$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Raja-arvon tarkastelun lähtökohtana on se, että funktion arvojen käyttäytymistä voidaan tarkastella mielivaltaisen lähellä tiettyä pistettä $$a$$. Siispä on luonnollista vaatia, että funktio on määritelty ainakin kyseisen pisteen läheisyydessä ja sen molemmilla puolilla, jotta pistettä voidaan ylipäätään lähestyä. Määritellään pisteen $$a$$ läheisyys seuraavaksi täsmällisemmin.

Määritelmä 4.2.1

Reaaliluvun $$a$$ sisältävää avointa väliä $$(c,d)$$ kutsutaan pisteen $$a$$ ympäristöksi (neighbourhood) ja joukkoa $$(c,a)\cup(a,d)$$ pisteen $$a$$ punkteeratuksi ympäristöksi.

Välillä tarkasteltavaa funktiota ei ole määritelty pisteessä $$a$$, jossa funktion raja-arvo halutaan määrittää. Tällöin kuitenkin riittää, että funktio on määritelty pisteen $$a$$ jossakin punkteeratussa ympäristössä, jotta funktion käyttäytymistä voidaan tutkia mielivaltaisen lähellä kyseistä pistettä. Tästä hyvänä esimerkkinä on esimerkin 4.1.1 kohdan 2 funktio, jota ei ole määritelty, kun $$x=0$$, mutta silti voidaan tarkastella, mitä tapahtuu, kun lähestytään kyseistä pistettä. Siispä raja-arvoa määritettäessä ei oikeastaan olla kiinnostuneita, mitä funktiolle käy juuri pisteessä $$a$$, vaan mitä sille käy, kun pistettä $$a$$ lähestytään.

Reaalifunktion tapauksessa piste $$a$$ on tyypillisesti jokin piste $$x$$-akselilla, ja sitä voidaan siten lähestyä vasemmalta tai oikealta. Perustetaan tähän havaintoon seuraavat (epämuodolliset) raja-arvon käsitteet.

Määritelmä 4.2.2

Olkoon funktio $$f$$ on määritelty joukossa $$\left( b,a \right)$$. Funktion $$f$$ vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa $$a$$ on $$L$$, jos funktion arvot $$f\left( x \right)$$ lähestyvät lukua $$L$$ muuttujan $$x$$ lähestyessä lukua vasemmalta $$\left( x < a \right)$$. Tällöin merkitään

$\lim_{x\to a-}f(x)=L \qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to {a-}.$

Olkoon sitten funktio $$f$$ määritelty joukossa $$\left( a,b \right)$$. Vastaavasti funktion $$f$$ oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa $$a$$ on $$L$$, jos funktion arvot $$f\left( x \right)$$ lähestyvät lukua $$L$$ muuttujan $$x$$ lähestyessä lukua oikealta $$\left( x > a \right)$$. Tällöin merkitään

$\lim_{x\to a+}f(x)=L \qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to {a+}.$

Vasemman- ja oikeanpuoleisista raja-arvoista käytetään yhteisnimitystä toispuoleiset raja-arvot.

Funktion varsinainen raja-arvo on nyt luontevaa määritellä toispuoleisten raja-arvojen avulla. Jos funktion toispuoleiset raja-arvot ovat pisteessä $$a$$ yhtä suuret, lähestyvät funktion arvot samaa arvoa riippumatta siitä, lähestytäänkö pistettä $$a$$ vasemmalta tai oikealta. Tällöin varsinaiseksi raja-arvoksi on järkevää määritellä toispuoleisten raja-arvojen yhteinen arvo.

Määritelmä 4.2.3

Funktion $$f$$ raja-arvo kohdassa $$a$$ on $$L$$ jos ja vain jos sekä sen vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo kohdassa $$a$$ on $$L$$. Tällöin merkitään

$L=\lim_{x\to a}f(x)\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L\text{, kun }x\to a.$

$\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L \qquad \text{jos ja vain jos} \qquad \lim\limits_{x \to a-} f\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a+} f\left( x \right) = L .$

Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu, että katkoviivalla merkityt funktion $$f$$ arvot $$f\left( x \right)$$ lähestyvät molemmat lukua $$L$$, kun muuttuja $$x$$ lähestyy lukua $$a$$ vasemmalta ja oikealta. Idea on siis hyvin intuitiivinen.

Seuraava esimerkki perustelee, miksi toispuoleisten raja-arvojen olemassaolo on välttämätön ehto sille, että funktion raja-arvo on olemassa. Näiden olemassaolo ei kuitenkaan ole riittävä ehto, mikä tulee myös esimerkissä esiin.

Esimerkki 4.2.4

Havainnollistetaan erilaisten raja-arvojen käsitteitä, sekä toispuoleisten raja-arvojen samuuden välttämättömyyttä raja-arvon olemassaololle.

1. Funktiolla

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x<1,\\ 2-x,&\text{kun }x>1, \end{cases}\end{split}$

on toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\to1-}f(x)=0\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to1+}f(x)=1.$

Koska toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat, raja-arvoa $$\lim\limits_{x\to1}f(x)$$ ei ole olemassa määritelmän 4.2.3 mukaisesti.

2. Funktiolla

$\begin{split}g(x)=\begin{cases} x^2,&\text{kun }x<0,\\ x\sin\dfrac{1}{x},&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}$

on toispuoleiset raja-arvot

$\lim_{x\to0-}g(x)=0=\lim_{x\to0+}g(x).$

Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret, raja-arvo $$\lim\limits_{x\to0}g(x)=0$$ on olemassa määritelmän 4.2.3 mukaisesti.

3. Funktiolla

$\begin{split}h(x)=\begin{cases} 1,&\text{kun }x<0,\\ \sin\dfrac1x,&\text{kun }x>0, \end{cases}\end{split}$

on vasemmanpuoleinen raja-arvo $$\lim\limits_{x\to0-}h(x)=1$$, mutta ei oikeanpuoleista raja-arvoa $$\lim\limits_{x\to0+}h(x)$$, eikä siten myöskään raja-arvoa $$\lim\limits_{x\to0}h(x)$$. Esimerkissä 1.5 on perusteltu täsmällisesti, miksei raja-arvoa $$\lim\limits_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}$$ ole olemassa.

Huomaa, että mikään yllä olevista funktioista ei ole määritelty siinä pisteessä, jossa raja-arvoa tutkitaan.

Raja-arvoa $$\lim\limits_{x\to-1} \sqrt{x^2-1}$$ ei ole olemassa, koska funktio $$\sqrt{x^2 - 1}$$ ei ole määritelty luvun $$-1$$
Onko olemassa jompikumpi toispuoleinen raja-arvo?
Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, niin mikä se on?

Tarkastellaan seuraavaksi funktiota

$\begin{split}f(x)= \begin{cases} -x+6, & \text{jos } |x|\geq 2 \\ 2x^2-2, & \text{jos } 1\leq |x|< 2 \\ 5, & \text{jos } |x|<1 \end{cases}\end{split}$
Mikä on raja-arvo $$\lim_{x\to2-} f(x)$$?
Mikä on raja-arvo $$\lim_{x\to-2} f(x)$$?

Seuraavan lauseen raja-arvon peruslaskusääntöjen mukaan summan raja-arvo on raja-arvojen summa, tulon raja-arvo on raja-arvojen tulo ja osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä. Osan laskusäännöistä voi varsin helposti perustella itselleen geometrisesti, mutta niiden tarkka todistaminen vaatii raja-arvon täsmällisen määritelmän, minkä vuoksi todistukset sivuutetaan tässä kohtaa.

Lause 4.2.5

Jos $$\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=L}$$ ja $$\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}$$, sekä $$c \in \R$$, niin

1. $$\lim\limits_{x \to a}c = c$$,
2. $$\lim\limits_{x \to a}x = a$$,
3. $$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(cf(x)\big)}=cL$$,
4. $$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=L\pm M}$$,
5. $$\displaystyle{\lim_{x\to a}\big(f(x)g(x)\big)=LM}$$,
6. $$\displaystyle{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}}$$, jos $$M\ne0$$,
7. $$\lim\limits_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}$$, $$a>0$$,
8. Jos $$\displaystyle{\lim_{x\to a}g(x)=M}$$ ja $$\displaystyle{\lim_{x\to M}f(x)=f(M)}$$, niin $$\displaystyle \lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f(M)$$.

Edellisen lauseen viidennestä kohdasta seuraa suoraan seuraava tulos. Tuloksen voi todistaa yksinkertaisesti induktiolla ja hyödyntämällä kohtaa 5.

Seuraus 4.2.6

Jos $$\lim\limits_{x\to a}f(x)$$ on olemassa, niin $$\lim\limits_{x\to a}f(x)^n=\left(\lim\limits_{x\to a}f(x)\right)^n,$$ kun $$n\in\N$$.

Seuraavien perustulosten yhdistäminen edellä mainittuihin raja-arvojen laskusääntöihin tarjoaa yksinkertaisen keinon monien funktioiden raja-arvojen määrittämiseen.

Esimerkki 4.2.7

Tämän raja-arvon määrittämiseen tarvitaan kaikkia raja-arvojen laskusääntöjä sekä edellisen lauseen tuloksia. Merkitään selvyyden vuoksi numeroin, mitä raja-arvon laskusääntöjä kussakin kohdassa on käytetty. Nyt

$\lim_{x\to3}\frac{2x^3-7}{5x+3}\stackrel{6.}{=}\frac{\lim\limits_{x\to3}(2x^3-7)}{\lim\limits_{x\to3}(5x + 3)} \stackrel{4. \text{ ja } 3.}{=}\frac{2\left(\lim\limits_{x\to3}x\right)^3-\lim\limits_{x\to3}7}{5\lim\limits_{x\to3}x + \lim\limits_{x\to3}3} \stackrel{2. \text{ ja } 1.}{=} \frac{2\cdot3^3-7}{5\cdot3+3}=\frac{47}{18},$

missä toisen yhtäsuuruuden kohdalla on käytetty lisäksi seurausta 4.2.6 termin $$2x^3$$ kohdalla.

Esimerkki 4.2.8

1. Raja-arvo

$\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6}$

on olemassa, mutta sen määrittämiseksi ei voi soveltaa suoraan osamäärän raja-arvon sääntöä, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee $$0$$. Sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin nollakohtiensa avulla, jolloin tämä ongelma voidaan ohittaa supistamalla yhteinen tekijä pois.

$\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x^2+5x+6} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)(x+3)}{(x+2)(x+3)} =\lim_{x\to-3}\frac{(x-1)}{(x+2)} =4$
2. Raja-arvoa

$\lim_{x\to2}\frac{1}{2-x}$

ei ole olemassa. Kun $$x$$ lähestyy arvoa $$2$$ vasemmalta, eli $$x<2$$, niin $$2-x>0$$ ja siten $$\frac{1}{2-x}>0$$. Lisäksi nimittäjä $$2-x$$ lähestyy nollaa, eli nyt ykköstä jaetaan jollain pienellä nollaa lähellä olevalla luvulla. Tällainen luku on hyvin suuri ja kasvaa sitä mukaan, mitä lähempänä nollaa nimittäjä $$2-x$$ on. Täten $$\frac{1}{2-x}$$ kasvaa rajatta, kun $$x \to 2+$$ ja näin ollen oikean puoleista raja-arvoa ei ole olemassa. Tästä puolestaan seuraa, että raja-arvoa ei ole olemassa. Jos $$x>2$$, niin $$2-x$$ on negatiivinen ja vastaavin perusteluin voidaan todeta, että $$\frac{1}{2-x}$$ saa mielivaltaisen pieniä arvoja, kun $$x \to 2-$$.

Esimerkki 4.2.9

$\lim_{x\to5}\sqrt{2x^2-1}=\sqrt{\lim_{x\to5}(2x^2-1)}=\sqrt{49}=7.$
2. Tutkitaan raja-arvoa

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.$

Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvoksi tulee $$0$$, mutta funktiota voidaan muokata sopivasti laventamalla lausekkeella $$\sqrt{x+4}+2$$. Näin päästään eroon osoittajan neliöjuuresta ja jakolaskusta voidaan supistaa nollaa kohti menevät termit pois. Nimittäjään tuleva neliöjuurilauseke $$\sqrt{x+4}+2$$ ei lähesty nollaa, kun $$x\to 0$$, joten se ei aiheuta ongelmia.

$\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} =\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} =\frac{1}{\sqrt{x+4}+2} \to\frac14,$

kun $$x \to 0$$.

Pohditaan vielä hieman äskeistä esimerkkiä, jossa laskettiin raja-arvoa

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x}.$
Miksi esimerkissä tehdään lavennus? (Huom. Muissa kuin tämän kysymyksen oikean vastauksen tapauksessa samanlainen lavennus tuskin kannattaa.) Sen takia, että suora sijoitus tuottaa muodon
Lavennus tapahtuu nimenomaan lausekkeella $$\sqrt{x+4}+2$$, koska ensisijaisesti halutaan päästä eroon osoittajan
Miten ensimmäisen yhtäsuuruusmerkin jälkeinen muoto on saatu, eli minkä kaavan käyttöön lavennus perustuu?
Minkä takia esimerkin laskentarivillä toisen yhtäsuuruusmerkin jälkeen (viimeinen muoto ennen rajankäyntiä) osoittajana on luku $$1$$?

Viimeinen raja-arvojen määrittämiseen liittyvä päättelykeino on kuristusperiaate, jonka todistaminen sivuutetaan. Todistus vaatii jälleen raja-arvon täsmällisen määritelmän.

Lause 4.2.10 (Kuristusperiaate)

Olkoon $$f(x)\le g(x)\le h(x)$$ aina, kun $$x\ne a$$ jossakin pisteen $$a$$ ympäristössä ja oletetaan, että

$\lim_{x\to a}f(x)=L=\lim_{x\to a}h(x).$

Tällöin $$\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$$.

Kuristusperiaate antaa mahdollisuuden arvioida mielenkiinnon kohteena olevaa funktiota $$g(x)$$ ylös- ja alaspäin ja saada näin monimutkaisempi raja-arvo lasketuksi. Huomaa, että sekä ylä- että alarajan funktioiden $$f$$ ja $$h$$ täytyy supeta kohti samaa arvoa tarkastelun kohteena olevassa pisteessä $$a$$. Aina sopivien rajoittavien funktioiden löytäminen ei ole helppoa, mutta esimerkiksi sinistä ja kosinista tiedetään, että niiden arvot ovat välillä $$[-1,1]$$, ja tätä tietoa voidaan käyttää hyväksi kuristusperiaatetta käytettäessä. Havainnollistetaan tätä seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 4.2.11

Funktiolla $$g(x)=x\sin\frac1x$$ on raja-arvo $$0$$ pisteessä $$0$$, sillä

$-|x|\le x\sin\frac1x\le|x|$

ja $$f(x)=-|x|\to0$$ ja $$h(x)=|x|\to0$$, kun $$x\to0$$.

Funktiot $$-|x|$$ ja $$|x|$$ ikäänkuin ”kuristavat” funktion $$x\sin \frac{1}{x}$$ lähestymään arvoa $$0$$.

Usein tehtävissä, joissa kuristusperiaatetta käytetään, annetaan funktion $$g(x)$$ lauseke ja tehtävänä on keksiä sopivat kuvaajaa $$y=g(x)$$ alhaalta ja ylhäältä rajoittavat funktiot sekä niiden perusteella määrätä funktion $$g(x)$$ raja-arvo. Nyt käsitellään kuitenkin hiukan toisenlaista tehtävää.

Tarkastellaan funktioita

$a(x)=\frac{2x^2+x+2}{4x+4}$

ja

$b(x)=\frac{x^2+3x+2}{2x+8}.$

Välillä $$(0,5)$$ on vain yksi piste $$x=c$$, jossa nämä funktioiden kuvaajat sivuavat toisiaan. Sivuaminen tarkoittaa, että yhteisen pisteen molemmilla puolilla kuvaajat ovat samassa korkeusjärjestyksessä, eivätkä siis leikkaa (mene ristiin). Koska funktioiden $$a(x)$$ ja $$b(x)$$ kuvaajien kaikissa yhteisissä pisteissä pätee sekä $$y=a(x)$$ että $$y=b(x)$$, voidaan tämän perusteella muodostaa yhtälö $$a(x)=b(x)$$.

Ratkaise yhtälö $$a(x)=b(x)$$. Aloita ristiinkerronnalla eli kerro yhtälön molempia puolia ensin funktion $$a(x)$$ nimittäjällä ja sitten funktion $$b(x)$$ nimittäjällä. Kun olet tehnyt ristiinkerronnan, miltä yhtälö näyttää?

Kun edelleen vähennetään puolittain termejä niin, että kaikki nollasta eroavat termit ovat yhdellä puolella yhtälöä, on yhtälö muotoa

$2x^2-8x+8=0.$
Mikä on tämän ratkaisu eli kuvaajien yhteinen piste $$x=c$$?

Jos haluat, voit pohtia vähän sitä, miten toisen asteen yhtälön ratkaisun perusteella voidaan tietää ilman piirtämistä, että käyrät $$y=a(x)$$ ja $$y=b(x)$$ sivuavat eivätkä leikkaa pisteessä $$c$$.

Käsitellään nyt funktiota $$r(x)$$, jonka lauseketta ei tunneta, mutta tiedetään kuitenkin, että funktion $$\frac{r(x)}{x^2}$$ kuvaaja jää funktioiden $$a(x)$$ ja $$b(x)$$ kuvaajien väliin pisteen $$c$$ ympäristössä. Selvitetään funktion $$r(x)$$ raja-arvo pisteessä $$c$$.

Tarkasta kumpi kuvaajista $$y=a(x)$$ ja $$y=b(x)$$ on toista ylempänä pisteen $$c$$ ympäristössä. Tämän voi tehdä esim. sijoittamalla joitakin sopivasti valittuja lukuja.

Kumpi on oikein?

Tarkasta seuraavaksi, että funktioilla $$a(x)$$ ja $$b(x)$$ on sama raja-arvo pisteessä $$c$$. Tämän perusteella tiedät kuristusperiaatteen mukaan, mikä on raja-arvo $$\lim\limits_{x\to c} \frac{r(x)}{x^2}$$.

Raja-arvo $$\lim\limits_{x\to c} \frac{r(x)}{x^2}$$ on

Päättele edelleen raja-arvo $$\lim\limits_{x\to c} r(x)$$.

Raja-arvo $$\lim\limits_{x\to c} r(x)$$ on

Huomaa, että raja-arvon olemassaolo saataisiin pienellä lisäpohdinnalla (toispuoleisiin raja-arvoihin liittyen) todistettua siinäkin tapauksessa, että funktioiden $$a$$ ja $$b$$ kuvaajat leikkaisivat toisensa.

## Tärkeitä raja-arvoja¶

Tämän osion lopussa tarkastellaan erään hyvin hyödyllisen raja-arvon määritystä toispuoleisten raja-arvojen avulla. Sitä ennen kuitenkin tarvitaan tietoa sini- ja kosinifunktioiden raja-arvoista kohdassa $$0$$.

Lemma 4.2.12

$$\lim\limits_{\theta\to0}\sin\theta = 0$$ ja $$\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta = 1$$.

Piilota/näytä todistus

Esitetään lemmalle geometrinen perustelu. Trigonometriset funktiot määritellään yksikköympyrän kehäpisteiden avulla, joten tarkastellaan alla olevaa kuvaa ensimmäisestä koordinaattineljänneksestä.

Kuvassa $$\theta \to 0+$$, ja kun kulma $$\theta$$ lähestyy nollakulmaa, kuvan kehäpiste $$(\cos\theta,\sin\theta)$$ lähestyy pistettä $$(1,0)$$. Toisin sanoen $$\sin\theta$$ lähestyy arvoa $$0$$ ja $$\cos\theta$$ arvoa $$1$$. Samaan lopputulokseen päädytään myös tilanteessa, jossa $$\theta\to 0-$$. Tällöin tarkasteluun lisätään neljäs koordinaattineljännes. Koska toispuoleiset raja-arvot ovat yhtä suuret,

$\lim_{\theta\to 0} \sin\theta = 0 \qquad \text{ja} \qquad \lim_{\theta\to 0} \cos\theta = 1,$

mikä oli osoitettava.

Funktiolla $$f : \R\setminus\{0\} \to \R$$, $$f(x) = \frac{\sin x}{x}$$ on keskeinen merkitys useissa signaalinkäsittelyyn liittyvissä sovelluksissa, ja sille annetaan usein erityisnimitys $$\operatorname{sinc}(x)$$. Matematiikassa ollaan erityisen kiinnostuneita tämän funktion raja-arvosta kohdassa $$0$$, jossa funktiota ei ole määritelty. Kyseisen raja-arvon merkitys tulee esille esimerkiksi trigonometristen funktioiden derivointikaavojen johtamisissa.

Kuvaajan perusteella funktio $$\frac{\sin x}{x}$$ näyttää lähestyvän arvoa $$1$$ origon läheisyydessä. Kuvaajasta katsominen ei kuitenkaan ikinä kelpaa täsmälliseski perusteluksi, minkä vuoksi havainto todistetaan seuraavassa lauseessa.

Lause 4.2.13

$$\lim\limits_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$$

Piilota/näytä todistus

Todistetaan lause geometrisesti.

Tutkitaan aluksi oikeanpuoleista raja-arvoa $$\lim\limits_{\theta\to0+}\frac{\sin\theta}{\theta}$$. Oletetaan siis, että $$0<\theta<\frac{\pi}{2}$$. Oheisesta kuvasta päätellään, että $$x$$-akselin ja pisteen $$(\cos\theta, \sin\theta)$$ rajaaman kolmion pinta-ala on pienempi kuin niiden rajaaman ympyräsektorin pinta-ala. Viimeksi mainittu on lisäksi pienempi kuin $$x$$-akselin ja pisteen $$(1, \tan\theta)$$ rajaaman kolmion pinta-ala.

Tunnetusti $$1$$-säteisen kiekon pinta-ala on $$\pi\cdot1^2=\pi$$, joten kulmaan $$\theta$$ rajautuvan sektorin pinta-ala on $$\pi\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{2}$$. Kolmioiden pinta-alat voidaan laskea tutusti kateettien avulla, ja hyödyntämällä tangentin määritelmää saadaan

$\frac12\cos\theta\sin\theta\le\frac{\theta}{2}\le\frac12\cdot1\cdot\tan\theta=\frac12\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.$

Edelleen kertomalla luvulla $$2$$ ja jakamalla luvulla $$\sin\theta \not= 0$$ nähdään, että

$\cos\theta\le\frac{\theta}{\sin\theta}\le\frac{1}{\cos\theta}.$

Ottamalla käänteisluvut järjestys kääntyy ja saadaan

$\frac{1}{\cos\theta}\ge\frac{\sin\theta}{\theta}\ge\cos\theta.$

Koska lemman 4.2.12 mukaan $$\lim\limits_{\theta\to0}\cos\theta=1$$, niin kuristusperiaatteen nojalla

$\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1.$

Olettamalla $$-\frac{\pi}{2}<\theta<0$$ ja käsittelemällä vastaavan tilanteen neljännessä neljänneksessä vasemmanpuoleiseksi raja-arvoksi saadaan

$\lim\limits_{\theta\to0-}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1,$

joten väite on todistettu toispuoleisten raja-arvojen olemassaoloon vetoamalla.

Seuraavissa esimerkeissä hyödynnetään edellisen lauseen tulosta.

Esimerkki 4.2.14

Osoitetaan, että

$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0.$

Suora sijoitus ei onnistu, sillä nimittäjän raja-arvo on $$0$$. Lavennetaan siis lausekkeella $$1+\cos x$$ ja hyödynnetään tietoa $$\sin^2x=1-\cos^2x$$, joka seuraa suoraan trigonometrian peruskaavasta.

$\frac{1-\cos x}{x} =\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)} =\frac{\sin x}{x}\,\frac{\sin x}{1+\cos x} \to1\cdot\frac{0}{1+1}=0,$

kun $$x\to0$$.

Esimerkki 4.2.15

Selvitä itsellesi raja-arvon

$\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{x} =2\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos(2x)}\right) =2\cdot1\cdot\frac{1}{1}=2$

määrityksen välivaiheet.

Yllä olevassa esimerkissä pyydettiin selvittämään raja-arvon määrityksen

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2\left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{2x}\right) \left(\lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos(2x)}\right)$

välivaiheet. Katsotaan, selvisivätkö ne.

Seuraavassa listassa on nimetty kahdeksan laskentaan liittyvää sääntöä, tapaa tai määritelmää. Jos nimet eivät heti tuo sääntöä mieleen, löytyvät säännöt tästä luvusta tai trigonometrisiä funktioita käsittelevästä luvusta. Nimet ovat tosin vain tätä tehtävää varten kehitettyjä. Kolme näistä säännöistä on sellaisia, joita käytetään yllä esitetyssä laskussa.

Valitse ne kolme sääntöä, joita tässä käytetään.

Esimerkin toisen yhtäsuuruusmerkin kohdalla ilmoitetaan, että

$2\left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{2x}\right) \left(\lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos(2x)}\right) = 2\cdot 1\cdot \frac{1}{1}$

Voidaan ajatella, että ensimmäiseen sulkulausekkeeseen tehdään muuttujanvaihto, jotta lauseen 4.2.13 perusteella siihen liittyväksi raja-arvoksi voidaan päätellä $$1$$.

Mikä muuttujanvaihto ensimmäiseen sulkulausekkeeseen on tehty?

Huomaa, että muuttujanvaihdon mukaisesti silloin kun $$x\to 0$$, niin myös $$\theta \to 0$$, joten lausetta 4.2.13 voidaan käyttää.

Minkä takia $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{\cos(2x)}= \frac{1}{1}$$? Lausekkeeseen on tehty
Palautusta lähetetään...