1. MATH.APP.111
  2. 4. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus
  3. 4.3 Raja-arvokäsitteen laajennukset
\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Raja-arvokäsitteen laajennukset

Tähän asti määritellyt raja-arvokäsitteet kattavat vain funktioiden äärelliset arvot äärellisissä reaalilukupisteissä. Tämä ei kuitenkaan riitä kuvaamaan kaikkia aloitusesimerkin tapauksia. Reaalilukujen joukossa ei ole pienintä eikä suurinta lukua, sillä jokaista lukua \(x \in \R\) kohti on olemassa \(x < x + 1\) ja \(x > x - 1\). Näille mielivaltaisen suurelle ja pienelle luvulle tarvitaan uudet käsitteet.

Jos jokin luku on mielivaltaisen suuri, eli niin suuri, että se on suurempaa kuin yksikään reaaliluku, kutsutaan sitä äärettömäksi ja merkitään symbolilla \(\infty\). Vastaavasti mielivaltaisen pientä, mitä tahansa reaalilukua pienempää lukua kutsutaan miinus äärettömäksi ja merkitään vastaavasti \(-\infty\). On syytä korostaa, että äärettömät eivät ole reaalilukuja, eivätkä siksi reaalilukujen laskusäännöt kaikilta osin päde niiden kanssa. Esimerkiksi kahden mielivaltaisen luvun yhtäsuuruudesta ei mitenkään voida olla varmoja. Siksi vähennyslaskun \(\infty - \infty\) tulos ei ole nolla eikä mikään muukaan reaaliluku, vaan tätä vähennyslaskua sanotaan epämääräiseksi muodoksi. Tässä luvussa esitellään raja-arvojen lisäksi äärettömään liittyviä laskusääntöjä sekä äärettömään liittyviä epämääräisiä muotoja.

Epäoleelliset raja-arvot

Jos funktion \(f\) arvot kasvavat rajatta pistettä \(a\) lähestyttäessä, on intuitiivista sanoa, että funktiolla \(f\) on raja-arvo \(\infty\) pisteessä \(a\). Vastaavasti rajatta vähenevässä tapauksessa funktiolla on raja-arvo \(-\infty\). Tällöin puhutaan epäoleellisesta raja-arvosta, joka määritellään epämuodollisesti seuraavaksi.

Määritelmä 4.3.1

Olkoon funktio \(f\) määritelty pisteen \(a\) punkteeratussa ympäristössä. Jos funktion \(f\) arvot \(f\left( x \right)\) kasvavat rajatta, kun \(x\) lähestyy lukua \(a\), niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa \(a\). Sen sijaan sillä on olemassa epäoleellinen raja-arvo \(\infty\) kohdassa \(a\). Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to a}f(x)=\infty\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to\infty,\text{ kun }x\to a.\]

Vastaavasti, jos funktion \(f\) arvot \(f\left( x \right)\) vähenevät rajatta, kun \(x\) lähestyy lukua \(a\), niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa \(a\). Sen sijaan sillä on olemassa epäoleellinen raja-arvo \(-\infty\) kohdassa \(a\). Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to-\infty,\text{ kun }x\to a.\]

Huomaa, että epäoleellisen raja-arvon määritelmässä funktion arvojen täytyy kasvaa tai vähentyä molemmilla puolilla raja-arvopistettä. Epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot \(\infty\) ja \(-\infty\) määritellään vastaavasti kuin äärelliset toispuoleiset raja-arvot.

Kuten aiemmin varoiteltiin, mielivaltaisten suurten ja pienten lukujen käsittelyssä tulee olla valppaana. Vaikka kaikkia laskutoimituksia näillä luvuilla ei ole määritelty, voidaan muutamassa alla olevassa tapauksessa perustellusti määrittää arvo eri laskutoimituksille. Varmistu siitä, että nämä laskusäännöt käyvät järkeen. Tässä \(c\) on jokin reaaliluku.

  1. \(c+\infty=\infty+c=\infty\) ja \(c-\infty=-\infty+c=-\infty\)
  2. \(c\cdot\infty=\infty\cdot c=\infty\) ja \(c \cdot \left( -\infty \right)= \left( -\infty \right) \cdot c = -\infty\), jos \(c>0\)
  3. \(c\cdot\infty=\infty\cdot c=-\infty\) ja \(c\cdot \left( -\infty \right) = \left( -\infty \right) \cdot c =\infty\), jos \(c<0\)
  4. \(\dfrac{c}{\pm\infty}=0\)
  5. \(\infty+\infty=\infty\) ja \(-\infty-\infty=-\infty\)
  6. \(\infty\cdot\infty=\infty\), \((-\infty)\cdot(-\infty)=\infty\), \(\infty\cdot(-\infty)=\left( -\infty \right) \cdot \infty=-\infty\)

Näistä neljäs ominaisuus on erityisen mielenkiintoinen. Reaalilukujen ominaisuuksien mukaan mitä suurempi luku on, sitä lähempänä nollaa sen käänteisluku on. Äärettömyys on puolestaan määritelmällisesti suurempaa kuin yksikään reaaliluku. Tästä voidaan päätellä, että epämuodollisesti ilmaistuna äärettömyyden käänteisluku on jokin sellainen luku, joka on lähempänä nollaa kuin mikään muu reaaliluku. Näin ollen yllä olevien laskusääntöjen neljäs kohta käy myös järkeen.

Raja-arvon laskusääntöjä ja toispuoleisten raja-arvojen kriteeriä voidaan käyttää myös epäoleellisille raja-arvoille. Tätä havainnollistetaan seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 4.3.2

  1. Funktiolla \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-3}\) on epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot

    \[\lim_{x\to3-}f(x)=-\infty\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to3+}f(x)=\infty,\]

    sillä \(\sqrt{x}\to\sqrt{3}\), kun \(x\to3\) ja \(x-3\to\pm 0\), kun \(x\to3\pm\). Niinpä epäoleellista raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to3}f(x)\) ei ole olemassa.

  2. \(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^8}{(x-2)^2}=\lim_{x\to2}\big(x^8\big)\lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=2^8\cdot\infty=\infty\).

Huomautus 4.3.3 (Epämääräisiä muotoja)

Seuraavat muodot ovat epämääräisiä eikä niistä raja-arvolaskuissa voida tehdä mitään johtopäätöksiä.

\[\infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty},\quad \frac00,\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty\]

Voidaan osoittaa, ettei minkään epämääräisen muodon arvoa voida määrittää mielekkäästi siten, että se olisi yksikäsitteinen. Esimerkiksi

\[1=\lim_{x\to0+}1=\lim_{x\to0+}x\cdot\frac1x=0\cdot\infty,\]

mutta toisaalta

\[2=\lim_{x\to0+}2=\lim_{x\to0+}(2x)\cdot\frac{1}{x}=0\cdot\infty,\]

tai jopa

\[\infty=\lim_{x\to0+}\frac1x=\lim_{x\to0+}x\cdot\frac{1}{x^2}=0\cdot\infty.\]

Huomautus 4.3.4

Epämääräisten muotojen esiintyminen raja-arvolaskussa ei tarkoita sitä, että laskeminen lopetetaan siihen. Sen sijaan on tarkoitus käyttää jotain laskennallista menetelmää, jolla muodosta pääsee eroon. Näitä menetelmiä ovat esimerkiksi lavennus, yhteisen tekijän ottaminen ja supistus, kuristusperiaate tai l’Hôpitalin sääntö.

Pohditaan hieman, miksi jotkut epämääräisiksi mainitut muodot ovat ovat epämääräisiä.

Jos \(a\) on positiivinen reaaliluku, niin mitä on \(0^a\)?
Jos \(a\) on mikä tahansa muu reaaliluku kuin \(0\), niin mitä on \(a^0\)?
Mikä yksikäsitteinen arvo voidaan siis määritellä muodolle \(0^0\)?
Jos \(a\) on mikä tahansa äärellinen luku, niin mitä on \(1^a\)?
Jos \(1<a<\infty\), niin mitä on \(a^{\infty}\)?
Jos \(0<a<1\), niin mitä on \(a^{\infty}\)?
Mikä yksikäsitteinen arvo voidaan siis määritellä muodolle \(1^{\infty}\)?

Raja-arvo äärettömyydessä

Jos funktion \(f\) arvot \(f(x)\) lähestyvät reaalilukua \(L\), kun \(x\) kasvaa rajatta, on intuitiivista sanoa, että funktiolla \(f\) on raja-arvo \(L\) äärettömyydessä.

Määritelmä 4.3.5

Olkoon reaalifunktio \(f\) määritelty joukossa \((c,\infty)\). Jos funktion \(f\) arvot \(f\left( x \right)\) lähestyvät reaalilukua \(L\), kun muuttuja \(x\) kasvaa rajatta, niin funktion funktion raja-arvo äärettömyydessä on \(L\). Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=L\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to\infty.\]

Vastaavasti jos funktion on määritelty joukossa \(\left( -\infty, c \right)\) ja funktion \(f\) arvot \(f\left( x \right)\) lähestyvät reaalilukua \(L\), kun muuttuja \(x\) vähenee rajatta, niin funktion raja-arvo miinus äärettömyydessä on \(L\). Tällöin merkitään

\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=L\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to-\infty.\]

Epäoleelliset raja-arvot \(\infty\) ja \(-\infty\) voidaan määritellä samaan tapaan myös lähestyttäessä ääretöntä tai miinus ääretöntä.

Esimerkki 4.3.6

  1. \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\).
  2. \(\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).
  3. Ei ole olemassa raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to\infty}\sin x\), sillä arvo \(\sin(x)\) vaihtelee tasaisesti välillä \([-1,1]\) hakeutumatta mitään tiettyä arvoa kohti, kun \(x\to\infty\).
  4. \(\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}\). Tämä johtuu siitä, että arkustangentti on välille \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) rajatun tangentin käänteisfunktio. Tangentista tiedetään, että \(\lim\limits_{\theta\to\frac{\pi}{2}-} \tan \theta = \infty\). Käänteisfunktion ominaisuuksien vuoksi \(\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}\).

Seuraavassa esimerkissä esiintyy useita epämääräisiä muotoja. Näistä muodoista päästään kuitenkin usein polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden tapauksessa eroon ottamalla yhteisiä tekijöitä tai laventamalla sopivasti.

Esimerkki 4.3.7

Määritä seuraavat raja-arvot.

  1. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big(3x^3-100x^2+11\big)\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+4x^2-7}{5x^3-x+1}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{-x^3+2x^2+9}{7x^2+2x-1}\)
  4. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
  5. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\big)\)
Piilota/näytä ratkaisu

  1. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon \(\infty-\infty\), joten lauseketta pitää muokata. Kun \(x>0\), voidaan \(x^3\) ottaa lausekkeen yhteiseksi tekijäksi. Näin muodostuu termejä, joiden raja-arvo on muotoa \(\frac{c}{\pm\infty}\). Siispä

    \[\lim_{x\to\infty}\big(3x^3-100x^2+11\big)=\lim_{x\to\infty}\left(3-\frac{100}{x}+\frac{11}{x^3}\right)x^3=(3-0+0)\cdot\infty=\infty.\]

  2. Suora sijoitus antaa epämääräiset muodot \(\infty-\infty\) ja \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\). Rationaalifunktioiden tapauksessa kannattaa supistaa nimittäjän termillä, joka on korkeinta astetta, eli tässä termillä \(x^3\). Tällöin muodostuu jälleen muotoa \(\frac{c}{\pm\infty}\) olevia termejä, jotka sieventyvät pois.

    \[\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+4x^2-7}{5x^3-x+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2+\frac{4}{x}-\frac{7}{x^3}}{5-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}=\frac{2+0-0}{5-0+0}=\frac{2}{5}.\]

  3. Suora sijoitus antaa samat epämääräiset muodot kuin edellisessä kohdassa. Samaan tapaan supistetaan nimittäjän termillä, joka on korkeinta astetta eli nyt termillä \(x^2\). Tässä merkitään raja-arvoa toisella mahdollisella tavalla.

    \[\frac{-x^3+2x^2+9}{7x^2+2x-1}=\frac{-x+2+\frac{9}{x^2}}{7+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}\to\frac{-\infty+2+0}{7+0-0}=\frac{-\infty}{7}=-\infty\text{, kun } x\to\infty.\]

  4. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon \(\frac{\infty}{\infty}\). Otetaan nimittäjän juurrettavassa yhteiseksi tekijäksi \(x^2\), \(x>0\), jolloin

    \[\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\abs{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.\]

    Siispä

    \[\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ \mathop{=}^{x>0}\ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1.\]

  5. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon \(\infty-\infty\). Juurifunktioiden tapauksessa voidaan välillä hyödyntää summan ja erotuksen tuloa \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).Nimittäin

    \[\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\big)\big(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\big) = \big(\sqrt{x+1}\big)^2-\big(\sqrt{x}\big)^2 = x+1-x = 1.\]

    Laventamalla nyt lausekkeella \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\) saadaan

    \[\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\big)\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to\frac{1}{\infty}=0 \text{, kun } x\to\infty.\]

    Tämä tekniikka tulee vastaan myös kompleksilukujen yhteydessä, jolloin sitä kutsutaan liittolukulavennukseksi.

Pohditaan hieman tarkemmin muutamia yllä olleista esimerkeistä.

Yksikäsitteistä raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to\infty} \sin{x}\) ei ole olemassa, koska
Arkustangentin raja-arvo \(\lim\limits_{x\to\infty}\arctan{x} = \frac{\pi}{2}\), koska (vihje: tangenttifunktion kuvaaja)
Mikä seuraavista on oikein päätelty? Raja-arvo \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
Mitä on \(\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)?
Palautusta lähetetään...