Ongelmia ja ratkaisuja

Jo edellä törmättiin lineaariseen yhtälöryhmään, jonka ratkaiseminen on vektori- ja matriisilaskennan keskeisimpiä ongelmia. Lineaarisia yhtälöitä ja niiden kokoelmia hyödynnetään sovelluksissa erittäin usein, eikä sellaisen systeemin ratkaiseminen tai ratkaisun laadun tutkiminen ole triviaali ongelma.

Tässä osiossa pureudutaan lineaaristen yhtälöryhmien ja niiden kautta myös matriisien yleiseen teoriaan. Tavoitteena on yhtälöryhmän ratkaisemisen lisäksi oppia työkaluja tulevien aiheiden käyttöön. Tullaan havaitsemaan, että lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisut ovat täsmälleen samat kuin sopivan matriisi-vektoriyhtälön

\[A\mathbf{x}= \mathbf{b}\]

ratkaisut. Monet ongelmat matematiikassa ja sen sovelluksissa ilmaistaan tämän kaltaisina petollisen yksinkertaisina yhtälöinä. Niitä ratkaistaessa törmätään kahdenlaisiin ongelmiin.

1. Ratkaisua ei välttämättä ole olemassa. Tällöin on tyydyttävä pienimmän virheen aiheuttavaan arvioon ratkaisusta.
2. Jos ratkaisu onkin olemassa, se ei välttämättä ole yksikäsitteinen. Tällöin on osattava päätellä reunaehtojen tai muiden rajoitteiden avulla eniten oikea ratkaisu.

Tärppejä tähän osioon:

• Lineaarisen yhtälön ja yhtälöryhmän yleinen ratkaisu, rivimuunnokset
• Matriisi, yhtälöryhmää edustava kokonaismatriisi ja sen rivimuunnokset
• Matriisin redusoitu riviporrasmuoto ja siihen muuntaminen
• Yhtälöryhmän ratkaiseminen Gaussin eliminoinnilla
• Matriisien summa, tulo ja transpoosi, sekä niiden ominaisuudet
• Käänteismatriisi, sen ominaisuudet ja etsiminen, kääntyvien matriisien peruslause

Posting submission...