\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Potenssi- ja juurifunktiot

Potenssifunktio on muotoa \(x^r\) oleva funktio, jonka eksponentti \(r\) on jokin reaaliluku. Tämän luvun tavoitteena on määritellä potenssifunktio matemaattisen täsmällisesti tapauksessa, jossa \(r\) on rationaaliluku. Reaalieksponenttisen potenssifunktion määrittely onnistuu myöhemmin eksponentti- ja logaritmifunktioiden avulla luvussa 3.5. Koska rationaaliluvut voidaan ilmaista muodossa \(\frac{m}{n}\), missä \(m\) on jokin kokonaisluku ja \(n\) jokin positiivinen kokonaisluku, pitää potenssifunktio saada määriteltyä aluksi eksponenteilla, jotka ovat kokonaislukuja tai niiden käänteislukuja. Käänteislukuja varten pitää määritellä potenssifunktioiden käänteisfunktiot eli niin kutsutut juurifunktiot.

Eksponenttina positiivinen kokonaisluku

Kun eksponenttina \(r\) on jokin positiivinen kokonaisluku, eksponentti ilmaisee tuttuun tapaan, montako kertaa itsellään kantaluku \(x\) pitää kertoa. Tämä yksinkertainen idea otetaan lähtökohdaksi, kun potenssifunktion määritelmää aletaan laajentaa kohti rationaalieksponentin tapausta. Oleellista on huomata, että potenssinfunktion perusominaisuudet säilyvät jokaisessa yleistyksessä.

Määritelmä 3.2.1

Potenssifunktio (power function) \(f:\R\to\R\), \(f(x)=x^n\) positiivisille kokonaisluvuille \(n\) määritellään asettamalla

\[x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}}.\]

Lukua \(x\) kutsutaan kantaluvuksi ja lukua \(n\) eksponentiksi. Erityisesti sanotaan, että \(x^2\) on luvun \(x\) neliö ja \(x^3\) luvun \(x\) kuutio.

Havainnollistetaan potenssifunktioita piirtämällä niiden kuvaajia. Parittomilla eksponenteilla \(x^n\) on negatiivinen, kun \(x\) on negatiivinen, ja parillisilla eksponenteilla \(x^n\) on aina ei-negatiivinen. Perustele tämä itsellesi potenssifunktion määritelmän avulla.

Potenssifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että

\[x^nx^m=(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n\text{ kpl}})(\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{m\text{ kpl}})=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n+m\text{ kpl}}=x^{n+m}.\]

Myös muut tutut potenssiopin laskusäännöt voidaan johtaa vastaavasti määritelmästä:

(1)\[x^{n+m}=x^nx^m,\qquad(x^n)^m=x^{nm}\quad\text{ ja }\quad(xy)^n=x^ny^n,\]

missä \(x\) ja \(y\) ovat reaalilukuja, sekä \(n\) ja \(m\) positiivisia kokonaislukuja.

Lause 3.2.2

Olkoon \(n\) jokin positiivinen kokonaisluku. Seuraavat tulokset ovat voimassa.

1. Jos \(n\) on pariton, niin potenssifunktio \(x^n\) on aidosti kasvava.
2. Jos \(n\) on parillinen, niin potenssifunktio \(x^n\) on aidosti vähenevä, kun \(x<0\), ja aidosti kasvava, kun \(x \geq 0\).

Piilota/näytä todistus

Tuloksen oikeellisuudesta on helppo vakuuttua potenssifunktioiden kuvaajien perusteella. Havainnollistetaan todistusta muutamissa tapauksissa, joissa \(n\) on pieni positiivinen kokonaisluku. Olkoon \(x < y\), ja tarkastellaan potenssifunktiota aidosti kasvavuuden ja vähenevyyden määritelmän mukaisesti. Keskitytään aluksi aidosti kasvavuuden todistamiseen, sillä aidosti vähenevyys parillisen eksponentin tapauksessa saadaan todistettua aidosti kasvavuuden avulla.

Jos \(n = 1\), niin väite on selvä. Jos \(n = 2\) ja \(x,y \geq 0\), niin reaalilukujen järjestysrelaation \(<\) ominaisuuksien perusteella

\[x^2 = x \cdot x \leq x \cdot y < y \cdot y = y^2.\]

Jos \(n = 3\), niin jaetaan todistus osiin sen mukaan, minkä merkkisiä muuttujat \(x\) ja \(y\) ovat.

1. Olkoon \(x, y \geq 0\). Tällöin edellä osoitetun nojalla \(x^2 < y^2\), ja vastaavasti osoitetaan, että \(x^3 < y^3\).
2. Olkoon \(x < 0\) ja \(y \geq 0\). Jos \(x^2 < y^2\), niin \(x^3 = x \cdot x^2 < yx^2 \leq y \cdot y^2 = y^3\), sillä \(x < y\) ja \(x^2 > 0\). Jos puolestaan \(x^2 \geq y^2\), niin järjestysrelaation ominaisuuksien perusteella \(x^3 \leq xy^2 < y \cdot y^2 = y^3\).
3. Olkoon \(x, y < 0\). Tällöin \(-x\) ja \(-y\) ovat positiivisia reaalilukuja, joille \(-y < -x\). Täten aiemmin osoitetun nojalla \((-y)^2 = y^2 < x^2 = (-x)^2\), ja edelleen järjestysrelaation ominaisuuksien perusteella \(x^3 < xy^2 < y^3\).

Joka tapauksessa saadaan siis, että \(x^3 < y^3\), kun \(x<y\).

Täsmällinen todistus muille positiivisille kokonaisluvuille \(n\) tapahtuu induktiolla. Oletetaan nyt, että potenssifunktioiden aidosti kasvavuus on lauseen mukaisesti voimassa. Olkoon \(y<x<0\), jolloin \(0 < -x < -y\). Toisin sanoen \(-x\) ja \(-y\) ovat positiivisia lukuja, joihin voidaan soveltaa parillisten potenssifunktioiden aidosti kasvavuutta. Siispä

\[x^{2k} = (-x)^{2k} < (-y)^{2k} = y^{2k},\]

missä \(k\) on jokin positiivinen kokonaisluku. Näin ollen \(x^n\) on aidosti vähenevä, kun \(n\) on positiivinen parillinen kokonaisluku ja \(x<0\).

Juurifunktio potenssifunktion käänteisfunktiona

Tässä osiossa perehdytään siihen, miten määritelmän 3.2.1 potenssifunktioille voidaan määritellä käänteisfunktiot. Luvun 2.3 oppien mukaisesti funktion käänteisfunktio on olemassa, kunhan funktio on bijektio. Näin ollen potenssifunktiolla \(x^n\) on käänteisfunktio seurauksen 2.4.3 nojalla, kun eksponentti \(n\) on pariton positiivinen kokonaisluku, koska tällöin potenssifunktio on lauseen 3.2.2 perusteella aidosti kasvava. Tarkastellaan seuraavaksi käänteisfunktion olemassaoloa parillisen eksponentin tapauksessa, ja aloitetaan tarkastelu seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 3.2.3

Ratkaistaan niin sanotut potenssiyhtälöt \(x^4=16\) ja \(x^4=-16\).

Aloitetaan ensimmäisestä potenssiyhtälöstä. Huomataan, että \(x=2\) on ratkaisu, sillä \(2^4=16\). Lisäksi havaitaan, että myös \(x=-2\) on ratkaisu, sillä jälleen \((-2)^4=16\). Koska potenssifunktio on aidosti kasvava, kun \(x\geq 0\), ja aidosti vähenevä, kun \(x < 0\), saadut ratkaisut ovat potenssiyhtälön ainoat reaaliset ratkaisut.

Toisella potenssiyhtälöllä ei ole yhtään reaalista ratkaisua, sillä \(x^4\geq 0\) kaikilla reaaliluvuilla \(x\).

Esimerkistä pystytään päättelemään, että potenssifunktio \(x^4\) ei ole injektio, sillä vastaluvut \(2\) ja \(-2\) kuvautuvat samaksi alkioksi \(16\). Potenssifunktio ei myöskään ole surjektio, sillä alkioksi \(-16\) ei kuvaudu yksikään reaaliluku. Koska potenssifunktio ei ole bijektio, ei sillä myöskään ole olemassa käänteisfunktiota.

Kuten esimerkissä 2.3.2, potenssifunktion \(x^4\) käänteisfunktio voidaan määrittää, kunhan sen määrittely- ja maalijoukkoa rajataan sopivasti. Yleisesti parillisten positiivisten eksponenttien tapauksessa potenssifunktiosta saadaan bijektio, kun määrittely- ja maalijoukoksi rajataan epänegatiiviset reaaliluvut eli väli \([0,\infty)\). Siispä potenssifunktiolla on olemassa käänteisfunktio, jonka lauseke saadaan ratkaisemalla muuttuja \(x\) yhtälöstä \(x^n = y\).

Potenssifunktion bijektiivisyydellä voidaan perustella, että potenssiyhtälöllä \(x^n = y\) on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu luvulle \(x\), jos

1. \(n\) on pariton, tai
2. \(n\) on parillinen ja \(x, y \geq 0\).

Yllä olevan potenssiyhtälön yksikäsitteistä ratkaisua \(x\) kutsutaan luvun \(y\) \(n\). juureksi ja sitä merkitään \(x=\sqrt[n]{y}\). Parillisen eksponentin tapauksessa yhtälöllä voi olla kuitenkin kaksi vastalukuratkaisua, kuten esimerkissä 3.2.3 käy ilmi. Tällöin käänteisfunktion määrittelyjoukko pitää rajata epänegatiivisiksi reaaliluvuiksi, jotta käänteisfunktio on hyvin määritelty.

Määritelmä 3.2.4

Olkoon \(n\) positiivinen kokonaisluku. Yhtälön \(x^n = y\) yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu \(x\) määrittelee juurifunktion (root function) \(\sqrt[n]{y} = x\).

Jos \(n\) on pariton, niin juurifunktion määrittelyjoukko on reaaliluvut. Jos \(n\) on parillinen, niin määrittelyjoukko on \([0,\infty)\). Erityisesti sanotaan, että \(\sqrt[2]{x} = \sqrt{x}\) on luvun \(x\) neliöjuuri ja \(\sqrt[3]{x}\) luvun \(x\) kuutiojuuri.

Lause 3.2.5

Jos \(x < y\), niin \(\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}\), kunhan molemmat lausekkeet on määritelty.

Piilota/näytä todistus

Tulos seuraa suoraan lauseesta 2.4.4, sillä aidosti kasvavan funktion käänteisfunktiona juurifunktio on myös aidosti kasvava.

Koska juurifunktio määritellään potenssifunktion käänteisfunktiona, niin ne kumoavat toisensa, eli toteuttavat yhtälöt

\[\sqrt[n]{x^n}=x\qquad\text{ja}\qquad\left(\sqrt[n]{y}\right)^n=y,\]

missä parillisilla eksponenteilla \(n\) sekä \(x\) että \(y\) ovat ei-negatiivisia.

Huomautus 3.2.6

Olkoon \(n\) positiivinen kokonaisluku. Juurifunktion avulla voidaan nyt määritellä, että

\[x^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{x},\]

kunhan yllä oleva lauseke on määritelty. Toisin sanoen kun eksponenttina on positiivisen kokonaisluvun \(n\) käänteisluku, tarkoitetaan sillä kantaluvun \(n\). juurta. Tämä merkintätapa sopii hyvin yhteen potenssiopin laskusääntöjen kanssa, sillä esimerkiksi

\[\left(\sqrt[n]{x}\right)^n = \left(x^\frac{1}{n}\right)^n = x^{\frac{1}{n}\cdot n} = x^1 = x,\]

kuten pitääkin.

Lause 3.2.7

Jos \(n\) on parillinen positiivinen kokonaisluku ja \(x\) reaaliluku, niin \(\sqrt[n]{x^n} = |x|\).

Piilota/näytä todistus

Olkoon \(n\) parillinen positiivinen kokonaisluku. Jos \(x \geq 0\), niin määritelmien nojalla \(\sqrt[n]{x^n} = x\). Jos puolestaan \(x < 0\), niin \(x^n > 0\), eli juurilauseke \(y = \sqrt[n]{x^n}\) on määritelty. Yhtälön \(y^n = x^n\) ratkaisut luvulle \(y\) ovat \(x\) ja \(-x\), joista \(-x\) on positiivinen. Täten \(\sqrt[n]{x^n} = -x\). Yhteenvetona siis

\[\begin{split}\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x, & \text{kun }x \geq 0 \\ -x, & \text{kun }x < 0, \end{cases}\end{split}\]

eli \(\sqrt[n]{x^n} = |x|\) itseisarvon määritelmän nojalla.

Eksponenttina negatiivinen kokonaisluku

Seuraava luonnollinen laajennus on määritellä potenssifunktio negatiivisille kokonaislukueksponenteille. Määrittely tehdään siten, että potenssiopin tutut laskusäännöt säilyvät laajennuksessa.

Määritelmä 3.2.8

Olkoon \(n\) positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio \(x^{-n}\) negatiivisille eksponenteille määritellään asettamalla

\[x^{-n}=\frac{1}{x^n},\]

kun \(x \not= 0\).

Tarkastellaan vielä, mitä voisi olla \(x^0\). Koska esimerkiksi \(0 = 1 - 1\), niin silloin kun \(x \not= 0\), on voimassa

\[x^0 = x^{1 - 1} = x^1x^{-1} = x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1.\]

Siis \(x^0 = 1\), kunhan \(x \not= 0\). Lauseke \(0^0\) on epämääräinen, eikä sille tule asettaa arvoa ilman erityistä harkintaa. Näin on saatu määriteltyä potenssifunktio \(f(x)=x^n\) määritellyksi kaikilla \(n\in\Z\). Kun \(n\le0\), funktio \(f\) on määritelty vain nollasta poikkeavilla reaaliluvuilla.

On melko suoraviivaista todistaa, että potenssiopin laskusäännöt ovat voimassa myös ei-positiivisille eksponenteille, kunhan kaikki lausekkeen osat on määritelty. Tarkastellaan esimerkiksi ensimmäistä lakia tapauksessa \(n\ge0\) ja \(m<0\).

\[\begin{split}x^nx^m=\frac{\overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n\text{ kpl}}}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m\text{ kpl}}} =\begin{cases} \overbrace{x\cdot x\cdots x}^{n-(-m)\text{ kpl}},&\text{jos }n\ge-m\\ \frac{1}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{-m-n\text{ kpl}}},&\text{jos }n<-m, \end{cases}\end{split}\]

eli \(x^nx^m = x^{n + m}\).

Lause 3.2.9

Olkoon \(n\) jokin positiivinen kokonaisluku. Seuraavat tulokset ovat voimassa.

1. Jos \(n\) on pariton, niin potenssifunktio \(x^{-n}\) on aidosti vähenevä välillä \((-\infty,0)\) ja välillä \((0,\infty)\).
2. Jos \(n\) on parillinen, niin potenssifunktio \(x^{-n}\) on aidosti kasvava, kun \(x<0\), ja aidosti vähenevä, kun \(x > 0\).

Piilota/näytä todistus

Koska \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\), missä \(n\) on positiivinen kokonaisluku, voidaan lausetta 3.2.2 hyödyntää todistuksessa. Koska \(\frac{1}{x^n} = \frac{1^n}{x^n} = \left(\frac{1}{x}\right)^n\), on kyseessä yhdistetty funktio potenssifunktiosta ja funktiosta \(\frac{1}{x}\). Väitteet seuraavat sisäfunktion aidosta vähenevyydestä ja ulkofunktion aidosti monotonisuudesta lauseen 2.4.5 perusteella.

Eksponenttina rationaaliluku

Potenssifunktio on tähän mennessä määritelty vain kokonaislukueksponenteille ja niiden käänteisluvuille. Yhdistämällä nämä määritelmät sopivalla tavalla voidaan potenssifunktio viimein määritellä rationaalisille eksponenteille.

Määritelmä 3.2.10

Olkoon \(m\) kokonaisluku ja \(n\) positiivinen kokonaisluku. Potenssifunktio \(x^r\) rationaalisille eksponenteille \(r=\frac{m}{n}\) määritellään asettamalla

\[x^r=x^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{x}\right)^m,\]

kun \(x\) on reaaliluku, \(x \geq 0\) jos \(n\) on parillinen ja \(x \not= 0\) jos \(m < 0\).

Rationaaliluvuille \(r\) potenssifunktio \(x^r\) on ikään kuin kokonaislukupotenssi- ja juurifunktion yhdistelmä. Sen alle voidaankin yhdistää kaikki aiemmat määritelmät, ja potenssifunktio \(x^r\) toteuttaa kaikki potenssiopin laskusäännöt.

\[x^{r+s}=x^rx^s,\qquad(x^r)^s=x^{rs}\qquad\text{ja}\qquad(xy)^r=x^ry^r.\]

Todistetaan viimeinen laskusääntö. Olkoon \(r = \frac{m}{n}\) rationaaliluku, sekä \(x\) ja \(y\) sopivia reaalilukuja. Tällöin

\[(xy)^r = (xy)^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{xy}\right)^m,\]

missä juuri \(z = \sqrt[n]{xy}\) on yhtälön \(z^n = xy\) yksikäsitteinen tai positiivinen ratkaisu. Kuitenkin myös \(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}\) on tällainen ratkaisu, sillä positiiviselle kokonaisluvulle \(n\) on voimassa

\[\left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{x}\right)^n = \left(\sqrt[n]{x}\right)^n\left(\sqrt[n]{y}\right)^n = xy.\]

Potenssifunktion bijektiivisyydestä johtuen tästä seuraa, että \(\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\), ja täten

\[(xy)^r = \left(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\right)^m = \left(\sqrt[n]{x}\right)^m\left(\sqrt[n]{y}\right)^m = x^{\frac{m}{n}}y^{\frac{m}{n}} = x^ry^r.\]

Lause 3.2.11

Potenssifunktio \(x^r\), missä \(r\) on rationaaliluku, toteuttaa seuraavat ehdot, kun \(x, y \geq 0\).

1. Jos \(r > 0\), niin \(x^r < y^r\) aina, kun \(x < y\).
2. Jos \(r < 0\), niin \(x^r > y^r\) aina, kun \(x < y\).
3. Jos \(r = 0\), niin \(x^r = 1\).

Seuraavassa kuvassa hahmotellaan potenssifunktion \(x^r\) kuvaajan kulkua eri eksponenttien \(r\) arvoilla, kun \(x \geq 0\).

Potenssifunktioiden kanssa täytyy olla hyvin varovainen, jos aikoo supistaa tai laventaa eksponenttia. Havainnollistetaan ongelmaa ”todistamalla”, että

\[-1 = (-1)^{\frac{1}{3}} \stackrel{\text{!}}{=} (-1)^{\frac{2}{6}} = (-1)^{2 \cdot \frac{1}{6}} = \left((-1)^2\right)^{\frac{1}{6}} = 1^{\frac{1}{6}} = 1.\]

Mikä menee pieleen? Tarkastelemalla potenssifunktioita \(x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}\) ja \(x^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{x}\right)^2\) määritelmän avulla nähdään, että ensimmäinen on määritelty kaikille reaaliluvuille, mutta jälkimmäinen vain ei-negatiivisille reaaliluvuille. Funktiot \(x^{\frac{1}{3}}\) ja \(x^{\frac{2}{6}}\) eivät siis ole samat! Edeltävässä päättelyssä huutomerkillä merkitty yhtäsuuruus ei siis ole voimassa, sillä lauseketta \((-1)^{\frac{2}{6}} = \left(\sqrt[6]{-1}\right)^2\) ei ole määritelty reaalisena. Eksponentissa supistaessa ja laventaessa on aina tarkistettava, että käsiteltävä lauseke pysyy määriteltynä.

Palautusta lähetetään...