\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Ääriarvot ja funktion kulku

Derivaatan tärkein sovellus matematiikassa on funktion kuvaajan kulun tutkiminen. Piirteitä, joista ollaan kiinnostuneita, ovat erityisesti funktion kasvavuus tai vähenevyys kysytyillä väleillä, sekä niiden pisteiden sijainnit joissa funktio saa muita pisteitä suurempia tai pienempiä arvoja.

Määritelmä 4.6.1

Reaalifunktiolla \(f : A\to\R\) on määrittelyjoukon \(A\) pisteessä \(c\)

• (globaali) maksimi, jos \(f(x)\le f(c)\) kaikilla \(x\in A\),
• (globaali) minimi, jos \(f(x)\ge f(c)\) kaikilla \(x\in A\),
• lokaali maksimi, jos on olemassa pisteen \(c\) sellainen ympäristö \(I\), että \(f(x)\le f(c)\) kaikilla \(x\in I\cap A\),
• lokaali minimi, jos on olemassa pisteen \(c\) sellainen ympäristö \(I\), että \(f(x)\ge f(c)\) kaikilla \(x\in I\cap A\).

Pistettä \(c\) kutsutaan ääriarvopisteeksi (minimipisteeksi tai maksimipisteeksi) ja arvoa \(f(c)\) ääriarvoksi (minimiarvoksi tai maksimiarvoksi). Funktion \(f\) globaalia maksimiarvoa joukossa \(A\) merkitään \(\max_Af\) tai \(\max f\) ja minimiarvoa \(\min_Af\) tai \(\min f\).

Miten yllä olevaa määritelmää pitää tulkita? Vastaa seuraaviin kysymyksiin.

Question 1

Mitä termillä globaali minimi tarkoitetaan määritelmän mukaan?

Maailmanlaajuisesti pienintä funktion arvoa.

Pienintä määrittelyjoukon pistettä.

Pienintä funktion arvoa, joka saadaan määrittelyjoukon pisteitä sijoittaessa.

Pienintä funktion raja-arvoa, joka saadaan määrittelyjoukon pisteitä lähestyttäessä.

Question 2

Mikä seuraavista kuvaa parhaiten termiä lokaali minimi?

pienin funktion arvo paikallisesti

pienin funktion arvo määrittelyjoukossa

pienin funktion arvo määrittelyjoukon ympäristössä

pienin määrittelyjoukon piste

Question 3

Mikä seuraavista väitteistä on tosi jonkin funktion \(f\) minimeille?

Globaali minimi on aina myös lokaali minimi.

Lokaali minimi on aina myös globaali minimi.

Globaali minimi ei ole koskaan lokaali minimi.

Lokaali minimi ei ole koskaan globaali minimi.

Question 4

Jos on olemassa piste \(c\), joka on samanaikaisesti funktion \(f : \R \to \R\) globaali minimipiste ja globaali maksimipiste, niin mikä seuraavista on funktion kuvaaja?

ylöspäin aukeava paraabeli

alaspäin aukeava paraabeli

vaakasuora

pystysuora

kalteva suora

ympyrä

ei mikään edellisistä, koska tällaista pistettä \(c\) ei voi olla olemassa

Tyypillisesti tarkastelujoukko on suljettu ja rajoitettu väli, eli \(A=[a,b]\).

Kertauksena funktion kulkuun liittyvät käsitteet. Olkoon \(f \colon A\to\R\) reaalifunktio. Jos kaikilla joukon \(A\) alkioilla \(x\) ja \(y\)

• \(x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)\), niin \(f\) on kasvava,
• \(x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\), niin \(f\) on aidosti kasvava,
• \(x<y\Rightarrow f(x)\ge f(y)\), niin \(f\) on vähenevä,
• \(x<y\Rightarrow f(x)>f(y)\), niin \(f\) on aidosti vähenevä.

Funktiota, joka on kasvava tai vähenevä, sanotaan monotoniseksi. Vastaavasti aidosti kasvavaa tai aidosti vähenevää funktiota sanotaan aidosti monotoniseksi.

Monotonisen funktion kuvaaja ei vaihda suuntaa, vaan etenee aina yleisesti ottaen ylös- tai alaspäin. Aidosti monotonisen funktion kuvaaja ei tämän lisäksi koskaan etene vaakasuuntaisesti.

Derivaatan avulla nähdään seuraavia asioita funktion kulusta eli käyrän muodosta. Jätetään ne toistaiseksi implisiittiseksi ja käydään ne yksitellen monisteen edetessä. Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja \(x \in [a,b]\). Tällöin

• funktio on aidosti kasvava kun \(f'\left( x \right) > 0\),
• funktio on aidosti vähenevä kun \(f'\left( x \right) < 0\),
• ääriarvopisteissä \(f'\left( x \right) = 0\) ja derivaatan merkki muuttuu,
• “terassipisteissä” \(f'\left( x \right) = 0\) ja derivaatan merkki ei muutu,
• “kärkipisteissä” tai missä tangetti on pystysuora :math:`f’left( x right) ` ei ole olemassa,
• lokaalit ääriarvokohdat ovat kohdissa, joissa derivaatan merkki muuttuu ja funktio on jatkuva kyseisessä pisteessä.

Otetaan seuraava, varsin intuitiivinen ääriarvolause käyttöön ilman todistusta. Täsmällinen todistus nojaa reaalilukujoukon supremumin käsitteeseen ja reaalilukujen täydellisyysaksioomaan.

Lause 4.6.2

Suljetulla ja rajoitetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Toisin sanottuna, jos funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), niin löydetään sellaiset välin \([a, b]\) pisteet \(c\) ja \(d\), että

\[f(c) \leq f(x) \leq f(d),\]

kun \(x \in [a, b]\).

Seuraavat esimerkit osoittavat, että kaikki ääriarvolauseen oletukset (väli on suljettu, väli on rajoitettu ja funktio on jatkuva) ovat tarpeen.

Esimerkki 4.6.3

1. Määritellään funktio \(f : [-1, 2) \to \R\) asettamalla \(f(x) = x^2\). Tällöin \(f\) on jatkuva ja väli on rajoitettu, mutta ei suljettu. Funktiolla \(f\) on minimi \(f(0) = 0\), mutta ei maksimia.

2. Määritellään funktio \(g : [-1, \infty) \to \R\) asettamalla \(g(x) = x^2\). Tällöin \(g\) on jatkuva ja väli on suljettu, mutta ei rajoitettu. Funktiolla \(g\) on minimi \(g(0) = 0\), mutta ei maksimia.

3. Määritellään funktio \(h : [-1, 2] \to \R\) asettamalla

   \[\begin{split}h(x) = \begin{cases} -2x - 1, & \text{kun } x < 0 \\ x^2, & \text{kun } x \geq 0. \end{cases}\end{split}\]

   Tällöin väli on suljettu ja rajoitettu, mutta \(h\) ei ole jatkuva. Funktiolla \(h\) on maksimi \(h(2) = 4\), mutta ei minimiä.

Etsi pienimmät ja suurimmat arvot. Yritä ainakin aluksi päätellä ilman laskinta ja muistella, miten funktioiden kuvaajat käyttäytyvät. Kiinnitä erityistä huomiota alla annettujen funktioiden määrittelyjoukkoihin. Muistutukseksi: \(\pi \approx 3{,}14\). Kysymyksissä käsitellään funktioita

\[f \colon [0,2] \to \R, f(x)=\sin{x} \qquad\text{ja}\qquad g \colon (0,2] \to \R, f(x)=\cos{x}.\]

Question 1

Mikä on funktion \(f\) globaali minimi?

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(\sin{2}\)

pienintä arvoa ei ole

Question 2

Mikä on funktion \(f\) globaali maksimi?

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(\sin{2}\)

suurinta arvoa ei ole

Question 3

Mikä on funktion \(g\) pienin arvo?

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(\cos{2}\)

pienintä arvoa ei ole

Question 4

Mikä on funktion \(g\) suurin arvo?

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(\cos{2}\)

suurinta arvoa ei ole

Lause 4.6.4

Jos piste \(c\) on funktion \(f\) lokaali ääriarvokohta ja \(f\) on derivoituva pisteessä \(c\), niin \(f'(c)=0\).

Todistus

Oletetaan, että \(c\) on samassa pisteessä derivoituvan funktion \(f\) lokaali maksimipiste. Koska \(f\) on derivoituva, niin

\[f'(c)=\lim_{h\to0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\]

ja koska \(c\) on lokaali maksimipiste, niin \(f(c+h) - f(c) \leq 0\) pienillä reaaliluvuilla \(h\). Jos nyt \(h > 0\), niin

\[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0\]

ja tämän vuoksi myös

\[f'(c)=\lim_{h\to0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0.\]

Vastaavasti, jos \(h<0\), niin

\[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0\]

ja siten

\[f'(c)=\lim_{h\to0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0.\]

On osoitettu, että \(f'(c)\le0\) ja \(f'(c)\ge0\), joten on oltava \(f'(c)=0\). Minimikohdan tapauksessa todistus on vastaava.

Edellisen lauseen nojalla siis ne funktion \(f\) ääriarvokohdat, joissa \(f\) on derivoituva, löytyvät derivaatan nollakohtien joukosta. Jokainen derivaatan nollakohta ei kuitenkaan ole ääriarvokohta.

Esimerkki 4.6.5

Olkoon \(f(x)=\dfrac14x^4-\dfrac43x^3+2x^2-1\). Haetaan derivaatan \(f'(x)=x^3-4x^2+4x\) nollakohdat.

\[\begin{split}\begin{aligned} &x^3-4x^2+4x=0\\ \Leftrightarrow\quad &x(x^2-4x+4)=0\\ \Leftrightarrow\quad &x=0\quad\text{tai}\quad x^2-4x+4=0\\ \Leftrightarrow\quad &x=0\quad\text{tai}\quad x=2 \end{aligned}\end{split}\]

Kuvan avulla arvataan, että näistä \(x=0\) on lokaali minimipiste, mutta \(x=2\) ei ole lokaali ääriarvopiste. Tarkemmat perustelut jätetään myöhemmäksi.

Määritelmä 4.6.6

Pistettä \(c\), jossa \(f'(c)=0\) tai jossa \(f\) ei ole derivoituva, kutsutaan funktion \(f\) kriittiseksi pisteeksi.

Kriittisten pisteiden avulla voidaan kuvata myös ääriarvoja, jotka eivät osu pisteisiin, joissa funktio on derivoituva.

Lause 4.6.7

Olkoon \(f : [a,b] \to \R\) jatkuva funktio ja olkoon \(c\) funktion \(f\) ääriarvopiste. Tällöin \(c\) on joko kriittinen piste tai välin \([a,b]\) päätepiste.

Tämä tulos voidaan vihdoin muotoilla jatkuvan funktion \(f\) globaalien ääriarvojen etsintäohjeeksi suljetulla välillä \([a,b]\).

1. Etsi kriittiset pisteet, eli derivaatan nollakohdat ja pisteet, joissa \(f\) ei ole derivoituva.
2. Laske funktion \(f\) arvo kriittisissä pisteissä ja välin päätepisteissä \(a\) ja \(b\).
3. Poimi saamistasi arvoista suurin ja pienin.

Esimerkki 4.6.8

Etsi funktion \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 9x + 2\) suurin ja pienin arvo välillä \([-2, 2]\).

Ratkaisu

Funktio \(f\) on derivoituva ja \(f'(x)=3x^2-6x-9 = 3(x + 1)(x - 3)\). Derivaatan nollakohdat ovat siis \(x=-1\) ja \(x=3\), joista vain ensin mainittu on tarkasteluvälillä. Lasketaan funktion \(f\) arvot päätepisteissä ja kriittisessä pisteessä.

\[f(-2) = 0, \qquad f(-1) = 7, \qquad f(2) = -20\]

Täten \(\min_{[-2, 2]}f = -20\) ja \(\max_{[-2, 2]} = 7\).

Esimerkki 4.6.9

Määritä funktion \(f(x)=x^{2/3}-x\) suurin ja pienin arvo, kun \(-1\le x\le\frac{1}{2}\).

Ratkaisu

Funktio \(f\) on jatkuva ja \(f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}-1\), kun \(x\ne0\). Pisteessä \(x=0\) funktio \(f\) ei ole derivoituva, koska \(|f'(x)|\to\infty\), kun \(x\to0\) (perustelu sivuutetaan). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.

\[\frac23x^{-1/3}-1=0 \Leftrightarrow x^{-1/3}=\frac32 \Leftrightarrow x=\left(\frac32\right)^{-3}=\frac{8}{27}.\]

Välille \(\left[-1,\frac{1}{2}\right]\) sijoittuvat siis kriittiset pisteet \(0\) ja \(\frac{8}{27}\). Lasketaan funktion \(f\) arvot päätepisteissä ja kriittisissä pisteissä.

\[f(-1) = 2, \qquad f(0) = 0, \qquad f\left(\frac{8}{27}\right) = \frac{4}{27}, \qquad f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 - \sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{4}}\]

Täten \(\min_{\left[-1, \frac{1}{2}\right]} = 0\) ja \(\max_{\left[-1, \frac{1}{2}\right]} = 2\). Funktion kuvaaja hahmotellaan myöhemmässä esimerkissä.

Tarkastellaan funktiota \(f \colon [-2,2] \to \R\), \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x\). Vastatessasi ota huomioon määrittelyjoukko.

Question 1

Valitse seuraavista funktion \(f\) nollakohdat.

\(-3\)

\(-2\)

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

Question 2

Valitse seuraavista kaikki funktion \(f\) kriittiset pisteet.

\(-3\)

\(-2\)

\(-1\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

Question 3

Mikä seuraavista on funktion \(f\) suurin arvo?

\(-\frac{1}{3}\)

\(0\)

\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{2}{3}\)

\(1\)

\(\frac{4}{3}\)

\(\frac{5}{3}\)

\(2\)

Question 4

Valitse kaikki ne väitteet, jotka ovat tosia.

\(x=2\) on lokaali maksimipiste

\(x=2\) on lokaali minimipiste

\(x=2\) on globaali maksimipiste

\(x=2\) on globaali minimipiste

\(x=2\) ei ole lokaali eikä globaali ääriarvopiste

Lause 4.6.10 (Rollen lause)

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Jos \(f(a)=f(b)=0\), niin \(f'(c)=0\) jollakin \(c\in(a,b)\).

Todistus

Ääriarvolauseen mukaan \(f\) saavuttaa maksiminsa ja miniminsä välillä \([a,b]\). Tarkastellaan kolmea tapausta.

1. \(f = 0\) välillä \((a, b)\). Tällöin myös \(f' = 0\) välillä \((a, b)\), joten löydetään \(c \in (a, b)\), jolle \(f'(c) = 0\).
2. \(f\) saa positiivisen arvon välillä \((a, b)\). Tällöin \(f\) ei voi saada maksimiaan välin päätepisteessä, eli maksimikohta \(c\) on välillä \((a, b)\). Toisaalta nyt aiemman lauseen nojalla \(f'(c) = 0\).
3. \(f\) saa negatiivisen arvon välillä \((a, b)\). Tällöin \(f\) ei voi saada minimiään välin päätepisteessä, ja päätellään kuten edellisessä kohdassa.

Siis löydetään välin \((a, b)\) piste \(c\), jolle \(f'(c) = 0\).

Tarkastellaan funktiota \(f \colon \R \to \R\), \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x\), joka on määrittelyjoukkoa lukuunottamatta sama funktio kuin edellisessä tehtävässä. Nyt funktioon \(f\) halutaan soveltaa Rollen lausetta. Miten Rollen lauseen luvut \(a\) ja \(b\) tulee valita, jotta sen oletukset toteutuvat?

Question 1

\(a =\)

Question 2

\(b =\)

Mikä on nyt Rollen lauseen mainitsema luku \(c\)?

Question 3

\(c =\)

Rollen lause voidaan yleistää differentiaalilaskennan väliarvolauseeksi.

Lause 4.6.11 (Differentiaalilaskennan väliarvolause)

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Tällöin

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

jollakin \(c \in (a, b)\).

Todistus

Määritellään funktio \(F : [a, b] \to \R\) asettamalla

\[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),\]

jolloin sen derivaatta on

\[F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\]

Nyt \(F(a) = f(a) - f(a) = 0\) ja \(F(b) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0\), sekä \(F\) on jatkuvien ja derivoituvien funktioiden summana jatkuva välillä \([a, b]\) ja derivoituva välillä \((a, b)\). Funktio \(F\) siis toteuttaa Rollen lauseen oletukset, joten on olemassa sellainen välin \((a, b)\) piste \(c\), että

\[F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \Leftrightarrow f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\qedhere\]

Geometrisesti lauseen väite on ilmeinen: jatkuvan ja derivoituvan funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin on jossakin välin pisteessä \(c\) sama kuin pisteiden \((a,f(a))\) ja \((b,f(b))\) kautta kulkevan suoran kulmakerroin.

Väliarvolause perustelee keskeiset funktion kulkua kuvailevat tulokset.

Lause 4.6.12

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), ja että \(f'(x)=0\) aina, kun \(x\in(a,b)\). Tällöin \(f\) on vakiofunktio.

Todistus

Valitaan piste \(x\) väliltä \((a, b)\) ja sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([a,x]\). Jollakin \(c\in(a,x)\) on toteuduttava

\[f'(c)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = 0,\]

ja täten \(f(x)-f(a)=0\) eli \(f(x)=f(a)\) jokaisella \(x \in (a, b)\), missä \(f(a)\) on vakio. Funktio \(f\) saa pisteessä \(a\) luonnollisesti arvon \(f(a)\), ja jatkuvuuden nojalla \(f(b) = f(a)\).

Lause 4.6.13

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja että \(f'(x)>0\) (\(f'(x)<0\)) aina, kun \(x\in(a,b)\). Tällöin \(f\) on aidosti kasvava (aidosti vähenevä) välillä \([a,b]\).

Todistus

Oletetaan, että \(f'(x)>0\) aina, kun \(x\in(a,b)\) (tapaus \(f'(x)<0\) todistuu vastaavasti). On osoitettava, että jos \(u, v \in [a, b]\) ja \(u < v\), niin \(f(u) < f(v)\). Sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([u,v]\). Jollakin \(c \in (u, v)\) on toteuduttava

\[f'(c)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u} \Leftrightarrow f(v)-f(u)=f'(c)(v-u).\]

Mutta koska \(f'(c)>0\) ja \(v-u>0\), niin \(f(v)-f(u)>0\) ja siten \(f(u)<f(v)\).

Yleinen tapa piirtää funktion kuvaaja on laskea sopivasti eri muuttujan arvoilla funktion arvoja ja hahmotella kuvaaja näin saatujen pisteiden avulla.

Funktion kuvaajan piirtäminen eri kuitenkaan välttämättä onnistu, jos ei tunneta riittävän hyvin kyseisen funktion käyttäytymistä. Derivaatan avulla voidaan selvittää funktion täsmällinen käyttäytyminen eli kuvaajan muoto ja siten pystytään piirtämään kuvaaja oikein. Seuraavassa esimerkissä selvitetään pääperiaatteet funkton kuvaajan piirtämisestä.

Esimerkki 4.6.14

Piirretään funktion \(f\left( x \right) = 50x^3 - 75 x^2 + 30x - \num[input-protect-tokens=\dots]{2.5}\) kuvaaja. Annetaan muuttujalle \(x\) arvoja \(\num[input-protect-tokens=\dots]{0.5}\) välein ja hahmotellaan kuva.

\[\begin{split}\begin{array}{c|ccccc} x & \num{-0.5} & \num{0.0} & \num{0.5} & \num{1.0} & \num{1.5} \\\hline f(x) & \num{-42.5} & \num{-2.5} & \num{0.0} & \num{2.5} & \num{42.5} \end{array}\end{split}\]

Tarkennetaan muuttujan \(x\) arvoja. Annetaan muuttujan \(x\) arvoja \(\num[input-protect-tokens=\dots]{0.2}\) välein ja piirretään kuvaaja. Havaitaan, että käsitys funktion kuvaajasta muuttui aivan oleellisesti.

\[\begin{split}\begin{array}{c|ccccccccccc} x & \num{-0.5} & \num{-0.3} & \num{-0.1} & \num{0.1} & \num{0.3} & \num{0.5} & \num{0.7} & \num{0.9} & \num{1.1} & \num{1.3} & \num{1.5} \\\hline f(x) & \num{-42.5} & \num{-19.6} & \num{-6.3} & \num{-0.2} & \num{1.1} & \num{0.0} & \num{-1.1} & \num{0.2} & \num{6.3} & \num{19.6} & \num{42.5} \end{array}\end{split}\]

Seuraavassa esimerkissä selvitetään pääperiaatteet funktion kuvaajan piirtämisestä derivaattaa hyödyntäen.

Esimerkki 4.6.15

Piirretään funktion \(f\left( x \right) 50x^3 -75x^2 + 30x - \num[input-protect-tokens=\dots]{2.5}\) kuvaaja. Aloitetaan selvittämällä kuvaajan muoto derivaatan merkin avulla.

1. Derivoidaan funktio \(f'\left( x \right) = 150x^2 - 150x + 30\).

2. Derivaatan merkki voi muuttua ainoastaan sen nollakohdissa, joten määritetään derivaatan nollakohdat.

   \[\begin{split}\begin{aligned} &150x^2 - 150x + 30 = 0 \\ \Leftrightarrow\quad &5x^2 - 5x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow\quad &x = \frac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4\cdot 5\cdot 1} }{2\cdot 5} \\ \Leftrightarrow\quad &x \approx \SI[input-protect-tokens=\dots]{0,3}{}\quad \text{tai} \quad x \approx \SI[input-protect-tokens=\dots]{0,7}{}. \end{aligned}\end{split}\]

3. Tutkitaan derivaatan merkkiä kulkukaaviolla. Laaditaan kulkukaavio, johon merkitään derivaatan nollakohdat.

   

Tutkitaan lopuksi funktion \(f\) käyttäytymistä mielivaltaisen suurilla ja pienillä muuttujan \(x\) arvoilla. Jos funktion käyttäytymistä ei tunneta on laskettava raja-arvot äärettömyydessä. Koska tässä tapauksessa kyseesssä on polynomifunktio, voidaan päätellä suoraan, että funktion arvot kasvavat rajatta oikealle mentäessä ja pienevät rajatta vasemmalle mentäessä. Jos tämä kuitenkin olisi epäselvää, niin sama voitaisiin todeta laskemalla seuraavat raja-arvot

\[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left( 50x^3 -75x^2 + 30x -\num[input-protect-tokens=\dots]{2.5} \right) = \infty, \lim_{x \to -\infty}\left( 50x^3 -75x^2 + 30x -\num[input-protect-tokens=\dots]{2.5} \right) = -\infty .\end{aligned}\]

Näiden kohtien jälkeen tunnetaan funktion täsmällinen käyttäytyminen. Piirretään funktion kuvaaja taulukoimalla sopivilla muuttujan \(x\) arvoilla funktion arvoja. Taulukkoon otetaan mukaan ainakin derivaatan nollakohdat sekä muutama muu muuttujan \(x\) arvo. Esimerkiksi yhdet arvot kulkukaavion jokaisesta osiosta. Mikäli kuvaajasta ei tule riittävän hyvä, niin lisätään taulukkoon uusia arvoja.

\[\begin{split}\begin{array}{c|ccccc} x & \num{0.0} & \num{0.3} & \num{0.5} & \num{0.7} & \num{1.0} \\\hline f(x) & \num{-2.5} & \num{1.1} & \num{0.0} & \num{-1.1} & \num{2.5} \end{array}\end{split}\]

Samaa menetelmää voidaan yrittää soveltaa myös silloin, kun \(f\) ei ole derivoituva koko välillä, tai sen määrittelyjoukko ei ole suljettu ja rajoitettu väli. Tällöin etsitään nämä ehdot täyttäviä määrittelyjoukon osavälejä, ja otetaan muulla tavalla huomioon hankalat pisteet.

Esimerkki 4.6.16

Tutkitaan esimerkin 4.6.9 funktion \(f(x)=x^{2/3}-x\) kulkua. Derivaatan

\[f'(x)=\frac23x^{-1/3}-1\]

ainoa nollakohta on \(\frac{8}{27}\). Lisäksi \(f\) ei ole derivoituva pisteessä \(0\), mikä näkyy funktion kuvaajalla origon kohdalla olevana kärkenä. Funktion kuvaaja ja merkkikaavio voidaan esittää kuten alla.

Esimerkki 4.6.17

Tutkitaan funktion

\[f(x)=\frac{1}{x^2-x}\]

kulkua. Nimittäjän \(x^2-x=x(x-1)\) nollakohdissa \(0\) ja \(1\) funktio \(f\) ei ole määritelty. Derivaatan

\[f'(x)=\frac{-2x+1}{(x^2-x)^2}\]

nimittäjä on määrittelyjoukossa positiivinen, joten derivaatan merkki määräytyy osoittajasta \(-2x+1\), jonka ainoa nollakohta on \(x=\frac{1}{2}\). Epäjatkuvuuskohdat on kuitenkin syytä ottaa huomioon merkkikaaviossa erikseen.

Differentiaalilaskennan väliarvolause antaa työkalun, jolla käytännössä lasketaan toispuoleiset derivaatat.

Lause 4.6.18

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Jos derivaatalla on olemassa raja-arvo

\[L=\lim_{x\to a+}f'(x),\]

niin funktiolla \(f\) on pisteessä \(a\) oikeanpuoleinen derivaatta \(f'(a+)\) ja \(f'(a+)=L\). Vastaava tulos on voimassa vasemmanpuoleiselle derivaatalle \(f'(b-)\) pisteessä \(b\).

Todistus

Oletetaan, että derivaattafunktiolla on oikeanpuoleinen raja-arvo \(L\) pisteessä \(a\). Oletetaan lisäksi, että \(x\in(a,b)\) ja sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([a,x]\). Nyt siis

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c(x))\]

jollakin ylärajasta \(x\) riippuvalla välin \((a, x)\) pisteellä \(c(x)\). Toisaalta nyt

\[f'(a+) = \lim_{x \to a+}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{x \to a+}f'(c(x)),\]

missä \(c(x) \to a+\), kun \(x \to a+\). Täten siis oletuksen nojalla

\[f'(a+) = \lim_{c \to a+}f'(c) = L.\qedhere\]

Esimerkki 4.6.19

Tarkastellaan itseisarvofunktiota \(f(x)=|x|\). Koska

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} -x,&\text{kun }x<0\\ x,&\text{kun }x\ge0,\end{cases}\end{split}\]

niin \(f(x)\) on derivoituva väleillä \((-\infty, 0)\) ja \((0, \infty)\), ja

\[\begin{split}f'(x)=\begin{cases} -1,&\text{kun }x<0\\ 1,&\text{kun }x>0.\end{cases}\end{split}\]

Koska \(f\) on jatkuva pisteessä \(0\), toispuoleiset derivaatat siinä ovat

\[f'(0-)=\lim_{x\to0-}f'(x)=-1\ne1=\lim_{x\to0+}f'(x)=f'(0+).\]

Täten \(f\) ei ole derivoituva, mikä näkyy terävänä kulmana funktion \(f\) kuvaajassa.

Esimerkki 4.6.20

Määritä ne vakioiden \(a\) ja \(b\) arvot, joilla funktio

\[\begin{split}f(x)= \begin{cases} x+a,&\text{ kun }x<1\\ bx^2,&\text{ kun }x\ge1 \end{cases}\end{split}\]

on derivoituva kaikkialla.

Ratkaisu

Koska polynomifunktiot ovat derivoituvia, funktio \(f\) on jo valmiiksi derivoituva, kun \(x\ne1\). Derivoituvuuden edellytys on jatkuvuus, ja jotta \(f\) olisi jatkuva pisteessä \(x=1\), on oltava

\[\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(x+a)=1+a=b=f(1).\]

Lauseen 4.6.18 nojalla derivoituvuuteen pisteessä \(x=1\) vaaditaan

\[f'(1-)=\lim_{x\to1-}f'(x)=\lim_{x\to1-}1=1=2b=\lim_{x\to1+}2bx=\lim_{x\to1+}f'(x)=f'(1+).\]

Näistä kahdesta ehdosta muodostuu yhtälöpari

\[\begin{split}\begin{cases} 1+a=b\\ 1=2b, \end{cases}\end{split}\]

jonka ratkaisuksi saadaan \(a=-\frac{1}{2}\) ja \(b=\frac{1}{2}\). Geometrisesti ongelmassa on kyse suoran ja paraabelin liittämisestä pisteessä \(x=1\) siten, että kuvaajaan ei jää kulmaa.

Huomautus 4.6.21

1. Lauseen 4.6.18 oletus jatkuvuudesta on oleellinen. Esimerkin 4.6.3 funktion \(h\) derivaatan

   \[\begin{split}h'(x) = \begin{cases} -2, & \text{kun } x < 0 \\ 2x, & \text{kun } x > 0 \end{cases}\end{split}\]

   vasemmanpuoleinen raja-arvo pisteessä \(0\) on \(\lim\limits_{x\to0-}h'(x)=-2\), mutta erotusosamäärän raja-arvoa

   \[\lim_{x \to 0-}\frac{h(x) - h(0)}{x - 0} = -2 - \lim_{x \to 0-}\frac{1}{x},\]

   ja täten vasemmanpuoleista derivaattaa \(h'(0-)\) ei ole olemassa.

2. Oletus \(L = \lim\limits_{x \to a+}f'(x)\) tarkoittaa, että derivaattafunktio \(f'\) on oikealta jatkuva pisteessä \(a\). Tämä ei kuitenkaan aina ole välttämätöntä, sillä esimerkiksi funktiolle

   \[\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right),&\text{kun }x\ne0\\ 0,&\text{kun }x=0, \end{cases}\end{split}\]

   on kuristusperiaatteen nojalla

   \[f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0,\]

   mutta raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to0+}f'(x)\) ei ole olemassa.

Joskus funktion \(f : \R\to\R\) kuvaajan hahmottelemisessa voidaan käyttää apuna sen asymptoottista käyttäytymistä. Sanotaan, että suora \(y=ax+b\) on kuvaajan \(y=f(x)\) asymptootti, jos

\[\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 \qquad\text{tai}\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0.\]

Jos \(a = 0\), on kyseessä vaakasuora asymptootti. Tähän luokkaan kuuluva asymptootti kuvaa siis funktion käytöstä hyvin suurilla tai pienillä reaaliluvuilla: funktion kuvaaja lähestyy (mutta ei saavuta) asymptoottiaan, kun \(x\) kasvaa rajatta.

Suora \(x=a\) on puolestaan kuvaajan \(y=f(x)\) pystysuora asymptootti, jos

\[\lim_{x\to a-}f(x)=\pm\infty \qquad\text{tai}\qquad \lim_{x\to a+}f(x)=\pm\infty.\]

Esimerkki 4.6.22

Hahmotellaan funktion \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x+2}\) kuvaaja. Koska \(x + 2 \to 0\), kun \(x \to -2\pm\), niin

\[\lim_{x\to-2\pm}f(x)=\pm\infty\]

ja kuvaajalla on pystysuora asymptootti \(x=-2\). Derivaatan

\[f'(x)=\frac{(2x-2)(x+2)-(x^2-2x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x-1}{(x+2)^2}\]

nollakohdiksi saadaan ratkaisukaavalla \(x=-2\pm\sqrt5\). Lisäksi funktiota \(f\) ei ole määritelty, kun \(x=-2\). Kulkukaavioksi saadaan seuraavanlainen taulukko.

Suoritetaan funktion \(f\) määrittelevän lausekkeen jakolasku.

Jakojäännökseksi jää \(5\), joten

\[f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x+2}=x-4+\frac{5}{x+2}.\]

Tässä \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{5}{x+2}=0\), eli suora \(y=x-4\) on asymptootti.

Kun piirretään asymptootit, lasketaan funktion \(f\) arvot derivaatan nollakohdissa ja huomataan, että \(f(x)<x-4\), kun \(x<-2\) ja \(f(x)>x-4\), kun \(x>-2\), niin voidaan hahmotella kuvaaja.

Question 1

Jos ajatellaan mitä tahansa rationaalifunktiota, niin mitkä nimittäjän nollakohdista aiheuttavat rationaalifunktion kuvaajalle pystysuoran asymptootin?

Kaikki.

Ne, jotka eivät ole rationaalifunktion poistuvia epäjatkuvuuspisteitä.

Ei yksikään.

Question 2

Mitä kannattaa yleensä tehdä, jos tutkii, onko jollain rationaalifunktiolla kalteva asymptoottisuora?

Jakaa osoittajaa nimittäjällä joko jakokulmassa tai muuten.

Derivoida koko rationaalifunktio.

Derivoida vain funktion osoittaja.

Derivoida vain funktion nimittäjä.

Tarkastellaan sitten funktiota

\[f(x)=\frac{3x^2-x+2}{x}.\]

Question 3

Mikä seuraavista on funktion \(f\) pystysuora asymptootti?

\(x=-3\)

\(x=-2\)

\(x=-1\)

\(x=0\)

\(x=1\)

\(x=2\)

\(x=3\)

Question 4

Funktiolla \(f\) on toinenkin asymptootti. Mikä seuraavista on funktion \(f\) asymptootti?

\(y=-x+2\)

\(y=-x+3\)

\(y=2x+3\)

\(y=3x+2\)

\(y=3x-1\)

Esimerkki 4.6.23

Halutaan valmistaa puolen litran vetoinen suoran ympyrälieriön muotoinen säilyketölkki. Vaippa ja pohjat valmistetaan ohuesta metallilevystä. Miten tölkin korkeus ja pohjan halkaisija on valittava, jotta levyä kuluisi mahdollisimman vähän? Vaipan ja pohjan liitoskohdissa tarvittaviin taitoksiin kuluva levy jätetään yksinkertaisuuden vuoksi huomiotta.

Ratkaisu

Olkoon tölkin korkeus \(h\) (cm) ja pohjan halkaisija \(d\) (cm). Tölkin tilavuudeksi halutaan 500 kuutiosenttimetriä, joten merkitään

\[\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2h=500.\]

Ilmaistaan tölkin korkeus pohjan halkaisijan avulla.

\[h=\frac{2000}{\pi d^2}\]

Kulunutta levyn määrää on kätevä mitata tölkin pinta-alalla, joka on lierion vaipan ja kahden pohjaympyrän alan summa, eli

\[A = \pi dh+2\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 =\frac{2000}{d}+\frac{\pi}{2}d^2 = A(d).\]

On selvitettävä funktion \(A(d)\) pienin arvo välillä \((0, \infty)\). Funktio \(A\) on jatkuva tällä välillä, joten riittää tarkastella vain derivaatan nollakohtia. Lasketaan derivaatta

\[A'(d)=-\frac{2000}{d^2}+\pi d\]

ja sen nollakohta

\[\frac{2000}{d^2}=\pi d \quad\Leftrightarrow\quad d=\sqrt[3]{\frac{2000}{\pi}}=10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\]

Koska \(-2000/d^2\) ja \(\pi d\) ovat kasvavia funktioita joukossa \((0, \infty)\), niin derivaatta on kasvava funktio ja siten negatiivinen pisteen \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\) vasemmalla ja positiivinen oikealla puolella. Tämän vuoksi funktion \(A\) minimi saavutetaan kohdassa \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\). Vastaava korkeus on

\[h=\frac{2000}{\pi\left(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\right)^2}=10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}} = d.\]

Sekä tölkin korkeudeksi että pohjan halkaisijaksi on siis valittava \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\), eli noin 8,6 cm.

Palautusta lähetetään...