\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Korkeammat derivaatat

Jos derivoituvan funktion \(f\) derivaatta \(f'\) on sekin derivoituva, niin derivaattaa \(D(f'(x))\) kutsutaan funktion \(f\) toiseksi derivaataksi ja merkitään

\[f''(x)=f^{(2)}(x)=D(f'(x)).\]

Vastaavasti määritellään \(f\):n kolmas derivaatta

\[f^{(3)}(x)=D(f''(x)),\]

ja yleisesti \(n\):s derivaatta

\[f^{(n)}(x)=D(f^{(n-1)}(x)).\]

Esimerkki 4.7.1

Lasketaan funktion \(f(x)=x^3+x^{3/2}\) neljä ensimmäistä derivaattaa.

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=3x^2+\frac32x^{1/2}\\ f''(x)&=6x+\frac34x^{-1/2}\\ f^{(3)}(x)&=6-\frac38x^{-3/2}\\ f^{(4)}(x)&=\frac{9}{16}x^{-5/2} \end{aligned}\end{split}\]

Toisen derivaatan avulla voidaan lisäksi tutkia derivaattafunktion kulkua ja tehdä tarkempia päätelmiä myös funktion \(f\) käyttäytymisestä.

Lause 4.7.2

Olkoon \(f\) kahdesti derivoituva välillä \((a,b)\) ja olkoon välin \((a,b)\) piste \(c\) funktion \(f\) kriittinen piste, eli \(f'(c)=0\).

1. Jos \(f''(x)>0\) välillä \((a,b)\), niin \(c\) on funktion \(f\) lokaali minimipiste.
2. Jos \(f''(x)<0\) välillä \((a,b)\), niin \(c\) on funktion \(f\) lokaali maksimipiste.

Todistus

Jos \(f''(x)>0\), niin lauseen 4.6.13 nojalla funktio \(f'\) on aidosti kasvava välillä \((a,b)\). Tämän vuoksi sen merkin on vaihduttava negatiivisesta positiiviseksi pisteessä \(c\), ja \(c\) on funktion \(f\) lokaali minimipiste. Tapaus \(f''(x)<0\) todistuu vastaavasti.

Esimerkki 4.7.3

Esimerkin 4.6.15 funktion \(f(x)=x^3-3x+1\) derivaatalla \(f'(x)=3x^2-3\) on nollakohdat pisteissä \(\pm 1\). Toinen derivaatta \(f''(x)=6x\) on negatiivinen pisteen \(-1\) ja positiivinen pisteen \(1\) ympäristössä, joten funktiolla \(f\) on pisteissä \(-1\) ja \(1\) lokaalit maksimi- ja minimipisteet.

Määritelmä 4.7.4

Kahdesti derivoituva funktio \(f\) on välillä \((a,b)\) alaspäin kupera eli ylöspäin kovera (concave upward), jos \(f''(x)>0\) ja ylöspäin kupera (convex upward) eli alaspäin kovera, jos \(f''(x)<0\) aina, kun \(x \in (a,b)\). Jollakin välillä alaspäin kuperaa funktiota kutsutaan myös lyhyemmin konveksiksi ja jollakin välillä ylöspäin kuperaa funktiota konkaaviksi. Pistettä \(x\), jossa kuperuussuunta eli toisen derivaatan merkki muuttuu, kutsutaan käännepisteeksi (inflection point).

Alaspäin kovera funktion \(f\) kuvaaja kaareutuu aina ylöspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa yläpuolella, sillä \(f'\) on kasvava funktio. Vastaavasti ylöspäin kuperan funktion derivaatta on vähenevä, joten funktion kuvaaja kaareutuu alaspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa alapuolella.

Esimerkki 4.7.5

Tarkastellaan funktiota \(f(x)=\sin x\) välillä \((-\pi,\pi)\). Nyt \(f'(x)=\cos x\) ja \(f''(x)=-\sin x\). Toisen derivaatan arvo pisteessä \(0\) on \(f''(0) = 0\), ja samalla \(f''\) vaihtaa merkkiä. Piste \(0\) on siis funktion \(f\) käännepiste, jossa funktio muuttuu alaspäin kuperasta ylöspäin kuperaksi.

Question 1

Jos toisen asteen polynomi on kupera ylöspäin, niin sen kuvaaja on paraabeli, joka

avautuu ylöspäin,

avautuu alaspäin.

Question 2

Kaikki kriittiset pisteet eivät ole ääriarvopisteitä, joten voidaan sanoa, että \(f'(x)=0\) ei ole riittävä ehto ääriarvon olemassaololle pisteessä \(x\). Toisaalta ehto \(f'(x)=0\) ei ole myöskään välttämätön, sillä ääriarvoja voidaan saada myös määrittelyvälin päätepisteissä. Onko \(f''(x)=0\) välttämätön tai riittävä ehto jatkuvan funktion kuperuuden suunnan muuttumiselle eli käännepisteen olemassaololle pisteessä \(x\)? Vihje: \(x^4\).

Se on sekä välttämätön että riittävä ehto.

Se on välttämätön ehto, mutta ei riittävä.

Se on riittävä ehto, mutta ei välttämätön.

Se ei ole välttämätön eikä riittävä ehto.

Question 3

Jos piste \(x=a\) on funktion \(f\) käännepiste, niin pisteeseen \((a, f(a))\) piirretty tangenttisuora

pysyy funktion \(f\) kuvaajan yläpuolella,

leikkaa funktion \(f\) kuvaajaa pisteessä \((a, f(a))\),

pysyy funktion \(f\) kuvaajan alapuolella,

ei ole olemassa.

Tätä korkeammilla derivaatoilla ei ole vastaavia helposti nähtäviä graafisia tulkintoja. Jos tarkastellaan kahta funktiota jonkin niiden yhteisen pisteen läheisyydessä, todetaan, että näiden funktioiden kuvaajat ovat sitä lähempänä toisiaan, mitä useampi peräkkäinen derivaatta niillä on sama kyseisessä tarkastelupisteessä. Korkeampia derivaattoja käytetään esimerkiksi funktion approksimointiin Taylorin polynomeilla, jotka parantavat lineaarista approksimaatiota. Laskimet ja tietokoneet hyödyntävät näitä polynomeja esimerkiksi trigonometristen funktioiden arvoja laskiessaan. Oheisessa kuvasarjassa on näytetty, miten sinifunktiota voidaan approksimoida polynomeilla pisteen \(x = 0\) ympäristössä.

Käyrällä \(y = \sin(x)\) ja kuvan polynomilla \(x\) tarkastelukohdassa funktion arvot sekä ensimmäisen derivaatan arvot ovat samat.

Käyrällä \(y = \sin\left( x \right)\) ja kuvan polynomilla \(x - \frac{1}{6}x^3\) tarkastelukohdassa funktion arvot sekä 1.-3. derivaatan arvot ovat samat.

Käyrällä \(y = \sin\left( x \right)\) ja kuvan polynomilla \(x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^{5}\) tarkastelukohdassa funktion arvot sekä 1.-5. derivaatan arvot ovat samat.

Käyrällä \(y = \sin\left( x \right)\) ja kuvan polynomilla \(x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^{5} - \frac{1}{5040}x^{7}\) tarkastelukohdassa funktion arvot sekä 1.-7. derivaatan arvot ovat samat.

Palautusta lähetetään...