- MATH.APP.111
- 3. Alkeisfunktiot
- 3.2 Potenssi- ja juurifunktiot
Potenssi- ja juurifunktiot¶
Potenssifunktio on muotoa x^r oleva funktio, jonka eksponentti r on jokin reaaliluku. Tämän luvun tavoitteena on määritellä potenssifunktio matemaattisen täsmällisesti tapauksessa, jossa r on rationaaliluku. Reaalieksponenttisen potenssifunktion määrittely onnistuu myöhemmin eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla luvussa 3.5. Koska rationaaliluvut voidaan ilmaista muodossa \frac{m}{n}, missä m on jokin kokonaisluku ja n jokin positiivinen kokonaisluku, pitää potenssifunktio saada määriteltyä aluksi eksponenteilla, jotka ovat kokonaislukuja tai niiden käänteislukuja. Käänteislukuja varten pitää määritellä potenssifunktioiden käänteisfunktiot eli niin kutsutut juurifunktiot.
Eksponenttina positiivinen kokonaisluku¶
Kun eksponenttina r on jokin positiivinen kokonaisluku, eksponentti ilmaisee tuttuun tapaan, montako kertaa itsellään kantaluku x pitää kertoa. Tämä yksinkertainen idea otetaan lähtökohdaksi, kun potenssifunktion määritelmää aletaan laajentaa kohti rationaalieksponentin tapausta. Oleellista on huomata, että potenssinfunktion perusominaisuudet säilyvät jokaisessa yleistyksessä.
Määritelmä 3.2.1
Potenssifunktio (power function) f:\R\to\R, f(x)=x^n positiivisille kokonaisluvuille n määritellään asettamalla
Lukua x kutsutaan kantaluvuksi ja lukua n eksponentiksi. Erityisesti sanotaan, että x^2 on luvun x neliö ja x^3 luvun x kuutio.
Havainnollistetaan potenssifunktioita piirtämällä niiden kuvaajia. Parittomilla eksponenteilla x^n on negatiivinen, kun x on negatiivinen, ja parillisilla eksponenteilla x^n on aina ei-negatiivinen. Perustele tämä itsellesi potenssifunktion määritelmän avulla.
Potenssifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että
Myös muut tutut potenssiopin laskusäännöt voidaan johtaa vastaavasti määritelmästä:
missä x ja y ovat reaalilukuja, sekä n ja m positiivisia kokonaislukuja.
Lause 3.2.2
Olkoon n jokin positiivinen kokonaisluku. Seuraavat tulokset ovat voimassa.
- Jos n on pariton, niin potenssifunktio x^n on aidosti kasvava.
- Jos n on parillinen, niin potenssifunktio x^n on aidosti vähenevä, kun x<0, ja aidosti kasvava, kun x \geq 0.
Tuloksen oikeellisuudesta on helppo vakuuttua potenssifunktioiden kuvaajien perusteella. Havainnollistetaan todistusta muutamissa tapauksissa, joissa n on pieni positiivinen kokonaisluku. Olkoon x < y, ja tarkastellaan potenssifunktiota aidosti kasvavuuden ja vähenevyyden määritelmän mukaisesti. Keskitytään aluksi aidosti kasvavuuden todistamiseen, sillä aidosti vähenevyys parillisen eksponentin tapauksessa saadaan todistettua aidosti kasvavuuden avulla.
Jos n = 1, niin väite on selvä. Jos n = 2 ja x,y \geq 0, niin reaalilukujen järjestysrelaation < ominaisuuksien perusteella
Jos n = 3, niin jaetaan todistus osiin sen mukaan, minkä merkkisiä muuttujat x ja y ovat.
- Olkoon x, y \geq 0. Tällöin edellä osoitetun nojalla x^2 < y^2, ja vastaavasti osoitetaan, että x^3 < y^3.
- Olkoon x < 0 ja y \geq 0. Jos x^2 < y^2, niin x^3 = x \cdot x^2 < yx^2 \leq y \cdot y^2 = y^3, sillä x < y ja x^2 > 0. Jos puolestaan x^2 \geq y^2, niin järjestysrelaation ominaisuuksien perusteella x^3 \leq xy^2 < y \cdot y^2 = y^3.
- Olkoon x, y < 0. Tällöin -x ja -y ovat positiivisia reaalilukuja, joille -y < -x. Täten aiemmin osoitetun nojalla (-y)^2 = y^2 < x^2 = (-x)^2, ja edelleen järjestysrelaation ominaisuuksien perusteella x^3 < xy^2 < y^3.
Joka tapauksessa saadaan siis, että x^3 < y^3, kun x<y.
Täsmällinen todistus muille positiivisille kokonaisluvuille n tapahtuu induktiolla. Oletetaan nyt, että potenssifunktioiden aidosti kasvavuus on lauseen mukaisesti voimassa. Olkoon y<x<0, jolloin 0 < -x < -y. Toisin sanoen -x ja -y ovat positiivisia lukuja, joihin voidaan soveltaa parillisten potenssifunktioiden aidosti kasvavuutta. Siispä
missä k on jokin positiivinen kokonaisluku. Näin ollen x^n on aidosti vähenevä, kun n on positiivinen parillinen kokonaisluku ja x<0.
Juurifunktio potenssifunktion käänteisfunktiona¶
Tässä osiossa perehdytään siihen, miten määritelmän 3.2.1 potenssifunktioille voidaan määritellä käänteisfunktiot. Luvun 2.3 oppien mukaisesti funktion käänteisfunktio on olemassa, kunhan funktio on bijektio. Näin ollen potenssifunktiolla x^n on käänteisfunktio seurauksen 2.4.3 nojalla, kun eksponentti n on pariton positiivinen kokonaisluku, koska tällöin potenssifunktio on lauseen 3.2.2 perusteella aidosti kasvava. Tarkastellaan seuraavaksi käänteisfunktion olemassaoloa parillisen eksponentin tapauksessa, ja aloitetaan tarkastelu seuraavalla esimerkillä.
Esimerkki 3.2.3
Ratkaistaan niin sanotut potenssiyhtälöt x^4=16 ja x^4=-16.
Aloitetaan ensimmäisestä potenssiyhtälöstä. Huomataan, että x=2 on ratkaisu, sillä 2^4=16. Lisäksi havaitaan, että myös x=-2 on ratkaisu, sillä jälleen (-2)^4=16. Koska potenssifunktio on aidosti kasvava, kun x\geq 0, ja aidosti vähenevä, kun x < 0, saadut ratkaisut ovat potenssiyhtälön ainoat reaaliset ratkaisut.
Toisella potenssiyhtälöllä ei ole yhtään reaalista ratkaisua, sillä x^4\geq 0 kaikilla reaaliluvuilla x.
Esimerkistä pystytään päättelemään, että potenssifunktio x^4 ei ole injektio, sillä vastaluvut 2 ja -2 kuvautuvat samaksi alkioksi 16. Potenssifunktio ei myöskään ole surjektio, sillä alkioksi -16 ei kuvaudu yksikään reaaliluku. Koska potenssifunktio ei ole bijektio, ei sillä myöskään ole olemassa käänteisfunktiota.
Kuten esimerkissä 2.3.2, potenssifunktion x^4 käänteisfunktio voidaan määrittää, kunhan sen määrittely- ja maalijoukkoa rajataan sopivasti. Yleisesti parillisten positiivisten eksponenttien tapauksessa potenssifunktiosta saadaan bijektio, kun määrittely- ja maalijoukoksi rajataan epänegatiiviset reaaliluvut eli väli [0,\infty). Siispä potenssifunktiolla on olemassa käänteisfunktio, jonka lauseke saadaan ratkaisemalla muuttuja x yhtälöstä x^n = y.
Potenssifunktion bijektiivisyydellä voidaan perustella, että potenssiyhtälöllä x^n = y on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu luvulle x, jos
- n on pariton, tai
- n on parillinen ja x, y \geq 0.
Yllä olevan potenssiyhtälön yksikäsitteistä ratkaisua x kutsutaan luvun y n. juureksi ja sitä merkitään x=\sqrt[n]{y}. Parillisen eksponentin tapauksessa yhtälöllä voi olla kuitenkin kaksi vastalukuratkaisua, kuten esimerkissä 3.2.3 käy ilmi. Tällöin käänteisfunktion määrittelyjoukko pitää rajata epänegatiivisiksi reaaliluvuiksi, jotta käänteisfunktio on hyvin määritelty.
Määritelmä 3.2.4
Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Yhtälön x^n = y yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu x määrittelee juurifunktion (root function) \sqrt[n]{y} = x.
Jos n on pariton, niin juurifunktion määrittelyjoukko on reaaliluvut. Jos n on parillinen, niin määrittelyjoukko on [0,\infty). Erityisesti sanotaan, että \sqrt[2]{x} = \sqrt{x} on luvun x neliöjuuri ja \sqrt[3]{x} luvun x kuutiojuuri.
Lause 3.2.5
Jos x < y, niin \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}, kunhan molemmat lausekkeet on määritelty.
Koska juurifunktio määritellään potenssifunktion käänteisfunktiona, niin ne kumoavat toisensa, eli toteuttavat yhtälöt
missä parillisilla eksponenteilla n sekä x että y ovat ei-negatiivisia.
Huomautus 3.2.6
Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Juurifunktion avulla voidaan nyt määritellä, että
kunhan yllä oleva lauseke on määritelty. Toisin sanoen kun eksponenttina on positiivisen kokonaisluvun n käänteisluku, tarkoitetaan sillä kantaluvun n. juurta. Tämä merkintätapa sopii hyvin yhteen potenssiopin laskusääntöjen kanssa, sillä esimerkiksi
kuten pitääkin.
Lause 3.2.7
Jos n on parillinen positiivinen kokonaisluku ja x reaaliluku, niin \sqrt[n]{x^n} = |x|.
Olkoon n parillinen positiivinen kokonaisluku. Jos x \geq 0, niin määritelmien nojalla \sqrt[n]{x^n} = x. Jos puolestaan x < 0, niin x^n > 0, eli juurilauseke y = \sqrt[n]{x^n} on määritelty. Yhtälön y^n = x^n ratkaisut luvulle y ovat x ja -x, joista -x on positiivinen. Täten \sqrt[n]{x^n} = -x. Yhteenvetona siis
eli \sqrt[n]{x^n} = |x| itseisarvon määritelmän nojalla.
Eksponenttina negatiivinen kokonaisluku¶
Seuraava luonnollinen laajennus on määritellä potenssifunktio negatiivisille kokonaislukueksponenteille. Määrittely tehdään siten, että potenssiopin tutut laskusäännöt säilyvät laajennuksessa.
Määritelmä 3.2.8
Olkoon n positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio x^{-n} negatiivisille eksponenteille määritellään asettamalla
kun x \not= 0.
Tarkastellaan vielä, mitä voisi olla x^0. Koska esimerkiksi 0 = 1 - 1, niin silloin kun x \not= 0, on voimassa
Siis x^0 = 1, kunhan x \not= 0. Lauseke 0^0 on epämääräinen, eikä sille tule asettaa arvoa ilman erityistä harkintaa. Näin on saatu määriteltyä potenssifunktio f(x)=x^n määritellyksi kaikilla n\in\Z. Kun n\le0, funktio f on määritelty vain nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla.
On melko suoraviivaista todistaa, että potenssiopin laskusäännöt ovat voimassa myös ei-positiivisille eksponenteille, kunhan kaikki lausekkeen osat on määritelty. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä lakia tapauksessa n\ge0 ja m<0.
eli x^nx^m = x^{n + m}.
Lause 3.2.9
Olkoon n jokin positiivinen kokonaisluku. Seuraavat tulokset ovat voimassa.
- Jos n on pariton, niin potenssifunktio x^{-n} on aidosti vähenevä välillä (-\infty,0) ja välillä (0,\infty).
- Jos n on parillinen, niin potenssifunktio x^{-n} on aidosti kasvava, kun x<0, ja aidosti vähenevä, kun x > 0.
Eksponenttina rationaaliluku¶
Potenssifunktio on tähän mennessä määritelty vain kokonaislukueksponenteille ja niiden käänteisluvuille. Yhdistämällä nämä määritelmät sopivalla tavalla voidaan potenssifunktio viimein määritellä rationaalisille eksponenteille.
Määritelmä 3.2.10
Olkoon m kokonaisluku ja n positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio x^r rationaalisille eksponenteille r=\frac{m}{n} määritellään asettamalla
kun x on reaaliluku, x \geq 0 jos n on parillinen ja x \not= 0 jos m < 0.
Rationaaliluvuille r potenssifunktio x^r on ikään kuin kokonaislukupotenssi- ja juurifunktion yhdistelmä. Sen alle voidaankin yhdistää kaikki aiemmat määritelmät, ja potenssifunktio x^r toteuttaa kaikki potenssiopin laskusäännöt.
Todistetaan viimeinen laskusääntö. Olkoon r = \frac{m}{n} rationaaliluku, sekä x ja y sopivia reaalilukuja. Tällöin
missä juuri z = \sqrt[n]{xy} on yhtälön z^n = xy yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu. Kuitenkin myös \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x} on tällainen ratkaisu, sillä positiiviselle kokonaisluvulle n on voimassa
Potenssifunktion bijektiivisyydestä johtuen tästä seuraa, että \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}, ja täten
Lause 3.2.11
Potenssifunktio x^r, missä r on rationaaliluku, toteuttaa seuraavat ehdot, kun x, y \geq 0.
- Jos r > 0, niin x^r < y^r aina, kun x < y.
- Jos r < 0, niin x^r > y^r aina, kun x < y.
- Jos r = 0, niin x^r = 1.
Seuraavassa kuvassa hahmotellaan potenssifunktion x^r kuvaajan kulkua eri eksponenttien r arvoilla, kun x \geq 0.
Potenssifunktioiden kanssa täytyy olla hyvin varovainen, jos aikoo supistaa tai laventaa eksponenttia. Havainnollistetaan ongelmaa ”todistamalla”, että
Mikä menee pieleen? Tarkastelemalla potenssifunktioita x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} ja x^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{x}\right)^2 määritelmän avulla nähdään, että ensimmäinen on määritelty kaikille reaaliluvuille, mutta jälkimmäinen vain ei-negatiivisille reaaliluvuille. Funktiot x^{\frac{1}{3}} ja x^{\frac{2}{6}} eivät siis ole samat! Edeltävässä päättelyssä huutomerkillä merkitty yhtäsuuruus ei siis ole voimassa, sillä lauseketta (-1)^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{-1}\right)^2 ei ole määritelty reaalisena. Eksponentissa supistaessa ja laventaessa on aina tarkistettava, että käsiteltävä lauseke pysyy määriteltynä.