$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Määritelmä ja perusominaisuudet¶

Olkoon $$s(t)$$ kuljettu matka ajan $$t$$ funktiona. Kun nopeudella tarkoitetaan kuljetun matkan muutosta aikayksikössä, keskimääräinen nopeus aikavälillä $$(t, t+\Delta t)$$ on

$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.$

Alla graafinen tulkinta keskimääräiselle nopeudelle.

Lyhentämällä tarkasteltavan aikavälin pituutta $$\Delta t$$ saadaan tarkempi käsitys kuljetun matkan käyttäytymisestä, ja kun $$\Delta t \to 0$$ päädytään käsittelemään hetkellistä nopeutta

$v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.$

Alla graafinen tulkinta tälle raja-arvolle.

Näistä kinematiikan käsitteistä voidaan yleistää reaalifunktion $$f$$ derivaatan käsite.

Määritelmä 4.2.1

Funktion $$f : I\to\R$$ derivaatta (derivative) määrittelyvälin $$I$$ pisteessä $$a$$ on

$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$

mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa. Tällöin sanotaan, että $$f$$ on derivoituva (differentiable) pisteessä $$a$$. Funktion $$f$$ oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä $$a$$ on

$f'(a+)=\lim_{h\to0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

ja vasemmanpuoleinen derivaatta

$f'(a-)=\lim_{h\to0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$

mikäli kyseiset raja-arvot ovat olemassa. Funktio $$f$$ on derivoituva (differentiable), mikäli sillä on oikean- tai vasemmanpuoleinen derivaatta välin $$I$$ päätepisteissä ja se on derivoituva kaikissa muissa välin $$I$$ pisteissä. Tällöin derivaatat joukon $$I$$ pisteissä $$x$$ määrittelevät funktion $$f'(x)$$, jota kutsutaan funktion $$f$$ derivaataksi.

Merkintä $$f(a+h)$$ tarkoittaa sitä, että funktion $$f$$
Miten lasketaan määritelmän mukaan funktion $$f(x)=3x+1$$ derivaatta pisteessä $$2$$?

Tarkastellaan funktiota

$\begin{split}g(x)= \begin{cases} x^2-2x, & \text{jos } x \ge 1 \\ 3x+2, & \text{jos } x<1 \end{cases}\end{split}$

Kiinnitä seuraavissa kysymyksissä erityisesti huomiota siihen, millä puolella ykköstä ollaan minkäkin termin kohdalla.

Miten lasketaan määritelmän mukaan funktion $$g$$ oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä $$1$$?
Miten lasketaan määritelmän mukaan funktion $$g$$ vasemmanpuoleinen derivaatta pisteessä $$1$$?

Huomaa että derivaatan määritelmä tässä muodossa sisältää oletuksen, että funktio $$f$$ on määritelty pisteen $$a$$ jossakin ympäristössä. Nyt havaitaan, että funktio on derivoituva pisteessä $$a$$ jos ja vain jos sillä on pisteessä $$a$$ sekä oikean- että vasemmanpuoleinen derivaatta ja ne ovat yhtäsuuret. Tällöin $$f'(a)=f'(a-)=f'(a+)$$. Funktion $$f$$ derivaattaa merkitään myös

$f'(x)=D_xf(x)=Df(x)=\frac{\d}{\d x}f(x)=\frac{\d f}{\d x}.$

Määritelmässä esiintyvää osamäärää kutsutaan erotusosamääräksi (difference quotient). Asettamalla $$x=a+h$$ funktion $$f$$ derivaatta pisteessä $$a$$ voidaan yhtäpitävästi kirjoittaa myös raja-arvona

$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$

Toki derivaattaa voitaisiin arvioida likiarvoilla, mikäli käyrä ei ole tiedossa.

Esimerkki 4.2.2

Alla oleva käyrä $$y = T\left( t \right)$$ esittää auton sisälämpötilan nousua, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Selvitä kuvaajan avulla seuraavat likiarvot.

1. Lämpötilan keskimääräienn muutosnopeus aikavälillä $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{10}{\minute} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{30}{\minute}$$.
2. Lämpötilan keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{10}{\minute} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{40}{\minute}$$.
3. Lämpötilan muutosnopeus hetkellä $$t = \SI[input-protect-tokens=\dots]{15}{\minute}$$.
Ratkaisu
1. Keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{10}{\minute} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{30}{\minute}$$ on kaavalla

$\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{T\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{30}{\minute} \right) - T\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10}{\minute} \right) }{\SI[input-protect-tokens=\dots]{30}{\minute} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{10}{\minute}} = \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{15}{\degreeCelsius} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{2.5}{\degreeCelsius}}{\SI[input-protect-tokens=\dots]{20}{\minute}} =\SI[input-protect-tokens=\dots]{0.625}{\degreeCelsius\per\minute}$

tai graafisesti tulkittuna sekantin kulmakerroin suorakulmaisesta kolmiosta.

2. Keskimääräinen muutosnopeus aikavälillä $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{10}{\min} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{40}{\min}$$ on

$\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{T\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{40}{\minute} \right) - T\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10}{\minute} \right) }{\SI[input-protect-tokens=\dots]{40}{\minute} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{10}{\minute}} = \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{17.5}{\degreeCelsius} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{2.5}{\degreeCelsius}}{\SI[input-protect-tokens=\dots]{30}{\minute}} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.5}{\degreeCelsius\per\minute}.$

Vastaavasti kuin edellisessä kohdassa, tämänkin voisi tulkita sekantin kulmakertoimena.

3. Lämpötilan muutosnopues eli derivaatta hetkellä $$t = \SI[input-protect-tokens=\dots]{15}{\min}$$ on käyrälle kohtaan $$t = \SI[input-protect-tokens=\dots]{15}{\min}$$ asetetun tangentin kulmakerroin.

$T'\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{15}{\minute} \right) = \frac{\d T}{\d t}\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{15}{\minute} \right) \approx \frac{\SI[input-protect-tokens=\dots]{18}{\degreeCelsius}}{\SI[input-protect-tokens=\dots]{24}{\minute}} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.75}{\degreeCelsius\per\minute}.\qedhere$

Esimerkki 4.2.3

Lasketaan funktion $$f(x)=3x^2-7x+5$$ derivaatta pisteessä $$3$$ määritelmän avulla.

\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} &=\frac{(3(3+h)^2-7(3+h)+5)-(3\cdot3^2-7\cdot3+5)}{h}\\ &=\frac{3h^2+11h}{h}=3h+11\to11, \end{aligned}\end{split}

kun $$h \to 0$$, joten $$f'(3)=11$$.

Muistetaan, että pisteiden $$(x_1,y_1)$$ ja $$(x_2,y_2)$$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin (slope) on

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$

jolloin geometrisesti erotusosamäärä on $$xy$$-koordinaatiston pisteiden $$(a,f(a))$$ ja $$(x,f(x))$$ kautta kulkevan sekantin (secant) kulmakerroin. Kun näiden pisteiden vaakasuuntaista etäisyyttä $$h = x - a$$ pienennetään, sekantti lähestyy funktion $$f$$ kuvaajan pisteeseen $$(a, f(a))$$ piirrettyä tangenttia (tangent). Pisteessä $$a$$ syntyvän derivaatan geometrinen tulkinta onkin pisteeseen $$(a, f(a))$$ piirretyn tangentin kulmakerroin.

Funktion $$f$$ derivoituvuus pisteessä $$a$$ tarkoittaa sitä, että kuvaajalla $$y=f(x)$$ on pisteessä $$(a,f(a))$$ yksikäsitteinen tangenttisuora kulmakertoimella $$f'(a)$$. Pisteen $$(x_1, y_1)$$ kautta kulmakertoimella $$k$$ kulkevan suoran yhtälö on

$y = y_1 + k(x - x_1),$

joten funktion $$f$$ kuvaajalle kohtaan $$a$$ piirretyn tangenttisuoran yhtälö on

(1)$y=f(a)+f'(a)(x-a).$

Tangenttisuoran yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että kuvaajalla ei voi olla pisteessä $$a$$ terävää kärkeä. Oheisessa kuvassa on hahmoteltu sekantti- ja tangenttisuoria, kun $$h>0$$ ($$h$$ voi olla myös negatiivinen).

Käyrän sekantti on sen
Käyrän tangentti on sen
Mitä tiedät kohdasta, jossa suora $$y=kx+b$$ ohittaa $$y$$-akselin? Tässä kohdassa on voimassa
Mitä tiedät kohdasta, jossa tangentti $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$ ohittaa $$y$$-akselin? Tässä kohdassa on voimassa

Koska normaali on kohtisuorassa tangenttia vasten, niin pätee normaalin kulmakertoimelle

$k_N \cdot k_T = -1 \quad \Leftrightarrow \quad k_N = - \frac{1}{k_t} \quad \Leftrightarrow \quad k_N = - \frac{1}{f'\left( a \right) }.$

Tällöin normaalin yhtälö on

$y = f\left( a \right) - \frac{1}{f'\left( a \right) }(x - a).$

Lause 4.2.4

Jos $$f$$ on derivoituva pisteessä $$a$$, niin $$f$$ on jatkuva pisteessä $$a$$.

Todistus

On osoitettava, että $$f(x)\to f(a)$$, kun $$x\to a$$. Näin on, sillä

$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\to f'(a)\cdot0=0,$

kun $$x \to a$$. Huomaa, että $$x \not= a$$, jolloin luvulla $$x - a$$ laventaminen ei tuota ongelmia.

Huomaa, että tästä saadaan kontrapositiolla, että jos funktio $$f$$ ei ole jatkuva pisteessä $$a$$, niin se ei ole myöskään derivoituva pisteessä $$a$$. Tälle lauseelle käänteinen väite ei ole voimassa, eli jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi tästä käy itseisarvofunktion $$f(x)=|x|$$ käyttäytyminen pisteessä $$x=0$$.

Lause 4.2.5

Olkoot $$f$$ ja $$g$$ pisteessä $$x$$ derivoituvia funktioita ja olkoon $$c$$ reaaliluku. Tällöin

1. $$D(cf(x))=cf'(x)$$
2. $$D(f(x)\pm g(x))=f'(x)\pm g'(x)$$
3. $$D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
4. $$D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$, jos $$g(x)\ne0$$.
Todistus

Kohtaa 1 varten tarkastellaan funktion $$cf$$ erotusosamäärää, jolle

$\frac{cf(x + h) - cf(x)}{h} = c\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \to cf'(x),$

kun $$h \to 0$$, sillä $$f$$ on derivoituva pisteessä $$x$$. Kohta 2 todistuu vastaavalla menetelmällä.

Kohdan 3 funktion $$f(x)g(x)$$ erotusosamäärän osoittajassa voidaan lisätä ja vähentää termi $$f(x)g(x + h)$$, jolloin

\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} &=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &\to f'(x)g(x)+f(x)g'(x), \end{aligned}\end{split}

kun $$h \to 0$$. Tässä $$\lim\limits_{h\to0}g(x+h)=g(x)$$, sillä $$g$$ on jatkuva pisteessä $$x$$.

Kohdan 4 todistamiseksi tutkitaan ensin funktion $$1/g(x)$$ erotusosamäärää. Lavennetaan termillä $$g(x+h)g(x)$$, missä $$g(x) \not= 0$$, jolloin

\begin{aligned} \frac{\dfrac{1}{g(x+h)}-\dfrac{1}{g(x)}}{h} =\frac{g(x)-g(x+h)}{h}\,\frac{1}{g(x+h)g(x)} \to-g'(x)\frac{1}{g(x)^2}, \end{aligned}

kun $$h\to0$$. On siis osoitettu, että

$D\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2},$

kun $$g(x) \not= 0$$. Nyt kohdasta 3 seuraa

\begin{split}\begin{aligned} D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &=D\left(f(x)\dfrac{1}{g(x)}\right) =f'(x)\dfrac{1}{g(x)}+f(x)\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)'\\ &=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\frac{g'(x)}{g(x)^2} =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{aligned}\end{split}

Lause 4.2.6

Vakiofunktion $$f(x)=c$$ derivaatta on $$f'(x) = 0$$.

Todistus

Määritelmän mukaan

$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0.\qedhere$

Esimerkki 4.2.7

Laske $$D\left(x^{-1}\right)$$, $$D\left(x\right)$$ ja $$D\left(x^2\right)$$ määritelmän avulla.

Ratkaisu

Sovelletaan derivaatan määritelmää.

\begin{split}\begin{aligned} D\left(x^{-1}\right) &=D\left(\frac1x\right) =\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x} =-\frac{1}{x^2} =-x^{-2}\\ D\left(x\right)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to0}1=1\\ D(x^2)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x \end{aligned}\end{split}

Laske määritelmän mukaisesti $$D(x^3)$$. Kirjoita välivaiheita laatikoihin seuraavien järjestyksessä annettujen ohjeiden mukaan.

1. Mikä on funktioon $$x^3$$ liittyvä erotusosamäärän lauseke? Tee tässä vaiheessa vain sopivat sijoitukset. Kirjoita vain erotusosamäärä, älä ota siitä raja-arvoa.
2. Sievennä edellisessä kohdassa antamasi erotusosamäärän lauseke niin pitkälle kuin mahdollista. Kirjoita välivaiheita eroteltuna yhtäsuuruusmerkillä =.
3. Oleta, että $$h \to 0$$ ja kirjoita näin saatava derivaatan lauseke.

Huomaa, että muutamassa kohdassa koko osoittaja tarvitsee kirjoittaa sulkuihin, koska se koostuu useammasta kuin yhdestä yhteenlasketusta termistä. Muista myös käyttää aina kertomerkkejä, eli esimerkiksi kirjoita 2*x, kun tarkoitat lauseketta $$2x$$.

Vastausten tarkastamiseen käytetään erillistä ohjelmistoa, jonka antamia palautteita ei valitettavasti voi helposti räätälöidä tämän tehtävän tarpeisiin. Vastausyritteesi pyyhkiyy pois tarkastuksen aikana, joten saattaisi olla hyvä avata jokin muistio-ohjelma ja leikata vastaus talteen ennen vastausnapin painamista. Olethan vähintään avannut yllä olevan esimerkin 4.2.7 ratkaisut esimerkkipalkin alla olevasta linkistä ja katsonut sieltä jonkinlaista mallia?

Jokaisen vastaantulevan funktion derivointi suoraan määritelmän avulla käy työlääksi, joten käsitellään muutamia derivointikaavoja laskujen suoraviivaistamiseksi. Yleistetään tämän esimerkin laskujen perusteella potenssifunktion derivointikaava.

Lause 4.2.8

Jos $$n\in\Z$$, ja $$x\ne0$$, niin $$D(x^n) = nx^{n - 1}$$.

Todistus

Jos $$n = 0$$, niin väite on $$D(1) = 0$$, joka on tosi vakiofunktion derivointisäännön nojalla. Todistetaan väite positiiville kokonaisluvuille induktiolla.

1. Alkuaskel. Jos $$n = 1$$, niin väite on $$D(x) = 1$$, mikä osoitettiin edellä.

2. Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan $$D(x^k) = kx^{k - 1}$$, kun $$k$$ on positiivinen kokonaisluku. Pyritään osoittamaan, että $$D(x^{k + 1}) = (k + 1)x^k$$. Tulon derivointisäännön nojalla

$D(x^{k + 1}) = D(x \cdot x^k) = D(x)x^k + xD(x^k) \stackrel{\text{io}}{=} x^k + kx^k = (k + 1)x^k,$

eli induktioväite on tosi.

Induktioperiaatteen nojalla $$D(x^n) = nx^{n - 1}$$ aina, kun $$n$$ on positiivinen kokonaisluku.

Negatiivisia kokonaislukuja $$n$$ varten oletetaan, että $$x \not= 0$$ ja merkitään $$m = -n$$. Tällöin $$m$$ on positiivinen kokonaisluku, ja edellä todistetun sekä osamäärän derivointisäännön nojalla

$D(x^n) = D\left(\frac{1}{x^m}\right) = \frac{D(1)x^m - D(x^m)}{(x^m)^2} = -\frac{mx^{m - 1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n - 1}.$

Polynomi- ja rationaalifunktiot rakentuvat täsmälleen tämän lauseen käsittelemistä potenssifunktioista, jolloin derivaatan laskusääntöjen vuoksi ne ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan.

Esimerkki 4.2.9

Derivoi funktio

1. $$f(x) = x^3 - \dfrac{1}{x^5}$$,
2. $$f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x^3 - 7}$$.
Ratkaisu
1. Funktion $$f(x) = x^3 - \dfrac{1}{x^5}$$ derivaatta on

$f'(x) = D(x^3 - x^{-5}) = D(x^3) - D(x^{-5}) = 3x^2 - (-5)x^{-6} = 3x^2 + \frac{5}{x^6}.$
2. Funktion $$f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x^3 - 7}$$ derivaatta on

\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \frac{D(x^2 + x)(x^3 - 7) - (x^2 + x)D(x^3 - 7)}{(x^3 - 7)^2}\\ &= \frac{(2x + 1)(x^3 - 7) - 3x^2(x^2 + x)}{(x^3 - 7)^2} = \frac{-x^4-2x^3-14x-7}{(x^3-7)^2}. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 4.2.10

Määritä käyrän $$y = 3x^2 + x$$ pisteeseen $$(-1, 2)$$ asetetun tangentin ja normaalin yhtälö.

Ratkaisu

Suoran yhtälön määrittämiseen tarvitaan suoran kulmakerroin ja yksi suoran piste. Tehtävässä on annettu yksi piste, joten nyt täytyy vielä määrittää kyseisen suoran kulmakerroin.

$y' = 3\cdot 2x + 1 = 6x + 1 ,$

joten

$k_T = y'\left( -1 \right) = 6 \cdot (-1) + 1 = -6 + 1 = -5 .$

Tangentin yhtälöön sijoittamalla piste ja saatu kulmakerroin saadaan

\begin{split}\begin{aligned} &y - 2 = -5\left( x - \left( -1 \right) \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2= -5\left( x + 1 \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2 = -5x - 5 \\ \Leftrightarrow \quad &y = -5x - 5 + 2 \\ \Leftrightarrow \quad &y = -5x - 3 .\end{aligned}\end{split}

Normaalin kulmakerroin on täten

$k_N = - \frac{1}{y'\left( -1 \right) } = \frac{1}{5}$

ja normaalin yhtälö suoraan sijoittamalla

\begin{split}\begin{aligned} &y - 2 = \frac{1}{5}\left( x - \left( -1 \right) \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2= \frac{1}{5}\left( x + 1 \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 2 = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5} \\ \Leftrightarrow \quad &y = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5} + 2 \\ \Leftrightarrow \quad &y = \frac{1}{5}x + \frac{11}{5} .\end{aligned}\end{split}

Siis tangentin yhtälö on $$y = -5x - 3$$ ja normaalin yhtälö on $$y = \frac{1}{5}x + \frac{11}{5}$$.

Oman derivointisääntönsä ansaitsevat myös yhdistetty funktio ja käänteisfunktio.

Lause 4.2.11

Olkoon funktio $$g$$ derivoituva pisteessä $$x$$ ja funktio $$f$$ derivoituva pisteessä $$g(x)$$. Tällöin yhdistetty funktio $$f \circ g$$ on derivoituva pisteessä $$x$$ ja

$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$
Todistus

Koska $$g$$ on derivoituva pisteessä $$x$$, erotusosamäärä

$\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \to g'(x) \Leftrightarrow \frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) \to 0,$

kun $$h \to 0$$. Merkitään tässä

$\frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) = \varepsilon_g(h),$

jolloin siis $$\varepsilon_g(h) \to 0$$, kun $$h \to 0$$. Ratkaisemalla nähdään, että

$g(x + h) = g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h).$

Vastaavasti, koska $$f$$ on derivoituva pisteessä $$y = g(x)$$, erotusosamäärä

$\frac{f(y + k) - f(y)}{k} \to f'(y) \Leftrightarrow \frac{f(y + k) - f(y)}{k} - f'(y) \to 0,$

kun $$h \to 0$$. Voidaan määritellä rinnakkainen $$\varepsilon_f(k)$$, joka toteuttaa ehdot

$f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k)$

ja $$\varepsilon_f(k) \to 0$$, kun $$k \to 0$$.

Tutkitaan nyt yhdistetyn funktion $$f \circ g$$ arvoa pisteessä $$x + h$$.

$(f \circ g)(x + h) = f(g(x + h)) = f\Big(g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h)\Big),$

missä $$g(x) = y$$ ja $$0 \not= g'(x)h + h\varepsilon_g(h) = k$$ on reaaliluku. Sijoittamalla nämä nähdään, että

$f(g(x + h)) = f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k) = f(g(x)) + f'(g(x))k + k\varepsilon_f(k).$

Järjestellään termejä uudelleen ja sijoitetaan $$k = g'(x)h + h\varepsilon_g(h)$$, jolloin

\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} - f'(g(x))g'(x) \\ &= f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) = \varepsilon_{f \circ g}(h). \end{aligned}\end{split}

Nyt väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että

$\varepsilon_{f \circ g}(h) = f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) \to 0,$

kun $$h \to 0$$. Tämä toteutuu, sillä oletusten nojalla $$\varepsilon_g(h) \to 0$$, kun $$h \to 0$$, ja luvut $$f'(g(x))$$ ja $$g'(x)$$ ovat vakioita. Täten

$(f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = f'(g(x))g'(x).\qedhere$

Merkintöjä $$u=f(g(x))$$ ja $$y=g(x)$$ käyttäen edellinen derivointisääntö voidaan kirjoittaa muotoon

$D_x(u) = D_y(u)D_x(y)\qquad\text{tai}\qquad\frac{\d u}{\d x}=\frac{\d u}{\d y}\,\frac{\d y}{\d x}.$

Kyseessä on siis eräänlainen ketju muuttujia, joiden suhteen edellinen funktio derivoidaan, ja lopuksi lasketaan derivaattojen tulo. Usein puhutaankin ketjusäännöstä, ja se on helppo muistaa derivaatan osamäärämerkinnässä. Kolmen funktion yhdistelmälle merkinnöin $$u = f(g(h(x)))$$, $$v = g(h(x))$$, $$y = h(x)$$ ketjusääntö voitaisiin kirjoittaa muodossa

$(f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)\qquad\text{tai}\qquad \frac{\d u}{\d x} = \frac{\d u}{\d v}\,\frac{\d v}{\d y}\,\frac{\d y}{\d x}.$

Useammankin funktion yhdistelmän käsitteleminen on luonnollisesti myös mahdollista.

Esimerkki 4.2.12

Derivoi $$h(x)=\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^{11}$$.

Ratkaisu

Tulkitaan $$h$$ funktioksi $$h(x)=f(g(x))$$, missä $$f(y)=y^{11}$$ ja $$g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$$. Koska $$f'(y)=11y^{10}$$, niin

$h'(x)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}D\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}\Big(2x-\dfrac{1}{x^2}\Big).\qedhere$

Tarkastellaan ketjusääntöä $$(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$$. Oletetaan, että sinulla on jossain harjoitustehtävässä käsillä yhdistetty funktio $$h(x)=(f \circ g)(x)$$, jossa funktioiden $$f$$ ja $$g$$ lausekkeita ei ole eroteltu, vaan olet tunnistanut sen yhdistetyksi jotenkin muuten. Nyt funktio pitää derivoida. Laita seuraavat vaiheet oikeaan järjestykseen. Kirjoita laatikkoon viisinumeroinen luku, jossa alla numeroidut vaiheet ovat oikeassa järjestyksessä vasemmalta oikealle. Jos esimerkiksi uskot, että vaiheet ovat jo oikeassa järjestyksessä, vastaa 12345.

1. Derivoin funktion $$g(x)$$ muuttujan $$x$$ suhteen ja funktion $$f(t)$$ muuttujan $$t$$ suhteen.
2. Kerron funktion $$f'(g(x))$$ lausekkeen funktion $$g'(x)$$ lausekkeella.
3. Päätän, mitä funktion $$h(x)$$ lausekkeen osaa merkitsen funktiona $$f$$ ja mitä funktiona $$g$$.
4. Sijoitan funktion $$f'(t)$$ lausekkeeseen muuttujan $$t$$ paikalle funktion $$g(x)$$ lausekkeen.
5. Korvaan funktiossa $$h(x)$$ funktion $$g(x)$$ lausekkeen muuttujalla $$t$$, jolloin saan funktion $$f(t)$$.
Oikea järjestys on

Tarkastellaan ketjusäännön muotoa

$\displaystyle \frac{\d u}{\d x}=\frac{\d u}{\d y}\frac{\d y}{\d x}.$
Valitse seuraavista kaikki ne väitteet, jotka ovat tosia.
Valitse seuraavista kaikki ne funktiot, joiden derivoinnissa tarvitaan ketjusääntöä, koska niitä ei pystytä suoraan derivoimaan muilla derivointisäännöillä.

Lause 4.2.13

Olkoon $$f$$ aidosti kasvava (vähenevä) ja derivoituva välillä $$I$$. Merkitään $$y=f(x)$$. Tällöin käänteisfunktio $$f^{-1} : f(I)\to I$$ on derivoituva niissä välin $$f(I)$$ pisteissä $$y$$, joille $$f'(x)\ne0$$, ja derivaatta pisteessä $$y = f(x)$$ on

$D_y(f^{-1}(y))=\frac{1}{f'(x)}.$
Todistus

Voidaan osoittaa, että käänteisfunktio $$f^{-1}$$ on jatkuva ja $$f(I)$$ on todella reaalilukuväli. Tutkitaan käänteisfunktion erotusosamäärää pisteessä $$y_0=f(x_0)$$. Merkitään $$y=f(x)$$ ja vaaditaan, että $$y\ne y_0$$, jolloin myös $$x\ne x_0$$.

$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} =\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} =\frac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \to\frac{1}{f'(x_0)},$

kun $$y \to y_0$$, sillä $$f^{-1}$$ on jatkuva ja siten $$x=f^{-1}(y)\to f^{-1}(y_0)=x_0$$, kun $$y\to y_0$$.

Muilla merkintätavoilla käänteisfunktion derivoimissääntö voidaan kirjoittaa helposti muistettavaan muotoon

$\frac{\d x}{\d y}=\frac{1}{\,\dfrac{\d y}{\d x}\,}$

missä $$\d x/\d y$$ lasketaan pisteessä $$y=f(x)$$ ja $$\d y/\d x$$ pisteessä $$x$$.

Esimerkki 4.2.14

Olkoon $$y=f(x)=\sqrt[3]{x}$$. Laske $$f'(x)$$.

Ratkaisu

Tähän mennessä todistettu potenssifunktion derivointikaava koskee vain kokonaislukupotensseja, joten sitä ei voi soveltaa. Funktion $$f$$ käänteisfunktio $$f^{-1}(y) = y^3$$ on kuitenkin aidosti kasvava ja derivoituva, ja $$D_yf^{-1}(y) = 3y^2 \not= 0$$, kun $$y = f(x) \not= 0$$, eli kun $$x \not= 0$$. Täten funktio $$f$$ on myös derivoituva kaikkialla paitsi pisteessä $$0$$, ja

$f'(x) = \frac{1}{3y^2} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.\qedhere$

Käänteisfunktion derivointisäännön kaavassa

$D_y(f^{-1}(y))=\dfrac{1}{f'(x)}$

ei varsinaisesti näy eräs asia, joka kuitenkin sen käytössä on oleellista silloin, kun kaavan avulla halutaan selvittää derivaatan lauseke, eikä vain arvoa yksittäisessä pisteessä.

Seuraavista väitteistä vain yksi on tosi. Valitse se.
Voiko käänteisfunktion derivointisääntöä käyttää käänteisfunktion derivaatan yksittäisten arvojen laskemiseen, jos ei tiedetä täsmälleen, mikä on alkuperäisen funktion lauseke?
Tiedetään, että funktio $$f(x)$$ on kääntyvä ja $$f(3)=5$$ sekä $$f'(3)=\frac{1}{2}$$. Onko näiden tietojen perusteella mahdollista laskea $$D_y(f^{-1}(5))$$?

Käänteisfunktion derivointisäännön avulla potenssifunktion derivointikaava voidaan laajentaa kattamaan kaikki rationaaliluvut.

Lause 4.2.15

Jos $$r\in\Q$$, $$x \not= 0$$ ja potenssilausekkeen $$x^r$$ määrittelyehdot ovat voimassa, niin

$D(x^r)=rx^{r-1}.$
Todistus

Tutkitaan ensin funktiota $$y=f(x)=x^{\frac{1}{n}}$$, missä $$n\in\N$$. Funktiolla $$f$$ on aidosti kasvava ja derivoituva käänteisfunktio $$x=f^{-1}(y)=y^n$$, jolle $$D_yf^{-1}(y)=ny^{n-1} \not= 0$$, kun $$y \not= 0$$, eli kun $$x \not= 0$$. Täten myös $$f$$ on derivoituva ja

$f'(x)=\frac{1}{ny^{n-1}}=\frac{1}{n(x^{1/n})^{n-1}}=\frac{1}{n}x^{1/n-1}.$

Siten lauseen väite on voimassa, kun $$r=\frac{1}{n}$$.

Yleisessä tapauksessa kirjoitetaan $$r=\frac{m}{n}$$, missä $$n\in\N$$. Nyt ketjusäännön mukaan

\begin{split}\begin{aligned} D(x^r)&=D\left(\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}D\left(x^{\frac{1}{n}}\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\ &=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}=rx^{r-1}. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 4.2.16

1. $$\displaystyle D(\sqrt{x})=D(x^{1/2})=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.
2. $$\displaystyle D\left((3x^2-7)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac32(3x^2-7)^{1/2}\cdot 6x=9x\sqrt{3x^2-7}$$.

## Sovellettuja esimerkkejä¶

Esimerkki 4.2.17

Seuraavan kuvan avulla havainnolistetaan differentiaalista muutosta tai niin sanotusti kuinka paljon funktion arvo muuttu suhteessa pieneen muuttujan $$x$$ muutokseen $$\Delta x$$. Kuvan funktio on $$f\left( x \right) = x^{2}$$, joten tällöin $$f'\left( x \right) = 2x$$. Derivaatan arvot seuraavissa kohdissa ovat

\begin{aligned} f'\left( 0 \right) = 0,\quad f'\left( 1 \right) = 2,\quad f'\left( 3 \right) = 6,\quad f'\left( -2 \right) = -4. \end{aligned}

Kuvassa näkyy differentiaalin avulla tehty arvio muuttujan $$y$$ saamalle lisäykselle (tai vähennykselle) näissä kohdissa. Funktion arvon muutokselle saadaan

$\Delta f \approx f'\left( x_0 \right) \d x,$

joten alla esimerkiksi.

Kohdassa $$x = -2$$ muuttujan $$x$$ saadessa pienen lisäyksen $$\Delta x$$ muutos $$y$$-akselin suuntaan on likimain $$f'\left( -2 \right) \Delta x = -4 \Delta x$$. Vastaavasti kohdassa $$x = 1$$ muuttujan $$x$$ saadessa pinen lisäyksen $$\Delta x$$, niin $$y$$-akselin suuntainen muutos on likimain $$f'(1) \Delta x = 2 \Delta x$$.

Esimerkki 4.2.18

Tarkastellaan vielä edellistä esimerkkiä, jossa tutkittiin auton sisälämpötilan hetkellistä muutosnopeutta, kun auton lämmityslaite käynnistetään talvipakkasella. Kymmenen minuutin kuluttua käynnistyksestä hetkelliseksi muutosnopeudeksi saatiin

$\frac{\d T}{\d t} \left( 10 \right) = \num{1.76} \cdot e^{\num{-0.055} \cdot 10} = \num{1.015}\ldots \approx \num{1.02},$

jonka yksikkönä on $$\si{\degreeCelsius\per\minute}$$. Differentiaalin avulla tulos voidaan tulkita siten, että jos kohdassa $$t = 10$$ ajan arvoa muutetaan hieman. Esimerkiksi arvoon $$\num{10.1}$$, niin lämpötilan $$T$$ muutos on suunnilleen

$\Delta T \approx T\left( \SI{10.1}{\minute} \right) - T\left( \SI{10.0}{\minute} \right) = \SI[input-protect-tokens=\dots]{2.36887\dots}{\degreeCelsius} - \SI{2.53760}{\degreeCelsius} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.10126\dots}{\degreeCelsius},$

eli $$\Delta T \approx \d T$$. Kyseiset arvot ovat sitä lähempänä toisiaan mitä pienempi on ajan muutos.

Esimerkki 4.2.19

Kuution tilavuus lasketaan kaavalla $$V\left( s \right) = s^{3}$$, missä $$s$$ on kuution särämän pituus. Laske $$V'\left( \SI{10.0}{\centi\metre} \right)$$ ja $$V'\left( \SI{25.0}{\centi\metre}\right)$$. Mitä nämä arvot kertovat tilavuuden muutoksesta?

Ratkaisu

Lasketaan derivaatat. Nyt $$V'\left( s \right) = 3s^{2}$$, joten

\begin{split}\begin{aligned} V'\left( \SI{10.0}{\centi\metre} \right) &= 3\cdot \left( \SI{10.0}{\centi\metre} \right)^{2} = \SI{300}{\centi\metre\squared} \\ V'\left( \SI{25.0}{\centi\metre} \right) &= 3\cdot \left( \SI{25.0}{\centi\metre} \right)^{2} = \SI{1875}{\centi\metre\squared} .\end{aligned}\end{split}

Tarkastellaan ensin tilavuuden muutosnopeutta särmän pituuden suhteen kohdassa $$s = \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre}$$. Luku $$V'\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre} \right) = \SI[input-protect-tokens=\dots]{300}{\centi\metre\squared}$$ kertoo, että särmän muuttuessa arvosta $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre}$$ hiukan esimerkiksi arvoon $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{10.2}{\centi\metre}$$ (eli $$\Delta s = \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.2}{\centi\metre}$$) tilavuuden muutos on likimain

$\Delta V \approx V'\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre} \right) \cdot \Delta s = \SI[input-protect-tokens=\dots]{300}{\centi\metre\squared} \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.2}{\centi\metre\squared} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{60}{\centi\metre\cubed} .$

Vastaavasti särmän muuttuessa $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre}$$:stä $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{10.05}{\centi\metre}$$:iin, tilavuuden muutos on likimain

$\Delta V \approx V'\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre} \right) \cdot \Delta s= \SI[input-protect-tokens=\dots]{300}{\centi\metre\squared} \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.05}{\centi\metre} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{15}{\centi\metre\cubed}.$

Tarkat tilavuuden muutokset ovat

$\Delta V = V\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.2}{\centi\metre} \right) - V\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre} \right) = \SI[input-protect-tokens=\dots]{1061.21}{\centi\metre\cubed} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{1000}{\centi\metre\cubed} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{61.21}{\centi\metre\cubed}$

ja

$\Delta V = V\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.05}{\centi\metre} \right) - V\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre} \right) = \SI[input-protect-tokens=\dots]{1015.07\dots}{\centi\metre\cubed} - \SI[input-protect-tokens=\dots]{1000}{\centi\metre} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{15.07\dots}{\centi\metre\cubed}.$

Huomataan, että kaava on sitä tarkempi, mitä pienmmästä muutoksesta on kyse. Seuraavaksi verrataan muutosnopeuksia kahdessa eri kohdassa.

Tilavuuden muutosnopeus kohdassa $$s = \SI[input-protect-tokens=\dots]{25.0}{\centi\metre}$$ on $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{1875}{\centi\metre\squared}$$, joka on huomattavasti suurempi kuin kohdassa $$s = \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre}$$ (muutosnopeus $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{300}{\centi\metre\squared}$$). Täsä voidaan päätellä, että jos särmää kasvatetaan yhtä paljon molemmista, on vaikutus tilavuuden muuttumiseen suurempi kohdassa $$s = \SI[input-protect-tokens=\dots]{25.0}{\centi\metre}$$. Tämä näkyy seuraavissa tuloksissa, joissa kumpaakin mittaa on kasvatettu arvolla $$\SI[input-protect-tokens=\dots]{0.05}{\centi\metre}$$:

\begin{split}\begin{aligned} \Delta V &\approx V'\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{10.0}{\centi\metre} \right) \cdot \Delta s = \SI[input-protect-tokens=\dots]{300}{\centi\metre\squared} \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.05}{\centi\metre} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{15}{\centi\metre\cubed} \\ \Delta V &\approx V'\left( \SI[input-protect-tokens=\dots]{25.0}{\centi\metre} \right) \cdot \Delta s = \SI[input-protect-tokens=\dots]{1875}{\centi\metre\squared} \cdot \SI[input-protect-tokens=\dots]{0.05}{\centi\metre} = \SI[input-protect-tokens=\dots]{93.75}{\centi\metre\cubed}. \end{aligned}\end{split}
Palautusta lähetetään...