\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Lineaarinen approksimaatio¶

Määritelmän mukaan pisteessä \(a\) derivoituvalle funktiolle \(f\) derivaatta

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

eli toisin kirjoitettuna

\[\lim_{h\to0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right)=0.\]

Merkitään sulkulauseketta parametrista \(h\) riippuvalla luvulla \(\varepsilon(h)\),

\[\varepsilon(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a),\]

ja ratkaistaan tästä \(f(a+h)\).

\[\underbrace{f(a+h)}_{\text{tarkka arvo}}=\underbrace{f(a)+f'(a)h}_{\text{arvio}}+\underbrace{h\varepsilon(h)}_{\text{virhe}},\]

missä \(\varepsilon(h)\) on funktio, jolle \(\varepsilon(h)\to0\), kun \(h\to0\). Tätä esitystä kutsutaan funktion \(f\) differentiaalikehitelmäksi pisteessä \(a\). Päättely voidaan kääntää myös toiseen suuntaan, eli differentiaalikehitelmästä seuraa derivoituvuus.

Lause 4.4.1

Funktio \(f : (c,d)\to\R\) on derivoituva pisteessä \(a\in(c,d)\) jos ja vain jos on löydetään sellainen reaaliluku \(A\) ja funktio \(\varepsilon : \R\to\R\), että \(\lim\limits_{h\to0}\varepsilon(h)=0\) ja

\[f(a+h)=f(a)+Ah+h\varepsilon(h)\]

kaikilla (itseisarvoltaan pienillä) reaaliluvuilla \(h\in\R\). Tämän toteutuessa \(A=f'(a)\).

Jättämällä virhetermin \(h\varepsilon(h)\) pois funktion \(f\) differentiaalikehitelmästä saadaan arvio funktion arvolle pisteessä \(a + h\).

\[f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h,\]

tai merkitsemällä \(x=a+h\)

\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).\]

Tässä oikean puolen lauseke

\[T(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\]

määrittelee funktion, jonka kuvaaja on funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \((a,f(a))\) piirretty tangenttisuora (vertaa aiempaan yhtälöön). Funktiota \(T(x)\) kutsutaan funktion \(f\) lineaariseksi approksimaatioksi (arvioksi), tangenttiapproksimaatioksi ja linearisoinniksi pisteessä \(a\). Lineaarisessa arviossa \(f(x) \approx T(x)\) tehty virhe on

\[f(x)-T(x)=h\epsilon(h),\]

ja virhe suhteessa etäisyyteen \(h\) pisteestä \(a\) on

\[\frac{h\epsilon(h)}{h}=\epsilon(h)\to0,\]

kun \(h \to 0\). Lähellä pistettä \(a\) approksimaation virhe on siis suhteellisesti hyvin pieni ja funktion \(f\) kuvaaja näyttää likimain tangenttisuoraltaan \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\).

../_images/derivaattalineaarinenapproksimaatio.svg

Nimitys “lineaarinen arvio” juontuu siitä, että funktio \(L : \R\to\R\), \(L(h)=f'(a)h\) on lineaarinen, ja siitä että arvio voidaan kirjoittaa vakion ja lineaarikuvauksen summana \(f(a+h)\approx f(a)+L(h)\).

Esimerkki 4.4.2

Arvioi lukua \(\displaystyle\sqrt{4{,}3}\) sopivalla lineaarisella approksimaatiolla.

Ratkaisu

Käytetään funktion \(f(x)=\sqrt{x}\) lineaarista arviota pisteessä \(4\). Idea on, että funktioiden \(f\) ja \(f'\) arvot on helppo laskea pisteessä \(4\), ja niitä käyttäen saadaan yksinkertainen arvio funktion \(f\) arvolle pisteessä \(4{,}3=4+0{,}3\). Nyt \(f'(x)=(2\sqrt{x})^{-1}\), joten \(f(4) = 2\) ja \(f'(4)=\frac{1}{4}\), ja edelleen

\[\sqrt{4{,}3}=f(4+0{,}3)\approx f(4)+f'(4)\cdot(4{,}3-4)=2+\frac14\cdot0{,}3=2{,}075.\]

Vertaamalla tätä laskimen antamaan tarkempaan likiarvoon \(\sqrt{4{,}3}\approx2{,}073644135\) nähdään, että lineaarisen approksimaation kaksi ensimmäistä desimaalia ovat oikein.

Lineaarinen approksimaatio¶

Virhetarkastelu suhteellisen virheen kautta¶