\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Toisen asteen polynomifunktio

Määritelmä 1.4.1

Toisen asteen polynomifunktio on muotoa \(f\left( x \right) = ax^2 + bx + c\), missä \(a\), \(b\) ja \(c\) ovat vakioita sekä \(a \neq 0\).

Tälle riippuvuudelle ovat ominaisia seuraavat ominaisuudet.

• Kuvaajana on paraabeli, jonka symmetria-akselina \(y\)-akselin suuntainen huipun kautta kulkeva suora.
• Kerroin \(a\) vaikuttaa aukeamissuuntaan ja jyrkkyyteen seuraavasti.
  • Jos \(a > 0\), niin paraabeli aukeaa ylöspäin.
  • Jos \(a < 0\), niin paraabeli aukeaa alaspäin.
  • Jos \(\abs{a}\) on pieni, niin paraabeli on leveä.
  • Jos \(\abs{a}\) on suuri, niin paraabeli on kapea.
• Vakio \(c\) ilmoitaa \(y\)-akselin leikkauskohdan.
• Vakio \(b\) vaikuttaa symetria akselin paikkaan, mutta ei kerro sitä suoraan. Huipun \(x\)-koordinaatti saadaan lausekkeesta \(x_h = - \frac{b}{2a}\).
• Huippu on aina kahden symmetriapisteen puolivälissä.

Esimerkki 1.4.2

Paraabeli muotoa \(f\left( x \right) = ax^2 + bx + c\), missä \(a \neq 0\), on seuraavanlainen.

Paraabeli \(y = g\left( x \right)\) avautuu ylöspäin, koska kerroin \(a = \num{0,5} > 0\). Vastaavasti paraabeli \(y = f\left( x \right)\) avautuu alaspäin, koska kerroin \(a = -1 < 0\).

Erikoistapauksessa \(f\left( x \right) = ax^2 + c\), missä \(a \neq 0\), paraabelin symmetria-akseli on \(y\)-akseli.

Erikoistapauksessa \(f\left( x \right) = ax^2 + bx\), missä \(a \neq 0\), paraabelin kuvaaja kulkee origon kautta.

Aiemmin todettiin, että toisen asteen yhtälöllä \(ax^2 + bx + c\) on kaksi, yksi tai ei yhtään ratkaisua. Toisen asteen yhtälön ratkaisujen graafinen tulkinta liittyy paraabelin nollakohtiin. Jos yhtälöllä on kaksi ratkaisua, niin paraabeli leikkaa \(x\)-akselin näissä kohdissa. Jos yhtälöllä on yksi ratkaisu, niin vastaava paraabeli sivuaa \(x\)-akselia. Mikäli yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisua, niin paraabeli ei kohtaa \(x\)-akselia lainkaan. Silloin kun nollakohtia on kaksi, paraabelin huipun \(x\)-koordinaatti on näiden puolivälissä.

Paraabelia piirrettäessä on oltava hiukan huolellisempi kuin suoraa piirrettäessä.

1. Selvitä ensin paraabelin aukeamissuunta, mahdolliset nollakohdat sekä huipun koordinaatit.
2. Laske muutamia lisäpisteitä ja käytä piirtämiessä hyödyksi kuvaajan symmetiraa.

Esimerkki 1.4.3

Piirrä funktion \(y = -\num{0.15}x^2 + \num{6.75}x\) kuvaaja.

Ratkaisu

Selvitetään vaiheittain polynomin ominaisuuksia.

1. Yhtälöstä nähdään, että kuvaajana on alaspäin avautuva paraabeli, joka kulkee origon kautta.

2. Paraabelin nollakohdiksi saadaan

   \[- \num{0.15} x^2 + \num{6.75} x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \left( \num{0.15}x + \num{6.75} \right) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = 0 \quad \text{tai} \quad x \frac{\num{6.75}}{\num{0.15}} = 45.\]

3. Määritetään huippu, joka tässä tapauksessa löytyy nollakohtien välistä

   \[\begin{split}\begin{cases} x_h = \frac{0 + 45}{2} = \num{22.5} \\ y_h = - \num{0.15} \cdot \num{22.5}^2 + \num{6.75} \cdot \num{22.5} = \num[input-protect-tokens=\dots]{75.9375\ldots} \approx \num{75.9}. \end{cases}\end{split}\]

4. Kuvaajan piirtämistä varten lasketaan vielä muutama lisäpiste ja käytetään hyödyksi kuvaajan symmetriaa.

Paraabelin hyödyntäminen ääriarvotehtävissä

Tehtävää, jossa pitää selvittää jonkin suureen suurin tai pienin arvo, kutsutaan ääriarvotehtäviksi. ääriarvotehtävien ratkaisussa tarvitaan useimmiten derivaatan käsitettä, mutta joitakin tehtäviä voidaan ratkaista hyödyntämällä tunnettujen funktioiden ominaisuuksia. Esimerkiksi, jos suureen riippuvuutta kuvaa paraabeli ääriarvot useimmiten löytyvät paraabelin huipusta.

Esimerkki 1.4.4

On käytettävissä \(67\) metriä aitaa, jolla halutaan rajata pinta-alaltaan mahdollisimman suuri suorakulmion muotoinen ja yhdeltä sivultaa teollisuushallin seinään rajoittuva varastoalue. Miten suorakulmion sivujen pituudet on valittava?

Ratkaisu

Piirretään tilannetta selventävä kuva.

Merkitään seinää kohtisuorassa olevaa alueen sivun pituutta muuttujalla \(x\). Tällöin seinän suuntaisen sivun pituus on \(\SI[input-protect-tokens=\dots]{67}{\metre} - 2x\). Aidatun alueen pinta-ala \(A\) sivun pituuden \(x\) funktiona on

\[A\left( x \right) = x\cdot \left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{67}{\metre} - 2x \right) = -2x^2 + \SI[input-protect-tokens=\dots]{67}{\metre} \cdot x.\]

Funktiolausekkeesta nähdään, että pinta-alan \(A\) riippuvuutta sivun \(x\) pituudesta kuvaa alaspäin avautuva paraabeli. Näin ollen pinta-alan suurin arvo löytyy paraabelin huipusta. Pinta-ala on suurimmillaan, kun muuttujan \(x\) arvoksi valitaan paraabelin huipun \(x\)-koordinaatti ja suurimman pinta-alan kertoo huipun \(A\)-koordinaatti. Näin ollen määritetään paraabelin huipun \(x\)-koordinaatti.

Tapa 1 (nollakohtien avulla): Ratkaistaan paraabelin nollakohdat, huippu löytyy nollakohtien välistä. Saadaan siis

\[\begin{split}\begin{aligned} A\left( x \right) = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad x\cdot \left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{67}{\metre} - 2x \right) = 0 \\ &\Leftrightarrow \quad x = 0 \quad \text{tai} \quad \SI[input-protect-tokens=\dots]{67}{\metre} -2x = 0 \\ &\Leftrightarrow \quad x = 0 \quad \text{tai} \quad x = \SI[input-protect-tokens=\dots]{33.5}{\metre}. \end{aligned}\end{split}\]

Siis

\[x_h = \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{33.5}{\metre} + \SI[input-protect-tokens=\dots]{0}{\metre}}{2} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{16.75}{\metre}.\]

Tapa 2 (käytetään valmista huipun \(x\)-koordinaatin kaavaa): Hyödynnetään siis aikaisemmin todettua huipun \(x\)-koordinaatin kaava sijoittamalla

\[x_h = - \frac{b}{2a} = - \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{67}{\metre}}{2 \cdot \left( -2 \right) } = \SI[input-protect-tokens=\dots]{16.75}{\metre}.\]

Molemmissa tapauksissa suurin pinta-ala saadaan sijoittamalla huipun \(x\)-koordinaatti pinta-alan lausekkeeseen

\[A_h\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{16.75}{\metre} \right) = -2 \cdot \left( 16.75 \right)^2 + \SI[input-protect-tokens=\dots]{67}{\metre}\cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{16.75}{\metre} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{561.125}{\metre\squared}.\]

Siis alueen pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun vastaan kohtisuoran sivun pituus on \(\SI[input-protect-tokens=\dots]{16.75}{\metre}\) ja hallin suuntaisen sivun pituus on \(\SI[input-protect-tokens=\dots]{67}{\metre} - 2\cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{16.75}{\metre} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{33.50}{\metre}\). Alueen ala on tällöin \(\SI[input-protect-tokens=\dots]{16.75}{\metre} \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{33.50}{\metre} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{561.125}{\metre\squared} \approx \SI[input-protect-tokens=\dots]{561}{\metre\squared}\).

Palautusta lähetetään...