$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Potenssi- ja juurifunktiot¶

Potenssifunktio on muotoa $$x^r$$ oleva funktio, jonka eksponentti $$r$$ on jokin reaaliluku. Tämän luvun tavoitteena on määritellä potenssifunktio matemaattisen täsmällisesti tapauksessa, jossa $$r$$ on rationaaliluku. Reaalieksponenttisen potenssifunktion määrittely onnistuu myöhemmin eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla luvussa 3.5. Koska rationaaliluvut voidaan ilmaista muodossa $$\frac{m}{n}$$, missä $$m$$ on jokin kokonaisluku ja $$n$$ jokin positiivinen kokonaisluku, pitää potenssifunktio saada määriteltyä aluksi eksponenteilla, jotka ovat kokonaislukuja tai niiden käänteislukuja. Käänteislukuja varten pitää määritellä potenssifunktioiden käänteisfunktiot eli niin kutsutut juurifunktiot.

## Eksponenttina positiivinen kokonaisluku¶

Kun eksponenttina $$r$$ on jokin positiivinen kokonaisluku, eksponentti ilmaisee tuttuun tapaan, montako kertaa itsellään kantaluku $$x$$ pitää kertoa. Tämä yksinkertainen idea otetaan lähtökohdaksi, kun potenssifunktion määritelmää aletaan laajentaa kohti rationaalieksponentin tapausta. Oleellista on huomata, että potenssinfunktion perusominaisuudet säilyvät jokaisessa yleistyksessä.

Määritelmä 3.2.1

Potenssifunktio (power function) $$f:\R\to\R$$, $$f(x)=x^n$$ positiivisille kokonaisluvuille $$n$$ määritellään asettamalla

$x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}}.$

Lukua $$x$$ kutsutaan kantaluvuksi ja lukua $$n$$ eksponentiksi. Erityisesti sanotaan, että $$x^2$$ on luvun $$x$$ neliö ja $$x^3$$ luvun $$x$$ kuutio.

Havainnollistetaan potenssifunktioita piirtämällä niiden kuvaajia. Parittomilla eksponenteilla $$x^n$$ on negatiivinen, kun $$x$$ on negatiivinen, ja parillisilla eksponenteilla $$x^n$$ on aina ei-negatiivinen. Perustele tämä itsellesi potenssifunktion määritelmän avulla.

Potenssifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että

$x^nx^m=(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}})(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{m\text{ kpl}})=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n+m\text{ kpl}}=x^{n+m}.$

Myös muut tutut potenssiopin laskusäännöt voidaan johtaa vastaavasti määritelmästä:

(1)$x^{n+m}=x^nx^m,\qquad(x^n)^m=x^{nm}\quad\text{ ja }\quad(xy)^n=x^ny^n,$

missä $$x$$ ja $$y$$ ovat reaalilukuja, sekä $$n$$ ja $$m$$ positiivisia kokonaislukuja.

Lause 3.2.2

Olkoon $$n$$ jokin positiivinen kokonaisluku. Seuraavat tulokset ovat voimassa.

1. Jos $$n$$ on pariton, niin potenssifunktio $$x^n$$ on aidosti kasvava.
2. Jos $$n$$ on parillinen, niin potenssifunktio $$x^n$$ on aidosti vähenevä, kun $$x<0$$, ja aidosti kasvava, kun $$x \geq 0$$.
Piilota/näytä todistus

Tuloksen oikeellisuudesta on helppo vakuuttua potenssifunktioiden kuvaajien perusteella. Havainnollistetaan todistusta muutamissa tapauksissa, joissa $$n$$ on pieni positiivinen kokonaisluku. Olkoon $$x < y$$, ja tarkastellaan potenssifunktiota aidosti kasvavuuden ja vähenevyyden määritelmän mukaisesti. Keskitytään aluksi aidosti kasvavuuden todistamiseen, sillä aidosti vähenevyys parillisen eksponentin tapauksessa saadaan todistettua aidosti kasvavuuden avulla.

Jos $$n = 1$$, niin väite on selvä. Jos $$n = 2$$ ja $$x,y \geq 0$$, niin reaalilukujen järjestysrelaation $$<$$ ominaisuuksien perusteella

$x^2 = x \cdot x \leq x \cdot y < y \cdot y = y^2.$

Jos $$n = 3$$, niin jaetaan todistus osiin sen mukaan, minkä merkkisiä muuttujat $$x$$ ja $$y$$ ovat.

1. Olkoon $$x, y \geq 0$$. Tällöin edellä osoitetun nojalla $$x^2 < y^2$$, ja vastaavasti osoitetaan, että $$x^3 < y^3$$.
2. Olkoon $$x < 0$$ ja $$y \geq 0$$. Jos $$x^2 < y^2$$, niin $$x^3 = x \cdot x^2 < yx^2 \leq y \cdot y^2 = y^3$$, sillä $$x < y$$ ja $$x^2 > 0$$. Jos puolestaan $$x^2 \geq y^2$$, niin järjestysrelaation ominaisuuksien perusteella $$x^3 \leq xy^2 < y \cdot y^2 = y^3$$.
3. Olkoon $$x, y < 0$$. Tällöin $$-x$$ ja $$-y$$ ovat positiivisia reaalilukuja, joille $$-y < -x$$. Täten aiemmin osoitetun nojalla $$(-y)^2 = y^2 < x^2 = (-x)^2$$, ja edelleen järjestysrelaation ominaisuuksien perusteella $$x^3 < xy^2 < y^3$$.

Joka tapauksessa saadaan siis, että $$x^3 < y^3$$, kun $$x<y$$.

Täsmällinen todistus muille positiivisille kokonaisluvuille $$n$$ tapahtuu induktiolla. Oletetaan nyt, että potenssifunktioiden aidosti kasvavuus on lauseen mukaisesti voimassa. Olkoon $$y<x<0$$, jolloin $$0 < -x < -y$$. Toisin sanoen $$-x$$ ja $$-y$$ ovat positiivisia lukuja, joihin voidaan soveltaa parillisten potenssifunktioiden aidosti kasvavuutta. Siispä

$x^{2k} = (-x)^{2k} < (-y)^{2k} = y^{2k},$

missä $$k$$ on jokin positiivinen kokonaisluku. Näin ollen $$x^n$$ on aidosti vähenevä, kun $$n$$ on positiivinen parillinen kokonaisluku ja $$x<0$$.

## Juurifunktio potenssifunktion käänteisfunktiona¶

Tässä osiossa perehdytään siihen, miten määritelmän 3.2.1 potenssifunktioille voidaan määritellä käänteisfunktiot. Luvun 2.3 oppien mukaisesti funktion käänteisfunktio on olemassa, kunhan funktio on bijektio. Näin ollen potenssifunktiolla $$x^n$$ on käänteisfunktio seurauksen 2.4.3 nojalla, kun eksponentti $$n$$ on pariton positiivinen kokonaisluku, koska tällöin potenssifunktio on lauseen 3.2.2 perusteella aidosti kasvava. Tarkastellaan seuraavaksi käänteisfunktion olemassaoloa parillisen eksponentin tapauksessa, ja aloitetaan tarkastelu seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 3.2.3

Ratkaistaan niin sanotut potenssiyhtälöt $$x^4=16$$ ja $$x^4=-16$$.

Aloitetaan ensimmäisestä potenssiyhtälöstä. Huomataan, että $$x=2$$ on ratkaisu, sillä $$2^4=16$$. Lisäksi havaitaan, että myös $$x=-2$$ on ratkaisu, sillä jälleen $$(-2)^4=16$$. Koska potenssifunktio on aidosti kasvava, kun $$x\geq 0$$, ja aidosti vähenevä, kun $$x < 0$$, saadut ratkaisut ovat potenssiyhtälön ainoat reaaliset ratkaisut.

Toisella potenssiyhtälöllä ei ole yhtään reaalista ratkaisua, sillä $$x^4\geq 0$$ kaikilla reaaliluvuilla $$x$$.

Esimerkistä pystytään päättelemään, että potenssifunktio $$x^4$$ ei ole injektio, sillä vastaluvut $$2$$ ja $$-2$$ kuvautuvat samaksi alkioksi $$16$$. Potenssifunktio ei myöskään ole surjektio, sillä alkioksi $$-16$$ ei kuvaudu yksikään reaaliluku. Koska potenssifunktio ei ole bijektio, ei sillä myöskään ole olemassa käänteisfunktiota.

Kuten esimerkissä 2.3.2, potenssifunktion $$x^4$$ käänteisfunktio voidaan määrittää, kunhan sen määrittely- ja maalijoukkoa rajataan sopivasti. Yleisesti parillisten positiivisten eksponenttien tapauksessa potenssifunktiosta saadaan bijektio, kun määrittely- ja maalijoukoksi rajataan epänegatiiviset reaaliluvut eli väli $$[0,\infty)$$. Siispä potenssifunktiolla on olemassa käänteisfunktio, jonka lauseke saadaan ratkaisemalla muuttuja $$x$$ yhtälöstä $$x^n = y$$.

Potenssifunktion bijektiivisyydellä voidaan perustella, että potenssiyhtälöllä $$x^n = y$$ on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu luvulle $$x$$, jos

1. $$n$$ on pariton, tai
2. $$n$$ on parillinen ja $$x, y \geq 0$$.

Yllä olevan potenssiyhtälön yksikäsitteistä ratkaisua $$x$$ kutsutaan luvun $$y$$ $$n$$. juureksi ja sitä merkitään $$x=\sqrt[n]{y}$$. Parillisen eksponentin tapauksessa yhtälöllä voi olla kuitenkin kaksi vastalukuratkaisua, kuten esimerkissä 3.2.3 käy ilmi. Tällöin käänteisfunktion määrittelyjoukko pitää rajata epänegatiivisiksi reaaliluvuiksi, jotta käänteisfunktio on hyvin määritelty.

Määritelmä 3.2.4

Olkoon $$n$$ positiivinen kokonaisluku. Yhtälön $$x^n = y$$ yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu $$x$$ määrittelee juurifunktion (root function) $$\sqrt[n]{y} = x$$.

Jos $$n$$ on pariton, niin juurifunktion määrittelyjoukko on reaaliluvut. Jos $$n$$ on parillinen, niin määrittelyjoukko on $$[0,\infty)$$. Erityisesti sanotaan, että $$\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}$$ on luvun $$x$$ neliöjuuri ja $$\sqrt[3]{x}$$ luvun $$x$$ kuutiojuuri.

Lause 3.2.5

Jos $$x < y$$, niin $$\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}$$, kunhan molemmat lausekkeet on määritelty.

Piilota/näytä todistus
Tulos seuraa suoraan lauseesta 2.4.4, sillä aidosti kasvavan funktion käänteisfunktiona juurifunktio on myös aidosti kasvava.

Koska juurifunktio määritellään potenssifunktion käänteisfunktiona, niin ne kumoavat toisensa, eli toteuttavat yhtälöt

$\sqrt[n]{x^n}=x\qquad\text{ja}\qquad\left(\sqrt[n]{y}\right)^n=y,$

missä parillisilla eksponenteilla $$n$$ sekä $$x$$ että $$y$$ ovat ei-negatiivisia.

Huomautus 3.2.6

Olkoon $$n$$ positiivinen kokonaisluku. Juurifunktion avulla voidaan nyt määritellä, että

$x^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{x},$

kunhan yllä oleva lauseke on määritelty. Toisin sanoen kun eksponenttina on positiivisen kokonaisluvun $$n$$ käänteisluku, tarkoitetaan sillä kantaluvun $$n$$. juurta. Tämä merkintätapa sopii hyvin yhteen potenssiopin laskusääntöjen kanssa, sillä esimerkiksi

$\left(\sqrt[n]{x}\right)^n = \left(x^\frac{1}{n}\right)^n = x^{\frac{1}{n}\cdot n} = x^1 = x,$

kuten pitääkin.

Lause 3.2.7

Jos $$n$$ on parillinen positiivinen kokonaisluku ja $$x$$ reaaliluku, niin $$\sqrt[n]{x^n} = |x|$$.

Piilota/näytä todistus

Olkoon $$n$$ parillinen positiivinen kokonaisluku. Jos $$x \geq 0$$, niin määritelmien nojalla $$\sqrt[n]{x^n} = x$$. Jos puolestaan $$x < 0$$, niin $$x^n > 0$$, eli juurilauseke $$y = \sqrt[n]{x^n}$$ on määritelty. Yhtälön $$y^n = x^n$$ ratkaisut luvulle $$y$$ ovat $$x$$ ja $$-x$$, joista $$-x$$ on positiivinen. Täten $$\sqrt[n]{x^n} = -x$$. Yhteenvetona siis

$\begin{split}\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x, & \text{kun }x \geq 0 \\ -x, & \text{kun }x < 0, \end{cases}\end{split}$

eli $$\sqrt[n]{x^n} = |x|$$ itseisarvon määritelmän nojalla.

## Eksponenttina negatiivinen kokonaisluku¶

Seuraava luonnollinen laajennus on määritellä potenssifunktio negatiivisille kokonaislukueksponenteille. Määrittely tehdään siten, että potenssiopin tutut laskusäännöt säilyvät laajennuksessa.

Määritelmä 3.2.8

Olkoon $$n$$ positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio $$x^{-n}$$ negatiivisille eksponenteille määritellään asettamalla

$x^{-n}=\frac{1}{x^n},$

kun $$x \not= 0$$.

Tarkastellaan vielä, mitä voisi olla $$x^0$$. Koska esimerkiksi $$0 = 1 - 1$$, niin silloin kun $$x \not= 0$$, on voimassa

$x^0 = x^{1 - 1} = x^1x^{-1} = x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1.$

Siis $$x^0 = 1$$, kunhan $$x \not= 0$$. Lauseke $$0^0$$ on epämääräinen, eikä sille tule asettaa arvoa ilman erityistä harkintaa. Näin on saatu määriteltyä potenssifunktio $$f(x)=x^n$$ määritellyksi kaikilla $$n\in\Z$$. Kun $$n\le0$$, funktio $$f$$ on määritelty vain nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla.

On melko suoraviivaista todistaa, että potenssiopin laskusäännöt ovat voimassa myös ei-positiivisille eksponenteille, kunhan kaikki lausekkeen osat on määritelty. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä lakia tapauksessa $$n\ge0$$ ja $$m<0$$.

$\begin{split}x^nx^m=\frac{\overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n\text{ kpl}}}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m\text{ kpl}}} =\begin{cases} \overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n-(-m)\text{ kpl}},&\text{jos }n\ge-m\\ \frac{1}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m-n\text{ kpl}}},&\text{jos }n<-m, \end{cases}\end{split}$

eli $$x^nx^m = x^{n + m}$$.

Lause 3.2.9

Olkoon $$n$$ jokin positiivinen kokonaisluku. Seuraavat tulokset ovat voimassa.

1. Jos $$n$$ on pariton, niin potenssifunktio $$x^{-n}$$ on aidosti vähenevä välillä $$(-\infty,0)$$ ja välillä $$(0,\infty)$$.
2. Jos $$n$$ on parillinen, niin potenssifunktio $$x^{-n}$$ on aidosti kasvava, kun $$x<0$$, ja aidosti vähenevä, kun $$x > 0$$.
Piilota/näytä todistus
Koska $$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$$, missä $$n$$ on positiivinen kokonaisluku, voidaan lausetta 3.2.2 hyödyntää todistuksessa. Koska $$\frac{1}{x^n} = \frac{1^n}{x^n} = \left(\frac{1}{x}\right)^n$$, on kyseessä yhdistetty funktio potenssifunktiosta ja funktiosta $$\frac{1}{x}$$. Väitteet seuraavat sisäfunktion aidosta vähenevyydestä ja ulkofunktion aidosti monotonisuudesta lauseen 2.4.5 perusteella.

## Eksponenttina rationaaliluku¶

Potenssifunktio on tähän mennessä määritelty vain kokonaislukueksponenteille ja niiden käänteisluvuille. Yhdistämällä nämä määritelmät sopivalla tavalla voidaan potenssifunktio viimein määritellä rationaalisille eksponenteille.

Määritelmä 3.2.10

Olkoon $$m$$ kokonaisluku ja $$n$$ positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio $$x^r$$ rationaalisille eksponenteille $$r=\frac{m}{n}$$ määritellään asettamalla

$x^r=x^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m,$

kun $$x$$ on reaaliluku, $$x \geq 0$$ jos $$n$$ on parillinen ja $$x \not= 0$$ jos $$m < 0$$.

Rationaaliluvuille $$r$$ potenssifunktio $$x^r$$ on ikään kuin kokonaislukupotenssi- ja juurifunktion yhdistelmä. Sen alle voidaankin yhdistää kaikki aiemmat määritelmät, ja potenssifunktio $$x^r$$ toteuttaa kaikki potenssiopin laskusäännöt.

$x^{r+s}=x^rx^s,\qquad(x^r)^s=x^{rs}\qquad\text{ja}\qquad(xy)^r=x^ry^r.$

Todistetaan viimeinen laskusääntö. Olkoon $$r = \frac{m}{n}$$ rationaaliluku, sekä $$x$$ ja $$y$$ sopivia reaalilukuja. Tällöin

$(xy)^r = (xy)^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{xy}\right)^m,$

missä juuri $$z = \sqrt[n]{xy}$$ on yhtälön $$z^n = xy$$ yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu. Kuitenkin myös $$\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}$$ on tällainen ratkaisu, sillä positiiviselle kokonaisluvulle $$n$$ on voimassa

$\left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}\right)^n = \left(\sqrt[n]{x}\right)^n\left(\sqrt[n]{y}\right)^n = xy.$

Potenssifunktion bijektiivisyydestä johtuen tästä seuraa, että $$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$$, ja täten

$(xy)^r = \left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\right)^m = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m\left(\sqrt[n]{y}\right)^m = x^{\frac{m}{n}}y^{\frac{m}{n}} = x^ry^r.$

Lause 3.2.11

Potenssifunktio $$x^r$$, missä $$r$$ on rationaaliluku, toteuttaa seuraavat ehdot, kun $$x, y \geq 0$$.

1. Jos $$r > 0$$, niin $$x^r < y^r$$ aina, kun $$x < y$$.
2. Jos $$r < 0$$, niin $$x^r > y^r$$ aina, kun $$x < y$$.
3. Jos $$r = 0$$, niin $$x^r = 1$$.

Seuraavassa kuvassa hahmotellaan potenssifunktion $$x^r$$ kuvaajan kulkua eri eksponenttien $$r$$ arvoilla, kun $$x \geq 0$$.

Potenssifunktioiden kanssa täytyy olla hyvin varovainen, jos aikoo supistaa tai laventaa eksponenttia. Havainnollistetaan ongelmaa ”todistamalla”, että

$-1 = (-1)^{\frac{1}{3}} \stackrel{\text{!}}{=} (-1)^{\frac{2}{6}} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{6}} = \left((-1)^2\right)^{\frac{1}{6}} = 1^{\frac{1}{6}} = 1.$

Mikä menee pieleen? Tarkastelemalla potenssifunktioita $$x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$$ ja $$x^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{x}\right)^2$$ määritelmän avulla nähdään, että ensimmäinen on määritelty kaikille reaaliluvuille, mutta jälkimmäinen vain ei-negatiivisille reaaliluvuille. Funktiot $$x^{\frac{1}{3}}$$ ja $$x^{\frac{2}{6}}$$ eivät siis ole samat! Edeltävässä päättelyssä huutomerkillä merkitty yhtäsuuruus ei siis ole voimassa, sillä lauseketta $$(-1)^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{-1}\right)^2$$ ei ole määritelty reaalisena. Eksponentissa supistaessa ja laventaessa on aina tarkistettava, että käsiteltävä lauseke pysyy määriteltynä.

Palautusta lähetetään...