4.3.1 Tehtävä 1 | MATH.APP.120 Differentiaali- ja integraalilaskennan perusteet

Edellisessä esimerkissä todistettiin, että

\[e = \displaystyle \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x.\]

Mietitään vielä vähän perusteluita todistuksen osille.

Todistuksen alkupuolella esitetään matemaattisten merkkien rivi, tai pikemminkin kolme riviä, joilla lauseketta \(\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\) on muokattu erilaiseen muotoon. Jokaisen kolmen yhtäsuuruusmerkin kohdalla käytetään yhtä laskusääntöä. Valitse ne kolme sääntöä, jotka ovat tämän muokkauksen aikana käytössä.

Kysymys 1 1 piste Ensimmäinen yhtäsuuruus pätee, sillä mille tahansa kääntyvälle funktiolle

funktion ja sen käänteisfunktion yhdistetty funktio palauttaa sen arvon, joka sisäfunktioon syötettiin,

funktion ja sen käänteisfunktion tulo palauttaa sen arvon, joka ensimmäiseen tulon tekijään syötettiin,

funktion ja sen käänteisfunktion tulo palauttaa sen arvon, joka jälkimmäiseen tulon tekijään syötettiin.

Kysymys 2 1 piste Toinen yhtäsuuruus pätee, sillä raja-arvo yhdistetystä funktiosta on sama kuin

sisäfunktion raja-arvon ja ulkofunktion raja-arvon tulo,

sisäfunktion arvo otettuna pisteessä, joka on ulkofunktion raja-arvo,

ulkofunktion arvo otettuna pisteessä, joka on sisäfunktion raja-arvo.

Kysymys 3 1 piste Kolmas yhtäsuuruus pätee, sillä

logaritmi potenssifunktiosta on eksponentti kertaa logaritmi kantaluvusta,

logaritmi eksponenttifunktiosta on kantaluku kertaa logaritmi potenssista,

logaritmi kantalukufunktiosta on potenssi kertaa logaritmi kantaluvusta.

Todistuksen keskellä on matemaattisten merkkien rivi, jolla tehdään muuttujanvaihto \(h=\frac{1}{x}\). Siinä yhteydessä viimeisen yhtäsuuruusmerkin jälkeen nolla on muutettu muotoon \(\ln(1)\).

Kysymys 4 1 piste Mikä seuraavista kysymyksistä tuottaa aina saman vastauksen kuin kysymys “Mikä on logaritmi luvusta \(x\)“?

Mihin potenssiin on luku \(x\) korotettava, jotta saadaan tulokseksi \(e\)?

Mihin potenssiin on luku \(e\) korotettava, jotta saadaan tulokseksi \(x\)?

Mihin potenssiin on luonnollinen logaritmi korotettava, jotta saadaan tulokseksi \(e^x\)?

Kysymys 5 1 piste

Millä perusteella todistuksen toiseksi viimeisellä matemaattisten merkkien rivillä on voimassa yhtälö

\[\lim_{h\to 0} \frac{\ln(1+h)-\ln{1}}{h} = \frac{1}{1}?\]

Koska siinä lasketaan logaritmifunktion raja-arvo pisteessä \(1\).

Koska siinä lasketaan logaritmifunktion derivaatta pisteessä \(1\).

Koska siinä lasketaan logaritmifunktion erotusosamäärä pisteessä \(1\).

Tehtävä 1

Tehtävän tiedot