Kanta ja dimensio¶

Aliavaruus on siis vektorikokoelma, jonka alkioita voidaan laskea yhteen ja kertoa skalaareilla ilman, että tulos poistuu tästä kokoelmasta. On selvää, että jokaiseen epätriviaaliin aliavaruuteen sisältyy tällöin äärettömän monta erilaista vektoria. Jotta annetun aliavaruuden ominaisuuksia pystyttäisiin tutkimaan, olisi mukavaa pystyä löytämään äärellinen määrä vektoreita, jotka edustavat koko aliavaruutta.

Lause.

Olkoon \(S\) avaruuden \(\mathbb R^n\) aliavaruus ja \(S \neq \{\mathbf{0}\}\). Tällöin aliavaruudesta \(S\) löydetään sellaiset nollasta poikkeavat lineaarisesti riippumattomat vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\), että

\[S=\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}.\]

Vektorijoukkoa \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}\) kutsutaan aliavaruuden \(S\) kannaksi.

Todistus.

Koska \(S\) sisältyy avaruuteen \(\mathbb R^n\), niin on oltava \(k \leq n\) aiemman lauseen nojalla. Tämän vuoksi voidaan olettaa, että \(k\) on suurin sellainen luku, että aliavaruuden \(S\) vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia. Olkoon \(\mathbf{v}\) jokin aliavaruuden \(S\) vektori. Jos \(\mathbf{v}= \mathbf{v}_i\) jollakin \(i = 1, 2, \ldots, k\), niin sillä on lineaarikombinaatioesitys

\[\mathbf{v}= 0 \cdot \mathbf{v}_1 + 0 \cdot \mathbf{v}_2 + \cdots + 1 \cdot \mathbf{v}_i + \cdots + 0 \cdot \mathbf{v}_k,\]

eli \(\mathbf{v}\) on virityksessä \(\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}\). Muuten vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{v}\) on oltava lineaarisesti riippuvia, ja aikaisemman lauseen nojalla

\[\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{v}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}.\]

Koska \(\mathbf{v}\) on virityksessä \(\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{v}\}\), niin edellisen yhtäsuuruuden vuoksi \(\mathbf{v}\) on myös virityksessä \(\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}\). Jokainen aliavaruuden \(S\) vektori on siis vektoreiden \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) virittämä. \(\square\)

Lause.

Olkoon \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}\) aliavaruuden \(S\) kanta. Tällöin aliavaruuden \(S\) vektorilla \(\mathbf{v}\) on lineaarikombinaatioesityksen

\[\mathbf{v}= c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k\]

kertoimet voidaan valita täsmälleen yhdellä tavalla.

Todistus.

Edellisen lauseen nojalla vektorilla \(\mathbf{v}\) on lineaarikombinaatioesitys. Oletetaan, että

\[c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{v}= c_1'\mathbf{v}_1 + c_2'\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k'\mathbf{v}_k,\]

jolloin

\[(c_1 - c_1')\mathbf{v}_1 + (c_2 - c_2')\mathbf{v}_2 + \cdots + (c_k - c_k')\mathbf{v}_k = \mathbf{0}.\]

Koska vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia, yhtälön toteutumiseksi on oltava \(c_1 - c_1' = c_2 - c_2' = \cdots = c_k - c_k' = 0\). Täten lineaarikombinaatioesitys on yksikäsitteinen. \(\square\)

Kannan idea ja hyöty on siis siinä, että jokaisella aliavaruuden vektorilla on yksikäsitteinen esitys kannan vektoreiden lineaarikombinaationa.

Esimerkki.

Avaruuden \(\mathbb R^n\) vektorit

\[\begin{split}\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1\\0\\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0\\1\\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad\ldots\qquad \mathbf{e}_n = \begin{bmatrix} 0\\0\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

ovat lineaarisesti riippumattomia, sillä

\[\operatorname{rref}\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \ldots & \mathbf{e}_n \end{bmatrix} = I_n,\]

ja samaan aikaan \(\mathbb R^n = \operatorname{span}\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}\). Nämä luonnollisen kannan vektorit nimensä mukaisesti muodostavat siis avaruuden \(\mathbb R^n\) kannan.

Samalla aliavaruudella voi olla useita erilaisia kantoja, mutta niissä kaikissa on sama määrä vektoreita.

Lause.

Olkoon \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) aliavaruuden \(S\) kanta. Jos \(m > k\), niin aliavaruuden \(S\) vektorit \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_m\) ovat lineaarisesti riippuvia.

Todistus.

Tarkastellaan vektoriyhtälöä

\[c_1\mathbf{u}_1 + c_2\mathbf{u}_2 + \cdots + c_m\mathbf{u}_m = \mathbf{0}.\]

Vektorit \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_m\) voidaan esittää kannan vektorien yksikäsitteisinä lineaarikombinaatioina

\[\begin{split}\begin{aligned} \mathbf{u}_1 &=a_{11}\mathbf{v}_1+a_{12}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{1k}\mathbf{v}_k\\ \mathbf{u}_2 &=a_{21}\mathbf{v}_1+a_{22}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{2k}\mathbf{v}_k\\ &\ \ \vdots \\ \mathbf{u}_m &=a_{m1}\mathbf{v}_1+a_{m2}\mathbf{v}_2+\cdots+a_{mk}\mathbf{v}_k,\end{aligned}\end{split}\]

jolloin vektoriyhtälön vasemman puolen \(i\):s termi, \(i = 1, 2, \ldots, m\) tulee muotoon

\[c_i(a_{i1}\mathbf{v}_1 + a_{i2}\mathbf{v}_2 + \cdots + a_{ik}\mathbf{v}_k) = c_ia_{i1}\mathbf{v}_1 + c_ia_{i2}\mathbf{v}_2 + \cdots + c_ia_{ik}\mathbf{v}_k.\]

Yhteenlaskun jälkeen vektorin \(\mathbf{v}_j\) kertoimeksi tulee

\[c_1a_{1j} + c_2a_{2j} + \cdots + c_ma_{mj} = b_j,\]

eli vektoriyhtälö tulee muotoon

\[b_1\mathbf{v}_1 + b_2\mathbf{v}_2 + \cdots + b_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}.\]

Vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippumattomia, joten \(b_1 = b_2 = \cdots = b_k = 0\). Näin saadaan muuttujien \(c_1, c_2, \ldots, c_m\) yhteensä \(k\) homogeenisen yhtälön lineaarinen ryhmä

\[\begin{split}\begin{cases} a_{11}c_1 + a_{21}c_2 + \cdots + a_{m1}c_m = 0 \\ a_{12}c_1 + a_{22}c_2 + \cdots + a_{m2}c_m = 0 \\ \phantom{a_{13}c_1 + a_{23}c_3 +}\vdots \\ a_{1k}c_1 + a_{2k}c_2 + \cdots + a_{mk}c_m = 0. \end{cases}\end{split}\]

Koska \(m > k\), niin tällä yhtälöryhmällä on ääretön määrä ratkaisuja, ja täten alkuperäinen vektoriyhtälö toteutuu joillakin nollasta poikkeavilla kertoimilla \(c_1, c_2, \ldots, c_m\). \(\square\)

Huomautus.

Suoralla, eli yhden vektorin virittämässä aliavaruudessa mitkä tahansa kaksi vektoria ovat lineaarisesti riippuvia. Vastaavasti tasolla, eli kahden vektorin virittämässä aliavaruudessa mitkä tahansa kolme vektoria ovat lineaarisesti riippuvia.

Seuraus.

Olkoot \(\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_m\}\) ja \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) aliavaruuden \(S\) kantoja. Tällöin \(m = k\).

Todistus.

Jos \(m > k\), niin vektorit \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_m\) ovat lineaarisesti riippuvia. Vastaavasti jos \(m < k\), niin vektorit \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\) ovat lineaarisesti riippuvia. Kumpikaan tapaus ei ole mahdollinen, joten on oltava \(m = k\). \(\square\)

Tämä tulos, aliavaruuksien dimensiolause, mahdollistaa aliavaruuden ulottuvuuksien lukumäärästä puhumisen.

Määritelmä.

Aliavaruuden \(S\) dimensio, \(\operatorname{dim}(S)\), on sen kantavektoreiden lukumäärä. Jos \(\operatorname{dim}(S) = k\), niin aliavaruuden \(S\) sanotaan olevan \(k\)-ulotteinen. Triviaalille aliavaruudelle \(\operatorname{dim}\{\mathbf{0}\} = 0\).

Esimerkki.

Avaruuden \(\mathbb R^n\) luonnollisessa kannassa \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) on \(n\) vektoria, joten \(\operatorname{dim}(\mathbb R^n) = n\).

Avaruuksille \(\mathbb R^2\) ja \(\mathbb R^3\) on suhteellisen helppo löytää myös luonnollisesta kannasta eroavia kantoja. Mitkä tahansa kaksi tason erisuuntaista vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne muodostavat myös kannan. Avaruudessa \(\mathbb R^3\) voidaan valita kaksi erisuuntaista vektoria, ja etsiä kolmas kantavektori esimerkiksi kahden ensimmäisen ristituloa.

Lause.

Jos \(\mathbf{u}\not= \mathbf{0}\) ja \(\mathbf{v}\not= \mathbf{0}\) ovat avaruuden \(\mathbb R^3\) erisuuntaisia vektoreita, niin \(\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{u}\times \mathbf{v}\}\) on avaruuden \(\mathbb R^3\) kanta.

Todistus.

Koska \(\operatorname{dim}(\mathbb R^3) = 3\), kantaehdokkaassa on jo oikea määrä vektoreita. Riittää osoittaa, että ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Otetaan vektoriyhtälössä

\[\alpha\mathbf{u}+ \beta\mathbf{v}+ \gamma\mathbf{u}\times\mathbf{v}= \mathbf{0}\]

pistetulo puolittain vektorin \(\mathbf{u}\times \mathbf{v}\) kanssa. Tiedetään, että vektoriparit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{u}\times \mathbf{v}\), sekä \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{u}\times \mathbf{v}\) ovat ortogonaalisia, ja täten

\[\alpha\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v}) + \beta\mathbf{v}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v}) + \gamma(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v}) = 0 + 0 + \gamma\|\mathbf{u}\times \mathbf{v}\|^2 = \gamma\|\mathbf{u}\times \mathbf{v}\|^2 = 0 = \mathbf{0}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v}).\]

Koska \(\mathbf{u}\not= \mathbf{0}\) ja \(\mathbf{v}\not= \mathbf{0}\), myös \(\mathbf{u}\times \mathbf{v}\not= \mathbf{0}\) ja täten on oltava \(\gamma = 0\). Alkuperäinen vektoriyhtälö palautuu muotoon

\[\alpha\mathbf{u}+ \beta\mathbf{v}= \mathbf{0},\]

missä on oltava \(\alpha = \beta = 0\), sillä vektorit \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat erisuuntaiset. \(\square\)

Esimerkki.

Määrää jokin avaruuden \(\mathbb R^3\) kanta, joka sisältää vektorin \(\mathbf{u}=(1, 0, -1)\).

Ratkaisu.

Toiseksi kantavektoriksi kelpaa esimerkiksi \(\mathbf{v}= (0, 1, 0)\), sillä se ei ole yhdensuuntainen vektorin \(\mathbf{u}\) kanssa. Kolmanneksi kantavektori voidaan siis valita

\[\begin{aligned} \mathbf{u}\times \mathbf{v}&= (\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3) \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_3,\end{aligned}\]

eli \(\mathbf{u}\times \mathbf{v}= (1, 0, 1)\). Esimerkki halutusta kannasta on siis

\[\begin{split}\left\{\begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix}\right\}.\end{split}\]