Matriisialgebraa

Ryhdytään sitten tarkastelemaan edellä määriteltyjen matriisien summan, skalaarilla kertomisen, tulon ja transpoosin omainaisuuksia.

Lause.

Olkoot $A$, $B$ ja $C$ samankokoisia matriiseja, sekä $r$ ja $s$ reaalilukuja. Tällöin

1. $rA+sA=(r+s)A$ (osittelulaki matriisille)
2. $rA+rB=r(A+B)$ (osittelulaki skalaarille)
3. $r(sA)=(rs)A$ (skalaarin siirto)
4. $A+B=B+A$, (summan vaihdannaisuus)
5. $(A+B)+C=A+(B+C)$ (summan liitännäisyys)
6. $A+O=A$ (summan neutraalialkio)
7. $A+(-A)=O$ (summan vasta-alkio)
8. $1A=A$ (skalaarilla kertomisen neutraalialkio)
9. $0A=O$ (nollalla kertominen).

Todistus.

Kaikki kohdat seuraavat suoraan määritelmistä. Vertaa vektorien summan ja skalaarilla kertomisen vastaaviin ominaisuuksiin. $\square$

Lause.

Olkoot $A$, $B$ ja $C$ matriiseja, joiden koot sallivat seuraavat operaatiot, sekä $r$ reaaliluku. Tällöin

1. $A(BC)=(AB)C$ (matriisitulon liitännäisyys)
2. $A(B+C)=AB+AC$ (osittelulaki summan suhteen)
3. $(A+B)C=AC+BC$ (osittelulaki summan suhteen)
4. $r(AB)=(rA)B=A(rB)$ (skalaarin siirto)
5. $I_mA=A=AI_n$, jos $A$ on $m \times n$-matriisi (matriisitulon neutraalialkio)
6. $OA = O = AO$ (nollalla kertominen).

Todistus.

Todistetaan esimerkiksi kohta 3. Olkoot

$$\begin{split}A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T \\ \mathbf{a}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{a}_m^T \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad B = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T \\ \mathbf{b}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{b}_m^T \end{bmatrix}\end{split}$$

$m \times n$-matriiseja, sekä

$$C = \begin{bmatrix} \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 & \cdots & \mathbf{c}_r \end{bmatrix}$$

$n \times r$ matriisi. Matriisitulon määritelmästä saadaan, että

$$\begin{split}\begin{aligned} (A + B)C &= \begin{bmatrix} (A + B)\mathbf{c}_1 & (A + B)\mathbf{c}_2 & \cdots & (A + B)\mathbf{c}_r \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} (\mathbf{a}_1 + \mathbf{b}_1) \cdot \mathbf{c}_1 & (\mathbf{a}_1 + \mathbf{b}_1) \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & (\mathbf{a}_1 + \mathbf{b}_1) \cdot \mathbf{c}_r \\ (\mathbf{a}_2 + \mathbf{b}_2) \cdot \mathbf{c}_1 & (\mathbf{a}_2 + \mathbf{b}_2) \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & (\mathbf{a}_2 + \mathbf{b}_2) \cdot \mathbf{c}_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (\mathbf{a}_m + \mathbf{b}_m) \cdot \mathbf{c}_1 & (\mathbf{a}_m + \mathbf{b}_m) \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & (\mathbf{a}_m + \mathbf{b}_m) \cdot \mathbf{c}_r \end{bmatrix}.\end{aligned}\end{split}$$

Nyt vektorien pistetulon osittelulain nojalla

$$\begin{split}\begin{aligned} (A + B)C &= \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{c}_1 & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{c}_r \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_1 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{c}_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{c}_1 & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{c}_r \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{c}_1 & \mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & \mathbf{b}_1 \cdot \mathbf{c}_r \\ \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_1 & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & \mathbf{b}_2 \cdot \mathbf{c}_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{b}_m \cdot \mathbf{c}_1 & \mathbf{b}_m \cdot \mathbf{c}_2 & \cdots & \mathbf{b}_m \cdot \mathbf{c}_r \end{bmatrix} \\ &= AC + BC.\end{aligned}\end{split}$$

Loput jätetään harjoitustehtäväksi. Kaikki kohdat seuraavat kyllä suoraan määritelmistä ja aiemmin esitellyistä laskusäännöistä, vaikka todistukset saattavatkin näyttää monimutkaisilta. $\square$

Huomautus.

Matriisien algebralliset ominaisuudet motivoivat lineaarikuvauksen määritelmän. Funktio $L$, joka ottaa syötteenään avaruuden $\mathbb R^n$ vektorin ja tuottaa avaruuden $\mathbb R^m$ vektorin on lineaarikuvaus, jos

$$L(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})=\alpha L(\mathbf{x})+\beta L(\mathbf{y})$$

aina, kun $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$ ovat avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita, sekä $\alpha$ ja $\beta$ reaalilukuja. Matriisin $A$ avulla määritelty kuvaus $L(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ on lineaarikuvaus edellä esiteltyjen laskusääntöjen nojalla. Lisäksi voidaan osoittaa, että jokaiselle tietyt ehdot toteuttavalle lineaarikuvaukselle on tämän kaltainen matriisiesitys.

Hieman monimutkaisempi esimerkki avaruuden $\mathbb R^3$ lineaarikuvauksesta on ristitulo vakiovektorin $\mathbf{a}= (a_1, a_2, a_3)$ kanssa, jolle saadaan matriisiesitys

$$\begin{split}L_{\mathbf{a}}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}\times \mathbf{a}= \begin{bmatrix} 0 & a_3 & -a_2 \\ -a_3 & 0 & a_1 \\ a_2 & -a_1 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x}.\end{split}$$

Esimerkki vektoreille toimivasta funktiosta, joka ei ole lineaarikuvaus, on $L(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|$.

Toisin kuin reaaliluvuilta ja monilta muilta matemaattisilta olioilta, matriiseilta puuttuu tulon vaihdannaisuuden ominaisuus. Tämän vuoksi samankokoisten neliömatriisien $A$ ja $B$ tulon algebrallisten ominaisuuksien tutkimisessa käytetään joskus kommutaattoria

$$[A, B] = AB - BA.$$

Jos matriisien $A$ ja $B$ tulo sattuu toteuttamaan vaihdannaisuusehdon $AB = BA$, kommutaattorin arvoksi tulee nollamatriisi $O$. Muuten $[A, B] \not= O$. Kommutaattorilla on tärkeitä sovelluksia ainakin geometriassa ja kvanttimekaniikassa.

Lause.

Olkoot $A$, $B$ ja $C$ samankokoisia neliömatriiseja, sekä $a$, $b$ ja $c$ reaalilukuja. Tällöin

1. $[aA + bB, C] = a[A, C] + b[B, C]$ ja $[A, bB + cC] = b[A, B] + c[A, C]$,
2. $[A, B] = -[B, A]$ (vinosymmetrisyys),
3. $[[A, B], C] + [[C, A], B] + [[B, C], A] = O$ (Jacobin identiteetti).

Todistus.

Jätetään harjoitustehtäväksi. Kaikki kohdat seuraavat määritelmästä. $\square$

Lause.

Olkoot $A$ ja $B$ matriiseja, joiden koot sallivat seuraavat operaatiot ja $\alpha\in\mathbb{R}$. Tällöin

1. $(A^T)^T=A$,
2. $(A+B)^T=A^T+B^T$,
3. $(\alpha A)^T=\alpha(A^T)$,
4. $(AB)^T=B^TA^T$,
5. $(A^k)^T=(A^T)^k$, kun $k$ on ei-negatiivinen kokonaisluku.

Todistus.

Todistetaan esimerkkeinä kohdat 1 ja 4. Ensimmäistä varten todetaan yksinkertaisesti, että matriisin $(A^T)^T$ jokainen sarake $j$ on matriisin $A^T$ rivi $j$, eli matriisin $A$ sarake $j$. Kohtaa 4 varten merkitään

$$\begin{split}A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T \\ \mathbf{a}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{a}_m^T \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad B = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{b}_r \end{bmatrix},\end{split}$$

missä matriisin $A$ koko on $m \times n$ ja matriisin $B$ koko $n \times r$. Tällöin

$$\begin{split}(AB)^T = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_r \\ \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_r \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_1 \\ \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_2 & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_r & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_r & \cdots & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_r \end{bmatrix}.\end{split}$$

Aiemmin huomautettiin, että $\mathbf{x}^T\mathbf{y}= \mathbf{y}^T\mathbf{x}$ kaikille avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreille $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$, joten

$$\begin{split}(AB)^T = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T\mathbf{a}_1 & \mathbf{b}_1^T\mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{b}_1^T\mathbf{a}_m \\ \mathbf{b}_2^T\mathbf{a}_1 & \mathbf{b}_2^T\mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{b}_2^T\mathbf{a}_m \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{b}_r^T\mathbf{a}_1 & \mathbf{b}_r^T\mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{b}_r^T\mathbf{a}_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T \\ \mathbf{b}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{b}_r^T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m \end{bmatrix} = B^TA^T.\end{split}$$

Tässä matriisien $B^T$ ja $A^T$ koot ovat $r \times n$ ja $n \times m$. Loput jätetään harjoitustehtäväksi. Kohdat 3 ja 5 voidaan muotoilla kohdan 4 seurauksina. $\square$

Lause.

Neliömatriisi $A$ voidaan esittää symmetrisen matriisin $S = \frac{1}{2}(A + A^T)$ ja vinosymmetrisen matriisin $N = \frac{1}{2}(A - A^T)$ summana

$$A=S+N.$$

Todistus.

Oletetaan, että $A$ on neliömatriisi. On osoitettava, että yllä määritelty matriisi $S$ on symmetrinen ja $N$ vinosymmetrinen, sekä että $A$ on näiden summa. Tutkitaan määritelmän mukaisesti matriisien $S$ ja $N$ transpooseja.

$$\begin{split}\begin{aligned} S^T &= \left(\frac{1}{2}(A + A^T)\right)^T = \frac{1}{2}(A^T + (A^T)^T) = \frac{1}{2}(A^T + A) = \frac{1}{2}(A + A^T) = S \\ N^T &= \left(\frac{1}{2}(A - A^T)\right)^T = \frac{1}{2}(A^T - (A^T)^T) = \frac{1}{2}(A^T - A) = -\frac{1}{2}(A - A^T) = -N\end{aligned}\end{split}$$

Siis matriisi $S$ on symmetrinen ja matriisi $N$ vinosymmetrinen. Niiden summa on

$$S + N = \frac{1}{2}(A + A^T) + \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2}(A + A) + \frac{1}{2}(A^T - A^T) = A,$$

eli todistus on valmis. $\square$

Transpoosi liittyy kauniisti myös vektorien pistetuloon.

Lause.

Olkoon $A$ $m \times n$-matriisi. Ehto

$$(A\mathbf{x})\cdot\mathbf{y}=\mathbf{x}\cdot(B\mathbf{y})$$

toteutuu kaikille avaruuksien $\mathbb R^n$ ja $\mathbb R^m$ vektoreille $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$ jos ja vain jos $B=A^T$.

Todistus.

On siis osoitettava, että annettu ehto on voimassa vektorien $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$ valinnasta riippumatta jos ja vain jos $B = A^T$. Osoitetaan väite kahdessa osassa.

1. Jos $B = A^T$, niin ehto toteutuu. Käytetään pistetulon tulkintaa matriisitulona, jolloin transpoosin laskusääntöjen nojalla

   $$(A\mathbf{x}) \cdot \mathbf{y}= (A\mathbf{x})^T\mathbf{y}= (\mathbf{x}^TA^T)\mathbf{y}= \mathbf{x}^T(A^T\mathbf{y}) = \mathbf{x}\cdot (A^T\mathbf{y}).$$

   Tässä vektorit $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$ ovat mielivaltaisia omissa avaruuksissaan.

2. Jos ehto toteutuu, niin $B = A^T$. Nyt siis $(A\mathbf{x}) \cdot \mathbf{y}= \mathbf{x}\cdot (B\mathbf{y})$, ja edellisen kohdan nojalla $(A\mathbf{x}) \cdot \mathbf{y}= \mathbf{x}\cdot (A^T\mathbf{y})$. Vähennetään nämä yhtälöt toisistaan ja tulkitaan pistetulo matriisitulona, jolloin

   $$0 = \mathbf{x}\cdot (B\mathbf{y}) - \mathbf{x}\cdot (A^T\mathbf{y}) = \mathbf{x}\cdot (B - A^T)\mathbf{y}= \mathbf{x}^T(B - A^T)\mathbf{y}.$$

   Tämä yhtälö toteutuu kaikilla sopivilla vektoreilla $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$, jolloin matriisin ja vektorin tuloa koskevan lemman nojalla on oltava

   $$\mathbf{x}^T(B - A^T) = \mathbf{0}^T.$$

   Transponoimalla puolittain ja soveltamalla samaa lemmaa uudelleen mielivaltaisella avaruuden $\mathbb R^n$ vektorilla $\mathbf{x}$ toteutuvaan yhtälöön

   $$(B^T - A)\mathbf{x}= \mathbf{0}$$

   päätellään, että $B^T - A = O$. Täten $B^T = A$, eli $B = A^T$.

$\square$

Edellinen lause on esimerkki tuloksesta, joka on ekvivalentti, eli yhtäpitävä määritelmän kanssa. Matriisin $A$ transpoosi voitaisiin yhtä hyvin määritellä sellaisena yksikäsitteisenä matriisina $B$, joka toteuttaa tämän lauseen ehdon. Kyseessä olisi erilaisesta määritelmästä huolimatta täsmälleen sama transpoosi $A^T$, kuin edellä määriteltiin.

Esimerkki.

Olkoot $A$ ja $B$ symmetrisiä $n\times n$-neliömatriiseja. Osoita, että $AB=BA$ täsmälleen silloin, kun matriisi $AB$ on symmetrinen.

Todistus.

Osoitetaan väite jälleen kahdessa osassa.

1. Jos $AB = BA$, niin $AB$ on symmetrinen. Matriisit $A$ ja $B$ ovat symmetrisiä, eli $A^T = A$ ja $B^T = B$. Tällöin oletuksen nojalla matriisin $AB$ transpoosi

   $$(AB)^T = B^TA^T = BA = AB,$$

   eli $AB$ on symmetrinen.

2. Jos $AB$ on symmetrinen, niin $AB = BA$. Koska $AB$, $A$ ja $B$ ovat symmetrisiä,

   $$AB = (AB)^T = B^TA^T = BA.$$

   Siis $AB = BA$.

$\square$

Posting submission...