$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Polynomi- ja rationaalifunktiot¶

Määritelmä 3.3.1

Asteen $$n$$ polynomifunktio (polynomial function) on muotoa

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$

missä reaaliset kertoimet (coefficients) $$a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n$$ ovat vakioita ja $$a_n\ne0$$. Jos aste $$n = 0$$, polynomifunktiota $$f(x) = a_0$$ kutsutaan myös vakiofunktioksi. Nollafunktio on vakiofunktio $$f(x) = 0$$ ja sen asteeksi sovitaan $$-\infty$$.

Huomaa, että nollannen asteen polynomifunktio on $$f(x) = a_0 \not= 0$$. Polynomin $$f$$ astetta merkitään usein $$\deg f$$.

Esimerkki 3.3.2

Funktio $$f(x)=-5x^3+3x-7$$ on $$3$$. asteen polynomifunktio, jonka kertoimet ovat $$a_3=-5$$, $$a_2=0$$, $$a_1=3$$ ja $$a_0=-7$$.

Huomautus 3.3.3 (Lisätietoa)

Nollafunktio on vakiofunktion erikoistapaus, ja sen asteen määrittely on sopimuskysymys. Kirjallisuudessa ei ole yhtä vakiintunutta tapaa määritellä nollafunktion astetta, mutta $$-\infty$$ on perusteltavissa esimerkiksi rationaalifunktioiden avulla.

Reaaliluku $$x$$ on funktion $$f$$ nollakohta (zero), jos $$f(x)=0$$. Polynomiyhtälön $$f(x)=0$$ ratkaisua kutsutaan myös juureksi (root). Voidaan osoittaa, että asteen $$n$$ reaalikertoimisella polynomifunktiolla on korkeintaan $$n$$ reaalista nollakohtaa. Kompleksilukujen käsittelyn yhteydessä polynomien määritelmää laajennetaan kattamaan kompleksiset kertoimet ja syötteet. Tällöin nollakohtia on aina täsmälleen $$n$$ kappaletta.

Reaalisten polynomifunktioiden nollakohtien lukumäärää havainnollistetaan seuraavissa kuvissa. Kolmannen asteen polynomifunktiolla voi olla $$1$$, $$2$$ tai $$3$$ nollakohtaa, kun taas neljännen asteen polynomfunktiolla voi olla $$0-4$$ nollakohtaa. Parittoman asteen polynomifunktioilla on aina vähintään yksi reaalinen nollakohta.

Nollakohta vastaa polynomin ensimmäisen asteen tekijää seuraavan lauseen mukaisesti. Tavoitteena on, että opiskelija pystyy nollakohdan löydettyään kirjoittamaan polynomin lauseen mukaiseen muotoon. Nollakohtien etsimisen taas oleteaan onnistuvan lähinnä yksinkertaisissa tilanteissa, joissa nollakohta on joko helppo päätellä suoraan polynomista tai käyttäen toisen asteen polynomin ratkaisukaavaa 1.6. Tämän tutun kaavan käsittely hoidetaan myöhemmin, koska kompleksiluvut liittyvät siihen oleellisesti.

Lause 3.3.4

Jos polynomin $$f$$ aste on $$n \geq 1$$ ja luku $$z$$ sen nollakohta, niin polynomi $$x - z$$ jakaa polynomin $$f$$. Toisin sanoen

$f(x) = (x - z)q(x),$

missä $$q$$ on polynomi, jonka aste on $$\deg q = n-1$$.

Piilota/näytä todistus

Merkitään $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$. Nyt, koska $$z$$ on polynomin $$f$$ nollakohta,

\begin{aligned} f(x) &= f(x) - 0 = f(x) - f(z) =a_n(x^n-z^n)+a_{n-1}(x^{n-1}-z^{n-1})+\cdots+(a_0-a_0). \end{aligned}

Lausekkeessa jokaista $$k = 1, 2, \ldots, n$$ kohti voidaan kirjoittaa lemman 1.6.6 mukaisesti

\begin{aligned} x^k-z^k&=(x-z)(x^{k - 1} + x^{k - 2}z + \cdots + xz^{k - 2} + z^{k - 1})=(x-z)q_{k}(x), \end{aligned}

missä kunkin polynomin $$q_k(x) = x^{k - 1} + x^{k - 2}z + \cdots + xz^{k - 2} + z^{k - 1}$$ aste on $$k - 1$$. Niinpä polynomin $$f$$ esitys voidaan kirjoittaa muodossa

$f(x)=(x-z)(q_n(x)+q_{n-1}(x)+\cdots+q_2(x)+q_1(x))=(x - z)q(x),$

missä polynomin $$q = q_n + \cdots + q_1$$ aste on $$n-1$$.

Edellä mainittu polynomi $$q$$ on jakolaskun $$f(x)/(x-z)$$ tulos, ja se voidaan etsiä käytännössä jakokulma-algoritmin (long division) avulla. Jos $$z$$ on polynomin $$f$$ nollakohta, jako menee tasan. Yleisemmin jako ei mene tasan, jolloin voidaan kirjoittaa

$f(x) = (x - z)q(x) + r(x),$

missä polynomi $$r(x)$$ on jakojäännös (vertaa kokonaislukujen jakoyhtälöön).

Esimerkki 3.3.5

Tarkastellaan polynomia $$p(x)=x^3+3x^2-11x+2$$. Sen arvo pisteessä $$2$$ on

$p(2) = 8 + 3 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 2 = 0,$

joten $$2$$ on polynomin $$p$$ nollakohta ja $$x-2$$ on sen tekijä. Lasketaan osamäärä vaiheittain jakokulmassa.

Koska jakaja $$x - 2$$ koostuu kahdesta termistä, jakokulmassa käsitellään kahta termiä kerrallaan. Korkeimman asteen termiksi tulee $$x^2$$, sillä tulon $$x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2$$ korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun jälkeen voidaan ottaa polynomin $$p$$ seuraava termi mukaan käsittelyyn.

Seuraavaksi korkeimman asteen termiksi tulee $$5x$$, sillä tulon $$5x(x - 2) = 5x^2 - 10x$$ korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun jälkeen voidaan ottaa polynomin $$p$$ seuraava termi mukaan käsittelyyn.

Seuraavaksi korkeimman asteen termiksi tulee $$-1$$, sillä tulon $$-1 \cdot (x - 2) = -x + 2$$ korkeimman asteen termi on sama kuin käsiteltävässä binomissa. Vähennyslaskun tulos on matalampaa astetta kuin jakaja, joten päätetään jakoalgoritmi. Jakojäännös on $$0$$, eli jako menee tasan ja $$p=(x-2)(x^2+5x-1)$$.

Esimerkki 3.3.6

Tutkitaan polynomin $$3x^3 - 2x^2 + 5$$ jaollisuutta polynomilla $$x^2 - 1$$ jakokulman avulla. Koska jaettavasta ja jakajasta puuttuu ensimmäisen asteen termi, lisätään niille tyhjää tilaa. Laskenta etenee samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

Viimeisen vähennyslaskun tulos on matalampaa astetta kuin jakaja, joten päätetään jakoalgoritmi. Jakojäännös on $$3x + 3$$, eli jako ei mene tasan. Tällöin

$p = (x^2 - 1)(3x - 2) + 3x + 3,$

Jaetaan jakokulmassa polynomi $$6x^2+5x+10$$ polynomilla $$3x+1$$. Vastaa kysymyksiin. On epätodennäköistä, että saisit kaikki tämän tehtävän kohdat oikein kerralla, jos et kirjoita tässä tehtävää jakolaskua itse kuvailun mukaan.

Jaettava sijoitetaan jakokulman alle ja jakaja jakokulman vasemmalle puolelle. Jaetaan ensin vain korkeimman asteen termit keskenään. Mikä on tämän ensimmäisen jaon tulos, joka sijoitetaan jakokulman yläpuolelle?
Kerrotaan seuraavaksi äsken jakokulman päälle kirjoitetulla termillä koko jakajapolynomi $$3x+1$$. Tulos kirjoitetaan jaettavan polynomin kahden ensimmäisen termin alle niin, että samanasteiset $$x$$:n potenssit ovat allekkain. Mitä sinne täsmälleen kirjoitetaan?
Vähennetään edellisessä kysymyksessä allekkain kirjoitetut termit toisistaan, ts. ylempi termi miinus alempi termi. Siis esim. jakokulmaan alun perin kirjoitetusta termistä $$6x^2$$ vähennetään sen alle kirjoitettu $$6x^2$$, jolloin tulos on nolla eli korkeimman asteen termi häviää vähennyksessä. Tehdään sama vähennyslasku myös toiselle termille. Lisäksi vähennyslaskun tulokseen lisätään jaettavan polynomin seuraavaksi korkeinasteinen termi. Tulos kirjoitetaan edellisen rivin alle, taas samanasteiset termit allekkain. Mitä kirjoitetaan?
Seuraavaksi aloitetaan ikäänkuin alusta. Viimeksi kirjoitetun rivin korkeimman asteen termi jaetaan jakajan korkeimman asteen termillä ja kirjoitetaan tulos ylimmälle riville. Mitä ylimmällä rivillä tämän kirjoittamisen jälkeen lukee?
Ylimmälle riville viimeiseksi kirjoitetulla termillä kerrotaan koko jakajapolynomi $$3x+1$$ ja tulos kirjoitetaan tällä hetkellä alimpana olevan rivin termien alle niin, että samanasteiset x:n potenssit ovat allekkain. Mitä kirjoitetaan?
Vähennetään alimmalla rivillä olevat termit toiseksi alimmalla rivillä olevista. Mitä saadaan?

Jakamisen lopun tunnistat siitä, että viimeiselle riville kirjoitettu termi/polynomi on pienempää astetta kuin jakajapolynomi. Jos tulos on nolla, jako meni tasan. Jos ei ole, on jäänyt jakojäännöstä.

Polynomifunktioiden osamäärät muodostavat oman alkeisfunktioiden luokan, jonka alkioita kutsutaan rationaalifunktioiksi.

Määritelmä 3.3.7

Rationaalifunktio (rational function) on muotoa

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},$

missä $$g$$ ja $$h$$ ovat polynomifunktioita. Funktio $$f$$ on määritelty silloin, kun nimittäjä $$h(x) \not= 0$$.

Esimerkki 3.3.8

Piirretään rationaalifunktion $$f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-2}$$ kuvaaja.

Kiinnitä huomiota nimittäjän nollakohtien $$x=-2$$ ja $$x=1$$ ympäristöihin. Kuvaajaan on piirretty kummassakin kohdassa katkoviivalla pystysuora asymptootti, eli suora, jota kuvaaja lähestyy (muttei koskaan saavuta). Lisäksi huomionarvoista on sekin, että funktion nollakohdat sijaitsevat osoittajan nollakohdissa $$x=-1$$ ja $$x=2$$.

Tästä tehtävästä on sinulle eniten hyötyä, jos mietit kysymyksiä ensin ilman, että piirrät kuvaajaa. Kuvaajan saat toki piirtää siinä vaiheessa, kun tunnet siihen tarvetta.

Tarkastellaan rationaalifunktiota

$f(x)=\frac{(x-1)^2(x+3)}{(x-1)(x+1)(x+2)}.$
Valitse kaikki arvot $$x$$, joilla funktio $$f$$ ei ole määritelty.
Valitse kaikki arvot $$x$$, joilla $$f(x)=0$$.
Valitse kaikkien niiden pystysuorien yhtälöt, jotka ovat funktion $$f$$ asymptootteja.
Palautusta lähetetään...