$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Terminologiaa

Differentiaaliyhtälö, DY (ordinary differential equation, ODE) on yhtälö

$$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0,$$

jossa esiintyy yksi muuttuja $x$, siitä riippuva tuntematon funktio $y=y(x)$, sekä sen derivaattoja $y', y'',\ldots, y^{(n)}$. Kaikki nämä liittyvät toisiinsa lausekkeella $F$. Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten funktioiden $y$ määrittämistä, jotka toteuttavat yhtälön. Vertaa tätä tavallisen yhtälön ratkaisemiseen, jossa tuntemattomana on funktion sijaan luku.

Seuraavat peruskäsitteet on syytä hallita.

• Differentiaaliyhtälön kertaluku (order) on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen kertaluvuista.
• Yksittäisratkaisu (solution) on yksittäinen funktio $y$, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
• Yleinen ratkaisu (general solution) on kaava tai esitysmuoto, joka antaa yhtälön kaikki ratkaisut, usein yhden tai useamman parametrin avulla esitettynä.
• Erikoisratkaisu (particular solution) on ratkaisu, joka poikkeaa muodoltaan muista ratkaisuista tai on muuten erikoisasemassa.
• Alkuarvotehtävässä (initial value problem) haetaan ratkaisua $y$, joka toteuttaa yhden tai useampia funktiolle $y$ ja sen derivaatoille asetettuja alkuehtoja (initial condition) $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_1,\ldots$.

Question 1

Differentiaaliyhtälö

tulee ratkaista derivoimalla,

sisältää muuttujan $x$, siitä riippuvan funktion $y = y(x)$ ja sen integraaleja,

sisältää pelkästään derivaattamuotoisia funktioita,

voidaan aina ratkaista suoraan integroimalla,

sisältää suureiden muutosnopeuksia toisten suureiden suhteen,

sisältää pelkästään muuttujan $x$ ja siitä riippuvan perusmuodossa olevan funktion $y = y(x)$.

Esimerkki 7.2.1

Yhtälö

$$2xy'(x)+y'''(x)y(x)=\frac{1}{x}e^{y(x)}$$

on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Monesti funktion $y$ muuttuja jätetään kirjoittamatta, eli merkitään lyhyesti

$$2xy'+y'''y=\frac{1}{x}e^y.$$

Esimerkki 7.2.2

Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä $y' = y^2$. Tälle yhtälölle $y_1(x)=-\frac{1}{x+1}$ on yksittäisratkaisu, kuten sijoittamalla nähdään.

$$y'=\frac{1}{(x+1)^2}=\left(-\frac{1}{x+1}\right)^2=y^2$$

Yhtälön yleinen ratkaisu on

(1) $$y(x)=-\dfrac{1}{x+C},\quad C\in\R,\quad(x\ne -C),$$

missä $C\in\R$ ja $x \not= -C$. Tämän lisäksi yhtälöllä on erikoisratkaisu $y_0(x)=0$. Myöhemmin perustellaan, miksi yhtälön kaikki ratkaisut erikoisratkaisua lukuunottamatta ovat tätä muotoa.

Löydetyistä ratkaisuista alkuehdon $y(0)=2$ toteuttaa ratkaisu

$$y_2(x)=-\dfrac{1}{x-\frac12}=\dfrac{2}{1-2x},$$

eli $y_2$ on alkuarvotehtävän $y' = y^2$ ja $y(0)=2$ ratkaisu. Seuraavaan kuvaan on piirretty kaavan (1) mukaisen differentiaaliyhtälön ratkaisuparven funktiot parametrin $C$ arvoilla $-1,0,1$ ja $2$ (ohuet käyrät) sekä alkuarvotehtävän ratkaisu, joka kulkee pisteen $(0,2)$ kautta.

Huomautus 7.2.3

Alkuarvo-ongelmien lisäksi on olemassa myös toinen tekniikan ongelmissa tärkeä ongelmaluokka, eli reuna-arvo-ongelmat. Tällöin differentiaaliyhtälö ratkaistaan jollakin annetulla välillä $[x_0,x_1]$. Tehtävänä on etsiä ratkaisua, joka totettaa funktiolle ja sen derivaatoille annetut reunaehdot välin päätepisteissä $x_0$ ja $x_1$. Esimerkkinä lujuusopista välillä $[0,L]$ palkin taipumaviivan differentiaaliyhtälö

$$EIv''''=q,$$

jossa reunaehtoina (nivelin päistä kiinnitetty palkki)

$$v(0)=0,\ v(L)=0,\ v''(0)=0,\ v''(L)=0.$$

Palautusta lähetetään...