3.5.1 Tehtävä 1 | MATH.APP.120 Differentiaali- ja integraalilaskennan perusteet

Osoitetaan raja-arvon määritelmän mukaisesti, että

\[\lim_{x \to 4} 8x-20 = 12.\]

Varsinainen todistus alkaa siinä vaiheessa, kun ilmoitetaan, millä tavalla \(\delta\) riipuu luvusta \(\varepsilon\), mutta sitä ennen täytyy tietää, mikä näiden lukujen yhteys on. Lähdetään liikkeelle siitä, että esitetään määritelmän merkintöjä käyttäen \(|f(x)-L|\) sellaisessa muodossa, jossa esiintyy \(|x-a|\).

Kysymys 1 1 piste Mikä seuraavista laskuista liittyy nyt käsillä olevan tehtävän luvun \(\delta\) selvittämiseen?

\(|8x-12-4|=|8x-16|=|8x-8 \cdot 2|=8|x-2|\)

\(|8x-20-12|=|8x-32|=|8x-8 \cdot 4|=8|x-4|\)

\(|8x+20-4|=|8x+16|=|8x+8 \cdot 2|=8|x+2|\)

\(|8x-20-4|=|8x-24|=|8x-8 \cdot 3|=8|x-3|\)

Kysymys 2 1 piste Miten aloitetaan todistus? Olkoon \(\varepsilon>0\). Valitaan

\(\delta=\frac{\varepsilon}{4}\),

\(\delta=\frac{\varepsilon}{3}\),

\(\delta=\frac{\varepsilon}{8}\),

\(\delta=\frac{\varepsilon}{2}\).

Kysymys 3 1 piste Mitä todistus sisältää seuraavaksi? Lisäksi oletetaan, että \(x\) kuuluu punkteerattuun ympäristöön

\(0<|x-2|<\delta\),

\(0<|x-3|<\delta\),

\(0<|x-4|<\delta\),

\(0<|x+2|<\delta\).

Kysymys 4 1 piste Mikä edellisen kysymyksen esityksessä viittaa punkteeraukseen? Se, että tässä etäisyysfunktion tarkastelussa

käytetään muuttujaa \(x\),

muuttujan \(x\) etäisyys halutusta luvusta on pienempi kuin \(\delta\),

muuttujan \(x\) etäisyys halutusta luvusta on suurempi kuin \(0\),

etäisyysfunktiolla on sekä ala- että yläraja.

Kysymys 5 1 piste Tällöin pätee

\(|f(x)-L|=\cdots<8\delta=\varepsilon\),

\(|f(x)-L|=\cdots<4\delta=\varepsilon\),

\(|f(x)-L|=\cdots<3\delta=\varepsilon\),

\(|f(x)-L|=\cdots<2\delta=\varepsilon\).

Kysymys 6 1 piste Mikä on yllä olevan todistuksen perusajatus? Todistuksessa näytetään, että korkeintaan \(\delta\):n etäisyydellä raja-arvopisteestä \(4\) on vain sellaisia lukuja \(x\), joilla funktion arvo \(f(x)\) on väitetystä raja-arvosta \(12\) korkeintaan etäisyydellä \(\varepsilon\),

olipa \(\delta\) miten pieni hyvänsä,

olipa \(\varepsilon\) miten pieni hyvänsä,

vaikka \(\delta\) olisi todella suuri luku,

vaikka \(\varepsilon\) olisi todella suuri luku.

Tehtävä 1

Tehtävän tiedot