$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Terminologiaa¶

Differentiaaliyhtälö, DY (ordinary differential equation, ODE) on yhtälö

$F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0,$

jossa esiintyy yksi muuttuja $$x$$, siitä riippuva tuntematon funktio $$y=y(x)$$, sekä sen derivaattoja $$y', y'',\ldots, y^{(n)}$$. Kaikki nämä liittyvät toisiinsa lausekkeella $$F$$. Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan kaikkien sellaisten funktioiden $$y$$ määrittämistä, jotka toteuttavat yhtälön. Vertaa tätä tavallisen yhtälön ratkaisemiseen, jossa tuntemattomana on funktion sijaan luku.

Seuraavat peruskäsitteet on syytä hallita.

• Differentiaaliyhtälön kertaluku (order) on suurin yhtälössä esiintyvien derivaattojen kertaluvuista.
• Yksittäisratkaisu (solution) on yksittäinen funktio $$y$$, joka toteuttaa differentiaaliyhtälön.
• Yleinen ratkaisu (general solution) on kaava tai esitysmuoto, joka antaa yhtälön kaikki ratkaisut, usein yhden tai useamman parametrin avulla esitettynä.
• Erikoisratkaisu (particular solution) on ratkaisu, joka poikkeaa muodoltaan muista ratkaisuista tai on muuten erikoisasemassa.
• Alkuarvotehtävässä (initial value problem) haetaan ratkaisua $$y$$, joka toteuttaa yhden tai useampia funktiolle $$y$$ ja sen derivaatoille asetettuja alkuehtoja (initial condition) $$y(x_0)=y_0$$, $$y'(x_0)=y_1,\ldots$$.
Differentiaaliyhtälö

Esimerkki 7.2.1

Yhtälö

$2xy'(x)+y'''(x)y(x)=\frac{1}{x}e^{y(x)}$

on kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Monesti funktion $$y$$ muuttuja jätetään kirjoittamatta, eli merkitään lyhyesti

$2xy'+y'''y=\frac{1}{x}e^y.$

Esimerkki 7.2.2

Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä $$y' = y^2$$. Tälle yhtälölle $$y_1(x)=-\frac{1}{x+1}$$ on yksittäisratkaisu, kuten sijoittamalla nähdään.

$y'=\frac{1}{(x+1)^2}=\left(-\frac{1}{x+1}\right)^2=y^2$

Yhtälön yleinen ratkaisu on

(1)$y(x)=-\dfrac{1}{x+C},\quad C\in\R,\quad(x\ne -C),$

missä $$C\in\R$$ ja $$x \not= -C$$. Tämän lisäksi yhtälöllä on erikoisratkaisu $$y_0(x)=0$$. Myöhemmin perustellaan, miksi yhtälön kaikki ratkaisut erikoisratkaisua lukuunottamatta ovat tätä muotoa.

Löydetyistä ratkaisuista alkuehdon $$y(0)=2$$ toteuttaa ratkaisu

$y_2(x)=-\dfrac{1}{x-\frac12}=\dfrac{2}{1-2x},$

eli $$y_2$$ on alkuarvotehtävän $$y' = y^2$$ ja $$y(0)=2$$ ratkaisu. Seuraavaan kuvaan on piirretty kaavan (1) mukaisen differentiaaliyhtälön ratkaisuparven funktiot parametrin $$C$$ arvoilla $$-1,0,1$$ ja $$2$$ (ohuet käyrät) sekä alkuarvotehtävän ratkaisu, joka kulkee pisteen $$(0,2)$$ kautta.

Huomautus 7.2.3

Alkuarvo-ongelmien lisäksi on olemassa myös toinen tekniikan ongelmissa tärkeä ongelmaluokka, eli reuna-arvo-ongelmat. Tällöin differentiaaliyhtälö ratkaistaan jollakin annetulla välillä $$[x_0,x_1]$$. Tehtävänä on etsiä ratkaisua, joka totettaa funktiolle ja sen derivaatoille annetut reunaehdot välin päätepisteissä $$x_0$$ ja $$x_1$$. Esimerkkinä lujuusopista välillä $$[0,L]$$ palkin taipumaviivan differentiaaliyhtälö

$EIv''''=q,$

jossa reunaehtoina (nivelin päistä kiinnitetty palkki)

$v(0)=0,\ v(L)=0,\ v''(0)=0,\ v''(L)=0.$
Palautusta lähetetään...