$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Polynomi- ja rationaalifunktiot

Määritelmä 1.5.1

Asteen $n$ polynomifunktio (polynomial function) on muotoa

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$$

missä reaaliset kertoimet (coefficients) $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n$ ovat vakioita ja $a_n\ne0$. Jos aste $n = 0$, polynomifunktiota $f(x) = a_0$ kutsutaan myös vakiofunktioksi. Nollafunktio on vakiofunktio $f(x) = 0$.

Reaaliluku $x$ on funktion $f$ nollakohta (zero), jos $f(x)=0$. Voidaan osoittaa, että asteen $n$ reaalikertoimisella polynomifunktiolla on korkeintaan $n$ reaalista nollakohtaa. Huomaa, että nollannen asteen polynomifunktio on $f(x) = a_0 \not= 0$. Kompleksilukujen käsittelyn yhteydessä polynomien määritelmää laajennetaan kattamaan kompleksiset kertoimet ja syötteet. Tällöin nollakohtia on aina täsmälleen $n$ kappaletta.

Esimerkki 1.5.2

Funktio $f(x)=-5x^3+3x-7$ on $3$. asteen polynomifunktio, jonka kertoimet ovat $a_3=-5$, $a_2=0$, $a_1=3$ ja $a_0=-7$.

Reaalisten polynomifunktioiden nollakohtien lukumäärää havainnollistetaan seuraavissa kuvissa. Kolmannen asteen polynomifunktiolla voi olla $1$, $2$ tai $3$ nollakohtaa, kun taas neljännen asteen polynomfunktiolla voi olla $0$, $1$, $2$, $3$ tai $4$ nollakohtaa. Yleisemminkin parittoman asteen polynomifunktioilla on aina vähintään yksi reaalinen nollakohta.

Polynomifunktioiden osamäärät muodostavat oman alkeisfunktioiden luokan.

Määritelmä 1.5.3

Rationaalifunktio (rational function) on muotoa

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},$$

missä $g$ ja $h$ ovat polynomifunktioita. Funktio $f$ on määritelty silloin, kun nimittäjä $h(x) \not= 0$.

Esimerkki 1.5.4

Piirretään rationaalifunktion $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x^2-x-2}{x^2+x-2}$ kuvaaja.

Kiinnitä huomiota nimittäjän nollakohtien $x=-2$ ja $x=1$ ympäristöihin.

Tästä tehtävästä on sinulle eniten hyötyä, jos mietit kysymyksiä ensin ilman, että piirrät kuvaajaa. Kuvaajan saat toki piirtää siinä vaiheessa, kun tunnet siihen tarvetta.

Tarkastellaan rationaalifunktiota

$$f(x)=\frac{(x-1)^2(x+3)}{(x-1)(x+1)(x+2)}.$$

Question 1

Valitse kaikki arvot $x$, joilla funktio $f$ ei ole määritelty.

$-3$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$3$

Question 2

Valitse kaikki arvot $x$, joilla $f(x)=0$.

$-3$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$3$

Question 3

Valitse kaikkien niiden pystysuorien yhtälöt, jotka ovat funktion $f$ asymptootteja.

$x=-3$

$x=-2$

$x=-1$

$x=0$

$x=1$

$x=2$

$x=3$

Palautusta lähetetään...