$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

# Raja-arvon täsmällisempi tarkastelu¶

Määritelmä 4.2.3 ei riitä työkaluksi matemaattiseen päättelyyn. On tarpeen määritellä täsmällisemmin, mitä tarkoitetaan sillä, että funktion $$f$$ arvot $$f(x)$$ lähestyvät lukua $$L$$ muuttujan $$x$$ lähestyessä lukua $$a$$.

Määritelmä 4.5.1

Olkoon reaalifunktio $$f$$ määritelty jossakin pisteen $$a$$ punkteeratussa ympäristössä. Funktiolla $$f$$ on raja-arvo (limit) $$L\in\R$$ pisteessä $$a$$, jos jokaista $$\varepsilon>0$$ kohti löydetään sellainen $$\delta>0$$, että $$|f(x)-L|<\varepsilon$$ aina, kun $$0<|x-a|<\delta$$, eli

$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0 : 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.$

Tällöin merkitään

$L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.$

Huomautuksen 1.4.2 mukaisesti $$|x-y|$$ tarkoittaa lukujen $$x$$ ja $$y$$ etäisyyttä. Huomaa, että määritelmän ehdossa esiintyvän epäyhtälöketjun $$0<|x-a|<\delta$$ vasen puolikas eli $$0<|x-a|$$ viittaa siihen, että $$x \not= a$$. Pisteessä $$a$$ etsittävän raja-arvon kannalta ei siis ole väliä, mikä funktion arvo $$f(a)$$ on pisteessä $$a$$ tai onko funktio $$f$$ edes määritelty kyseisessä pisteessä.

Pohditaan sitten määritelmän ehdon muita osia. Ehdon pitää olla voimassa jokaiselle positiiviselle reaaliluvulle $$\varepsilon$$. Luku $$\varepsilon$$ esiintyy ehdossa lukujen $$f(x)$$ ja $$L$$ välisen etäisyyden $$|f(x)-L|$$ ylärajana. Vastaavasti luku $$\delta$$ on ehdossa yläraja lukujen $$x$$ ja $$a$$ etäisyydelle $$|x-a|$$. Ehto sanoo, että valittiinpa $$\varepsilon > 0$$ kuinka hyvänsä (oleellisesti: kuinka läheltä nollaa hyvänsä), niin voimme löytää jonkin sellaisen valitusta luvusta $$\varepsilon$$ riippuvan positiivisen luvun $$\delta$$, että kun piste $$x$$ on korkeintaan luvun $$\delta$$ etäisyydellä pisteestä $$a$$, säilyy funktion arvo $$f(x)$$ korkeintaan luvun $$\varepsilon$$ etäisyydellä luvusta $$L$$. Kun tätä varsin monimutkaista ehtoa pohtii tarkemmin, niin huomaa, että se käytännössä muotoilee matemaattisen täsmällisesti intuitiivisen luonnehdinnan raja-arvolle, eli funktion arvo $$f(x)$$ saadaan kuinka lähelle arvoa $$L$$ tahansa, kun muuttuja $$x$$ on riittävän lähellä pistettä $$a$$.

Selvennetään vielä määritelmän lukujen $$\varepsilon$$ ja $$\delta$$ suhdetta toisiinsa kuvan avulla. Alla olevassa kuvassa valittua lukua $$\varepsilon$$ vastaa sellainen luku $$\delta$$, että kun $$x$$ on välillä $$(a-\delta, a+\delta)$$, säilyvät funktion kuvaajalle punaisella merkityt arvot $$f(x)$$ välillä $$(L-\varepsilon, L+\varepsilon)$$. Koska funktion arvolla pisteessä $$a$$ ei ole raja-arvon kannalta väliä, sen poissaoloa tarkastelusta esitetään valkoiseksi jätetyllä pisteellä.

Ehdon pitää määritelmän mukaisesti toimia jokaiselle positiiviselle luvulle $$\varepsilon$$. Voit miettiä tai jopa itsellesi piirtää, mitä kuvassa muuttuu, jos luvun $$\varepsilon$$ sijasta olisikin valittu pienempi luku, esimerkiksi $$\frac{\varepsilon}{2}$$. Jotta funktion $$f$$ raja-arvo olisi $$L$$, täytyisi pystyä löytämään jokin $$\delta_1$$, jotta väli $$(L-\frac{\varepsilon}{2}, L+\frac{\varepsilon}{2})$$ sisältäisi kaikki ne funktion arvot $$f(x)$$, joilla $$x \in (a-\delta_1, a+\delta_1)$$.

Määritelmää voisi siis ajatella eräänlaisena kahden pelaajan pelinä. Pelaajat kamppailevat siitä onko funktiolla $$f$$ raja-arvo $$L$$ kun muuttuja $$x$$ lähestyy lukua $$a$$. Aloittava pelaaja $$E$$ ”epäilijä” valitsee aina luvun $$\varepsilon$$ ja toinen pelaaja $$U$$ ”uskoja” luvun $$\delta$$. Pelaaja $$E$$ voittaa mikäli pelaaja $$U$$ ei pysty valitsemaan raja-arvon määritelmän mukaista muuttujaa $$\delta$$. Pelaaja $$U$$ voittaa mikäli hänellä on voittostrategia löytää aina määritelmän ehdon täyttävä muuttuja $$\delta$$.

Määritelmän käytön yhteydessä käytetään usein sanotaan, että $$\varepsilon$$ valitaan mielivaltaisesti tai saadaan mielivaltaisen pieneksi. Tällä käytännössä tarkoitetaan, että käsitellään kaikkia ja erityisesti pieniä luvun $$\varepsilon$$ arvoja kerralla. Lukujen $$\varepsilon$$ ja $$\delta$$ yhteys esitetään yleensä niin, että ajatellaan luvun $$\delta$$ olevan muuttujaan $$\varepsilon$$ liittyvä funktio ja sanotaan, että luku $$\delta$$ valitaan jollain tavalla, esimerkiksi ”valitaan $$\delta = \sqrt{\varepsilon}$$”.

Esimerkki 4.5.2

Osoita, että $$\lim\limits_{x \to -2}f(x) = 1$$, kun $$f(x) = 3x + 7$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon $$\varepsilon > 0$$ mielivaltainen. Tavoitteena on löytää sellainen $$\delta > 0$$, että olettamalla $$0 < |x - (-2)| < \delta$$ saadaan perusteltua rajaus $$|f(x) - 1| < \varepsilon$$. Pyritään kirjoittamaan lauseketta $$|f(x) - 1|$$ sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy lauseke $$|x - (-2)| = |x + 2|$$.

$|3x + 7 - 1| = |3x + 6| = |3(x + 2)| = 3|x + 2|$

Valitaan $$\delta = \frac{\varepsilon}{3} > 0$$ ja oletetaan, että $$0 < |x + 2| < \delta$$. Tällöin edellisen nojalla

$|f(x) - 1| = 3|x + 2| < 3\delta = 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,$

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 4.5.3

Osoita, että $$\lim\limits_{x \to 1}f(x) = -3$$, kun $$f(x) = x^2 + 3x - 7$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon $$\varepsilon > 0$$ mielivaltainen. Yritetään jälleen löytää sellainen $$\delta > 0$$, että olettamalla $$0 < |x - 1| < \delta$$ saadaan perusteltua ehto $$|f(x) + 3| < \varepsilon$$. Pyritään jälleen tuomaan $$|x - 1|$$ näkyviin lausekkeessa $$|f(x) + 3|$$.

$|x^2 + 3x - 7 + 3| = |x^2 + 3x - 4| = |(x - 1)(x + 4)| = |x - 1||x + 4|$

Raja-arvoa tutkittaessa riittää käsitellä jotakin pisteen sisältävää väliä, ja tämän vuoksi luvulle $$\delta$$ voidaan asettaa ylärajaksi esimerkiksi $$1$$. Jos tiedetään, että $$\delta \leq 1$$, niin rajauksen $$|x-1|<\delta$$ jälkeen on oltava $$0 < x < 2$$. Mutta tämän vuoksi $$4 < |x + 4| < 6$$, eli

$4|x - 1| < |x - 1||x + 4| < 6|x - 1|.$

Valitaan $$\delta = \min\left\{\frac{\varepsilon}{6}, 1\right\}$$ ja oletetaan, että $$0 < |x - 1| < \delta$$. Tällöin

$|f(x) + 3| = |x - 1||x + 4| < 6|x - 1| < 6\delta \leq 6 \cdot \frac{\varepsilon}{6} = \varepsilon,$

mikä todistaa väitteen.

Osoitetaan raja-arvon määritelmän mukaisesti, että

$\lim_{x \to 4} 8x-20 = 12.$

Varsinainen todistus alkaa siinä vaiheessa, kun ilmoitetaan, millä tavalla $$\delta$$ riipuu luvusta $$\varepsilon$$, mutta sitä ennen täytyy tietää, mikä näiden lukujen yhteys on. Lähdetään liikkeelle siitä, että esitetään määritelmän merkintöjä käyttäen $$|f(x)-L|$$ sellaisessa muodossa, jossa esiintyy $$|x-a|$$.

Mikä seuraavista laskuista liittyy nyt käsillä olevan tehtävän luvun $$\delta$$ selvittämiseen?
Miten aloitetaan todistus? Olkoon $$\varepsilon>0$$. Valitaan
Mitä todistus sisältää seuraavaksi? Lisäksi oletetaan, että $$x$$ kuuluu punkteerattuun ympäristöön
Mikä edellisen kysymyksen esityksessä viittaa punkteeraukseen? Se, että tässä etäisyysfunktion tarkastelussa
Tällöin pätee
Mikä on yllä olevan todistuksen perusajatus? Todistuksessa näytetään, että korkeintaan $$\delta$$:n etäisyydellä raja-arvopisteestä $$4$$ on vain sellaisia lukuja $$x$$, joilla funktion arvo $$f(x)$$ on väitetystä raja-arvosta $$12$$ korkeintaan etäisyydellä $$\varepsilon$$,

Nyt raja-arvojen laskusäännöt voidaan todistaa nojautuen raja-arvon täsmälliseen määritelmään. Todistetaan näistä esimerkiksi yhdistetyn funktion raja-arvo. Koska $$\varepsilon$$$$\delta$$-todistustekniikka on haastava aihe, voit ottaa todistuksen seuraamisen matemaattisena haasteena.

Esimerkki 4.5.4

Osoita, että jos $$\lim\limits_{x\to a}g(x)=M$$ ja $$\lim\limits_{x\to M}f(x)=f(M)$$, niin $$\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(M)$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Olkoon $$\varepsilon>0$$. Tavoitteena on löytää sellainen luku $$\delta > 0$$, että

$\abs{f(g(x))-f(M)} < \varepsilon \qquad \text{aina, kun} \qquad 0<\abs{x-a} <\delta.$

Merkitään selkeyden vuoksi ulkofunktion $$f$$ muuttujaa kirjaimella $$y$$.

Koska raja-arvon $$f(M)$$ oletetaan olevan olemassa, on raja-arvon määritelmän perusteella olemassa sellainen $$\delta_1>0$$, jolle

(1)$\abs{f(y) - f(M)} < \varepsilon \qquad \text{aina, kun} \qquad 0 < \abs{y - M} < \delta_1.$

Vastaavasti raja-arvon $$M$$ oletetun olemassaolon vuoksi voidaan löytää jokin $$\delta_2 > 0$$, jolle

$\abs{g(x) - M} < \delta_1 \qquad \text{aina, kun} \qquad 0 < \abs{x - a} < \delta_2.$

Yllä olevalla rivillä on käytetty luvun $$\varepsilon$$ sijaan lukua $$\delta_1$$, sillä määritelmän ehdon pitää olla voimassa kaikilla nollaa suuremmilla luvuilla, siis myös luvulla $$\delta_1$$.

Valitsemalla $$\delta = \delta_2$$ saadaan aikaan se, että kun $$0 < \abs{x-a} < \delta$$, niin $$\abs{g(x) - M} < \delta_1$$. Merkitään $$y=g(x)$$. Määritelmän yhteydessä kerrottiin, että ehdossa $$0<|y-M|<\delta_1$$ raja-arvon selvittämisen kannalta oleellista on se, että myös epäyhtälöketjun vasen puolikas on voimassa. Tarkastetaan kuitenkin varmuuden vuoksi, mitä tapahtuu, jos $$|y-M|=0$$ eli $$y=M$$. Sellaisissa pisteissä $$x$$, joissa $$y=g(x)=M$$, on voimassa

$\abs{f(g(x))-f(M)} = \abs{f(M)-f(M)} = 0 < \varepsilon.$

Kaikissa muissa pisteissä, eli silloin kun $$0<|g(x)-M|=|y-M|<\delta_1$$, tiedetään kohdan (1) perusteella, että

$\abs{f(g(x)) - f(M)} = \abs{f(y)-f(M)} < \varepsilon.$

Siispä kummassakin tapauksessa oletuksesta $$0 < \abs{x-a} < \delta$$ seuraa se, että

$\abs{f(g(x)) - f(M)} < \varepsilon.$

Näin ollen raja-arvon määritelmän mukaisesti $$\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(M)$$.

Raja-arvon määritelmällä voidaan myös osoittaa, ettei raja-arvoa ole olemassa.

Esimerkki 4.5.5

Osoita, että raja-arvoa $$\lim\limits_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}$$ ei ole olemassa.

Piilota/näytä ratkaisu

Tehdään vastaoletus, jonka mukaan $$\lim\limits_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}$$ on olemassa. Merkitään tätä raja-arvoa luvulla $$L$$, ja osoitetaan, että tämä oletus johtaa väistämättä ristiriitaan.

Raja-arvon määritelmän mukainen ehto raja-arvon $$L$$ olemassaololle koskee kaikkia positiivisia reaalilukuja $$\varepsilon$$. Näin ollen luku $$L$$ ei olekaan raja-arvo, jos löydetään jokin luku $$\varepsilon > 0$$, jolle määritelmän mukaista lukua $$\delta > 0$$ ei ole olemassa. Täytyy siis löytää sellainen luku $$\varepsilon > 0$$, että millä tahansa luvulla $$\delta > 0$$ löytyy jokin luku $$x_0$$, jolla on voimassa

$0 < |x_0-0| = |x_0| < \delta, \qquad \text{mutta silti} \qquad \left|\sin\frac{1}{x_0} - L\right| \geq \varepsilon.$

On tärkeää huomata, että funktion $$\sin\frac{1}{x}$$ kuvaaja heilahtelee voimakkaasti arvojen $$1$$ ja $$-1$$ välillä, kun $$x \to 0$$. Tämän havainnon perusteella voidaan raja-arvon määritelmässä valita $$\varepsilon = 1$$ riippumatta siitä, mikä raja-arvo $$L$$ on. Olkoon jatkossa $$\delta$$ jokin mielivaltainen positiivinen luku.

Nyt joko $$L \geq 0$$ tai $$L < 0$$. Oletetaan ensin, että $$L \geq 0$$. Määritetään seuraavaksi, millä muuttujan $$x$$ arvoilla $$\sin\frac{1}{x} = -1$$.

$\sin\frac{1}{x_0} = -1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{1}{x_0} = \frac{3\pi}{2}+2\pi n \qquad \Longleftrightarrow \qquad x_0 = \frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n},$

missä $$n$$ on jokin kokonaisluku. Jotta vielä $$0< |x_0| < \delta$$, pitää olla $$n > \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\pi\delta}+\frac{3}{2}\right)$$.

Tällöin vaikka $$0< |x_0| < \delta$$, saadaankin

$\left|\sin\frac{1}{x_0} - L\right| = |-1-L| = |1+L| = 1+L \geq 1 = \varepsilon,$

eli raja-arvon määritelmän ehto ei toteudu millään positiivisella reaaliluvulla $$\delta$$. Näin ollen luku $$L$$ ei ole funktion $$\sin\frac{1}{x}$$ raja-arvo. Siispä välttämättä $$L < 0$$, ja tämä tapaus jätetään lukijalle pohdittavaksi. Vastaavasti voidaan osoittaa, että tällöinkään luku $$L$$ ei toteuta raja-arvon määritelmää. Tämä puolestaan on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa, eli alkuperäinen väite on tosi.

Palautusta lähetetään...