- MATH.APP.120
- 1. Alkeisfunktiot
- 1.6 Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot
Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot¶
Tutkitaan \(r\)-säteisen ympyrän sektoria, jonka kaaren pituus on \(s\). Sektorin kulma (angle) \(\theta\) mitataan kaaren pituuden suhteena säteeseen.
Karteesisen koordinaatiston origokeskistä \(1\)-säteistä ympyrää \(x^2 + y^2 = 1\) kutsutaan yksikköympyräksi (unit circle). Suunnatun kulman (directed angle) \(\theta\) rajaaman sektorin toinen kylki on positiivisella \(x\)-akselilla, ja toiselle kyljelle päästään kulkemalla yksikköympyrää vastapäivään, jos \(\theta>0\), ja myötäpäivään, jos \(\theta < 0\).
Koska \(r\)-säteisen ympyrän kaaren pituus on \(2\pi r\), yksikköympyrälle se on \(2\pi\), ja täten kulma \(\theta = 2\pi\) tarkoittaa kokonaista kierrosta yksikköympyrällä vastapäivään. Puoli kierrosta vastapäivään on siis \(\pi\) ja neljänneskierros myötäpäivään \(-\frac{\pi}{2}\). Jos \(\theta>2\pi\) tai \(\theta<-2\pi\), niin ajatellaan kierretyn useampia kierroksia. Kulmat \(\theta\), \(\theta + 2\pi\), \(\theta - 2\pi\) ja yleisemmin \(\theta + n2\pi\), missä \(n\) on kokonaisluku, ovat eri kulmia, mutta vastaavat samaa yksikköympyrän kehän pistettä.
Edellä määritellyn mukaisesti kulma on yksikötön suure, mutta toisinaan selvyyden vuoksi käytetään yksikkönä radiaania (radian). Tällöin yksi kierros yksikköympyrää vastapäivään on \(2\pi\) rad. Kulman yksikkönä käytetään myös astetta (degree), jolloin samanlainen kierros on \(360^\circ\). Niinpä
Seuraavaan on taulukoitu hyödyllisimpiä vastaavuuksia, jotka olisi syytä muistaa tai pystyä päättelemään.
Määritelmä 1.6.1
Merkitään yksikköympyrässä kulmaa \(\theta\) vastaavaa kehäpistettä \((x,y)\). Trigonometriset funktiot sini (sine), kosini (cosine) ja tangentti (tangent) määritellään säännöillä
missä tangentti on määritelty vain, jos \(\cos(\theta) = x \not= 0\). Jos sekaantumisen vaaraa ei ole, niin voidaan merkitä myös \(\sin(\theta) = \sin\theta\), \(\cos(\theta) = \cos\theta\) ja \(\tan(\theta) = \tan\theta\).
Trigonometriset funktiot siis eräällä tavalla muuntavat yksikköympyrän suunnatun kulman vastaavaksi kehäpisteeksi. Jos kulma on \(\theta\), niin \(\sin(\theta)\) on vastaavan kehäpisteen \(y\)-koordinaatti ja \(\cos(\theta)\) \(x\)-koordinaatti. Luvun \(\tan(\theta)\) tulkinta on yksikköympyrän pisteeseen \((1, 0)\) tai \((-1, 0)\) piirretyn tangenttisuoran ja kulman \(\theta\) toisen kyljen jatkeen leikkauspisteen \(y\)-koordinaatti.
Yksikköympyrästä päätellään sinin ja kosinin nollakohdat.
kun \(n\) on mielivaltainen kokonaisluku. Koska \(\tan\theta\) on määritelty vain silloin, kun \(\cos\theta \not= 0\), niin tangentin määrittelyehto on \(\theta \not= \frac{\pi}{2} + n\pi\), missä \(n\) on kokonaisluku. Tangentin nollakohdat ovat samat kuin sinin nollakohdat.
Koska yksikköympyrän yhtälö on \(x^2 + y^2 = 1\) ja sen kehäpiste \((\cos\theta, \sin\theta)\), niin saadaan trigonometrian peruskaava
missä potenssimerkinnöillä tarkoitetaan lukuja \((\cos(\theta))^2\) ja \((\sin(\theta))^2\).
Koulutrigonometriassa sini, kosini ja tangentti määritellään suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituuksien suhteina.
Aiemmin esitetty yksikköympyrämääritelmä laajentaa trigonometriset funktiot kattamaan kaikki reaaliarvoiset suunnatut kulmat. Joitakin trigonometristen funktioiden arvoja välillä \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) voidaan edelleen päätellä muistikolmioista.
Jos kulma ei ole välillä \(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\), niin trigonometrisen funktion arvon laskeminen voidaan palauttaa tälle välille seuraavien palautuskaavojen avulla.
- \(\sin(\theta + n2\pi) = \sin\theta\), \(\cos(\theta + n2\pi) = \cos\theta\) ja \(\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta\), kun \(n\) on kokonaisluku
- \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) ja \(\cos(-\theta) = \cos\theta\)
- \(\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta\) ja \(\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta\)
- \(\cos\theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\) ja \(\sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\)
Kaavat voidaan päätellä yksikköympyrästä, sillä esimerkiksi
- kulmia \(\theta\) ja \(\theta+n2\pi\) vastaa samaa kehäpiste ja
- kulmia \(\theta\) ja \(-\theta\) vastaavilla kehäpisteillä on sama \(x\)-koordinaatti mutta \(y\)-koordinaatit ovat toistensa vastalukuja.
Keskustelun selkeyttämiseksi \(xy\)-taso jaetaan neljään koordinaattineljännekseen.
Trigonometristen funktioiden merkit eri koordinaattineljänneksiin osuvilla kulmilla voidaan nyt koota seuraaviksi kaavioiksi.
Esimerkki 1.6.2
Laske \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\).
Kulma \(\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}\) on toisessa koordinaattineljänneksessä, jolloin sen kosinin laskeminen palautuu ensimmäiseen neljännekseen ja muistikolmioon palautuskaavojen avulla seuraavasti:
Vaihtoehtoinen tapa on piirtää suorakulmainen kolmio yksikköympyrän toiseen neljännekseen ja päätellä palauttaminen kulmaan \(\frac{\pi}{3}\) suoraan siitä.
Esimerkki 1.6.3
Ratkaise yhtälö \(3\sin^2 x-\cos^2x=2\), kun \(0 \leq x \leq \pi\).
Koska \(\cos^2x=1-\sin^2x\), niin yhtälö saadaan muotoon
Koska halutaan, että \(0 \leq x \leq \pi\), niin rajoitutaan \(xy\)-tason ensimmäiseen ja toiseen neljännekseen, joissa sini on ei-negatiivinen. Täten riittää riittää hakea yhtälön \(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) kaikki ratkaisut tällä välillä. Siis \(x=\frac{\pi}{3}\) tai \(x=\frac{2\pi}{3}\).
Palautuskaavojen mukaan trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, eli ne toistavat samat arvot säännöllisin välein. Sinin ja kosinin jakso on \(2\pi\) ja tangentin jakso on \(\pi\). Yksikköympyrän kehäpisteiden koordinaatit voidaan kääntää trigonometristen funktioiden kuvaajiksi.
Palautuskaavoilla \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) ja \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) on erityinen merkitys.
Määritelmä 1.6.4
Funktio \(f\) on parillinen, jos \(f(-x)=f(x)\), ja pariton, jos \(f(-x)=-f(x)\) aina kun \(f(x)\) ja \(f(-x)\) on määritelty.
Geometrisesti parillisuus tarkoittaa sitä, että funktion kuvaaja on peilisymmetrinen \(y\)-akselin suhteen, ja parittomuus sitä, että kuvaaja on kiertosymmetrinen origon suhteen. Esimerkiksi \(\cos x\), \(1\), \(x^2\), \(x^4\) ja \(x^6\) ovat parillisia funktioita, kun taas \(\sin x\), \(\tan x\), \(x\), \(x^3\) ja \(x^5\) ovat parittomia funktioita. Valittu funktio ei yleensä ole parillinen eikä pariton.
Esimerkki 1.6.5
- Osoita, että \(f(x)=x^2\sin x\) on pariton.
- Onko \(f(x)=(x+1)^2\) parillinen tai pariton?
Suoralla laskulla nähdään, että
\[f(-x) = (-x)^2\sin(-x) = x^2(-\sin x) = -x^2\sin x = -f(x),\]joten \(f\) on pariton funktio.
Koska \(f(-1) = 0\) ja \(f(1) = 4\), niin funktio \(f\) ei ole parillinen eikä pariton.
Seuraavat sinin ja kosinin summakaavat ovat ratkaisevan tärkeitä myöhemmin kompleksilukujen käsittelyssä.
Lause 1.6.6
\(\sin(\theta + \varphi) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi\qquad\) ja \(\qquad\cos(\theta + \varphi) = \cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi\).
Todistetaan sinin summakaava geometrisesti silloin, kun \(\theta\), \(\varphi\) ja \(\theta+\varphi\) sijaitsevat ensimmäisessä neljänneksessä. Piirretään avuksi kuva.
Lasketaan siis kulmaa \(\theta + \varphi\) vastaavan kehäpisteen \(y\)-koordinaatti. Piirretään tästä kehäpisteestä kohtisuora jana kulman \(\theta\) vasemmalle kyljelle, sekä \(x\)-akselin suuntainen suora niiden leikkauspisteen kautta. Piirretään vielä kulman \(\theta + \varphi\) kehäpisteeltä kohtisuora jana tälle suoralle. Kuvan mukaisesti muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden hypotenuusien pituudet ovat \(\sin\varphi\) ja \(\cos\varphi\), sekä toinen terävistä kulmista \(\theta\). Tällöin halutun kehäpisteen \(y\)-koordinaatti on kahden kateetin pituuden summana
Muita kuin ensimmäisen neljänneksen tapauksia varten voidaan soveltaa palautuskaavoja, kunnes edellämainitut ehdot toteutuvat, ja näin todistus laajenee kaikille kulmille \(\theta\) ja \(\varphi\). Kosinin summakaava todistuu vastaavasti.
Summakaavojen, palautuskaavojen ja peruskaavan avulla voidaan johtaa lukuisa määrä taulukkokirjoissa lueteltuja trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja, kuten kaksoiskulmakaavat
ja niiden johdannaiset
Lisäksi kulmien \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\) ja \(\frac{\pi}{6}\) yhdistelmien sinin ja kosinin tarkkoja arvoja voidaan laskea summakaavojen avulla.
Esimerkki 1.6.7
Laske kulman \(15^{\circ}\) sinin, kosinin ja tangentin tarkat arvot.
Nähdään, että \(15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\) radiaania. Täten
Joskus sinin, kosinin ja tangentin käänteisluvuille käytetään nimityksiä kosekantti, sekantti ja kotangentti, ja merkitään
Näiden avulla monimutkaisia trigonometrisia lausekkeita voidaan ilmaista lyhyemmin.
Jos sini ja kosini muuntavat kulman yksikköympyrän kehäpisteen koordinaateiksi, niin voidaanko tämä kääntää ympäri? Onko mahdollista määrittää kulma kehäpisteen koordinaatista?
Määritelmä 1.6.8
Merkitään yksikköympyrässä kulmaa \(\theta\) vastaavaa kehäpistettä \((x, y)\). Arkusfunktiot arkussini, arkuskosini ja arkustangentti määritellään säännöillä
missä arkustangentti on määritelty vain, jos \(x \not= 0\). Näistä funktioista käytetään joskus myös merkintöjä \(\arcsin = \sin^{-1}\), \(\arccos = \cos^{-1}\) ja \(\arctan = \tan^{-1}\), joita ei tule sekoittaa potenssiin \(-1\).
Jos tiedetään vaikkapa yksikköympyrän kehäpisteen \(x\)-koordinaatti, niin \(y\)-koordinaatille on kaksi mahdollista vaihtoehtoa, \(y = \pm\sqrt{1 - x^2}\). Täten myös arkuskosinin arvolle on kaksi mahdollista vaihtoehtoa! Vastaavasti kuin juurifunktion määritelmässä, sovitaan että arkuskosinin arvoksi asetetaan ei-negatiivinen. Arkussinin ja arkustangentin tapauksissa sovitaan, että niiden arvo sijoittuu aina kulmien \(-\frac{\pi}{2}\) ja \(\frac{\pi}{2}\) väliin.
Koska arkussini ja arkuskosini kuvaavat yksikköympyrän kehäpisteen koordinaatit kulmalle, niin niiden syötteen täytyy aina olla lukujen \(-1\) ja \(1\) välissä! Esimerkiksi lukua \(\arcsin(\pi)\) ei ole määritelty. Arkustangentin tapauksessa tällaista rajoitusta ei ole, sillä kehäpisteiden koordinaattien suhde \(\frac{y}{x}\) käy läpi kaikki reaaliset arvot. Seuraavassa on esitetty kunkin arkusfunktion kuvaaja.
Laskuissa toisiaan vastaavat trigonometriset ja arkusfunktiot kumoavat toisensa, kunhan molemmat on määritelty, eli esimerkiksi
silloin, kun \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\) ja \(-1 \leq y \leq 1\). Kirjoita vastaavat tulokset kosinille ja tangentille!
Esimerkki 1.6.9
Laske \(\arcsin\left(\dfrac12\right)\), \(\arcsin\left(-\dfrac12\right)\) ja \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\).
On siis löydettävä sellaiset kulmat, joiden sini tai kosini on mainittu luku. Muistikolmiosta nähdään, että
Merkitään \(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = x\) ja otetaan sini molemmin puolin. Tällöin
joten \(\frac{1}{2} = -\sin(x) = \sin(-x)\) ja edelleen
Siis edellisen laskun nojalla \(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}\). Vastaavasti viimeistä varten muistetaan, että \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), joten
ja \(\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}\).