}\) esitykseen nähdään, että se on vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) lineaarikombinaatio, eli \(\mathbf{y}\in B\) ja näin \(A \subseteq B\).

Oletetaan sitten, että vektori \(\mathbf{y}\in B\), jolloin

\[\mathbf{y}= d_1\mathbf{v}_1 + d_2\mathbf{v}_2 + \cdots + d_k\mathbf{v}_k = d_1\mathbf{v}_1 + d_2\mathbf{v}_2 + \cdots + d_k\mathbf{v}_k + 0 \cdot \mathbf{x}\in A.\]

Täten \(B \subseteq A\) ja väite on todistettu. \(\square\)

Osion alussa asetettu joukon määritelmä on melko epätäsmällinen, mutta se riittää käytännön matemaatikolle ja soveltajalle. Yleensä käsittelemämme joukot sisältyvät kompleksilukujen joukkoon, tai ovat niistä johdettuja, jolloin joukon määritelmän kanssa ei tule ongelmia. Russellin paradoksi osoittaa kuitenkin, että syvällisemmällä tasolla joukon määritelmä on ristiriitainen. Tarkastellaan niiden joukkojen kokoelmaa \(E\), jonka jäsenet eivät sisälly itseensä, eli kokoelmaa

\[E=\{A : A\not\in A\}.\]

Kuuluuko \(E\) itse tähän kokoelmaan? Jos olisi \(E\in E\), niin kokoelman määritelmän nojalla olisi \(E\not\in E\), mikä on ristiriita. Toisaalta ei ole myöskään mahdollista, että \(E\) ei kuulu tähän kokoelmaan, sillä jos \(E\not\in E\), niin jälleen määrittelyehdon nojalla \(E\in E\). Ei siis voida sanoa, kuuluuko \(E\) kokoelmaan \(E\) vai ei.

Russellin paradoksin voi esittää myös seuraavasti. Kylän parturi väittää leikkaavansa täsmälleen niiden kyläläisten hiukset, jotka eivät leikkaa omia hiuksiaan. Leikkaako parturi omat hiuksensa?