\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Jatkuvuus

Raja-arvon määritelmässä ei vaadita, että funktio \(f\) olisi määritelty rajapisteessä \(a\). Jos \(f(a)\) on määritelty, niin voidaan kysyä, onko funktion arvo sama kuin raja-arvo.

Määritelmä 3.4.1

Olkoon funktio \(f\) määritelty pisteen \(a\) ympäristössä \((c, d)\). Sanotaan, että \(f\) on jatkuva (continuous) pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a}f(x).\]

Vastaavasti funktio \(f\) on epäjatkuva pisteessä \(a\), jos se on määritelty pisteessä \(a\), mutta raja-arvoa

\[\lim_{x\to a}f\left( x \right)\]

ei ole olemassa.

Jatkuvuutta varten vaaditaan siis, että

1. \(f\) on määritelty pisteessä \(a\),
2. funktiolla \(f\) on raja-arvo pisteessä \(a\),
3. funktion arvo ja raja-arvo ovat yhtä suuret.

Ei voida puhua funktion jatkuvuudesta pisteessä \(a\), jos se ei ole määritelty siinä.

Esimerkki 3.4.2

1. Esimerkin 3.2.11 funktiota \(g : \R\setminus\{0\}\to\R\),

   \[g(x) = x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\]

   ei ole määritelty pisteessä \(0\), mutta sillä on raja-arvo \(\lim\limits_{x\to0}g(x)=0\). Niinpä funktio \(f\colon\R\to\R\),

   \[\begin{split}f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&\text{kun }x\ne0\\ 0,&\text{kun }x=0\end{cases}\end{split}\]

   on jatkuva pisteessä \(0\). Funktio \(g\) saadaan siis jatkettua jatkuvaksi funktioksi pisteessä \(0\), kun määritellään \(g(0)\) sopivasti. Tällöin sanotaan, että piste \(0\) on funktion \(g\) poistuva epäjatkuvuuspiste.

2. Esimerkin 3.1.1 kohdissa 2–5 funktiota \(f\) ei saada millään määrittelyllä \(f(0)\) jatkuvaksi pisteessä \(0\).

Välin päätepisteessä jatkuvuus on määriteltävä erikseen.

Määritelmä 3.4.3

Välillä \([a,d)\) määritelty funktio \(f\) on oikealta puolijatkuva pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a+}f(x).\]

Vastaavasti välillä \((c,a]\) määritelty funktio \(f\) on vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a-}f(x).\]

Esimerkki 3.4.4

Funktio

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x\le1\\ 2-x,&\text{kun }x>1 \end{cases}\end{split}\]

on vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(1\), mutta ei oikealta.

Tällaisessa tilanteessa, jossa pisteessä \(a\) on olemassa äärelliset toispuoleiset raja-arvot, mutta ne ovat erisuuret, sanotaan funktiolla olevan hyppäysepäjatkuvuuspiste.

Jos funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(a\), se on selvästi myös sekä oikealta että vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(a\).

Määritelmä 3.4.5

Olkoon \(I\) reaalilukuväli ja funktio \(f\) määritelty joukossa \(I\). Funktio \(f\) on jatkuva välillä \(I\), jos jokin seuraavista ehdoista toteutuu.

• \(I\) on \((c, d)\) ja \(f\) on jatkuva jokaisessa välin \((c, d)\) pisteessä.
• \(I\) on \([c, d)\), \(f\) on jatkuva välillä \((c, d)\) ja \(f\) on oikealta puolijatkuva pisteessä \(c\).
• \(I\) on \((c, d]\), \(f\) on jatkuva välillä \((c, d)\) ja \(f\) on vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(d\).
• \(I\) on \([c, d]\), \(f\) on jatkuva välillä \((c, d)\) ja \(f\) on puolijatkuva molemmissa päätepisteissä.

Olkoot \(I_1, I_2, \ldots, I_n\) reaalilukuvälejä, \(A = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_n\) ja funktio \(f\) määritelty joukossa \(A\). Funktio \(f\) on jatkuva joukossa \(A\), jos se on jatkuva jokaisella välillä \(I_j\), \(j = 1, \ldots, n\).

Lisäksi funktio on paloittain jatkuva välillä \(I\), jos sillä on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä ja ne kaikki ovat hyppäysepäjatkuvuuksia.

Tunnista tekniikassa melko usein esiintyviä paloittain jatkuvia funktioita kuvaajan perusteella. Esiintyviä nimiä ei tarvitse muistaa tällä kurssilla. Kirjoita laatikoihin oikeiden kuvien numerot.

Question 1

Diracin deltafunktio \(\delta(x)= \begin{cases} 0, & \text{jos } x\neq 0 \\ 1, & \text{jos } x=0 \end{cases}\) (signaalinkäsittelyssä yksikköimpulssifunktio)

Question 2

Heavisiden funktio \(H(x)= \begin{cases} 1, & \text{jos } x\geq 0 \\ 0, & \text{jos } x<0 \end{cases}\) (säätötekniikassa kuvaa päälle laitettavaa ja jäävää kytkintä)

Question 3

Signum-funktio \(\sgn(x)\) (ilmoittaa luvun etumerkin)

Question 4

Lattiafunktio \(\lfloor x \rfloor\) (pyöristys alaspäin)

Question 5

Kattofunktio \(\lceil x \rceil\) (pyöristys ylöspäin)

Question 6

Kanttiaalto

Question 7

Saha-aalto

Question 8

Kolmioaalto (on itse asiassa jatkuva funktio)

Jatkossakin joukolla \(I\) tarkoitetaan yleistä reaalilukuväliä, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu, sekä rajoitettu tai rajoittamaton.

Raja-arvon laskusääntöjen mukaisesti jatkuvien funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat myös jatkuvia.

Lause 3.4.6

Olkoot funktiot \(f\) ja \(g\) jatkuvia pisteessä \(a\). Tällöin \(f(x)+g(x)\), \(f(x)-g(x)\) ja \(f(x)g(x)\) ovat jatkuvia pisteessä \(a\). Jos lisäksi \(g(a)\ne0\), niin myös \(\frac{f(x)}{g(x)}\) on jatkuva pisteessä \(a\).

Esimerkiksi jokainen polynomifunktio \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) on jatkuva joukossa \(\R\) ja edelleen jokainen rationaalifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan.

Esimerkki 3.4.7

1. Funktio \(f(x)=-3x^2+7x-1\) on jatkuva joukossa \(\R\).

2. Funktio \(f(x)=\dfrac1x\) on jatkuva määrittelyjoukossaan \(\R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)\).

3. Funktio

   \[f(x)=\frac{x^2+5x+6}{x^2-2x-8}\]

   on jatkuva määrittelyjoukossaan \(\R\setminus\{-2,4\}\). Koska

   \[f(x)=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-4)}=\frac{x+3}{x-4},\]

   niin

   \[\lim_{x \to -2}f(x) = \frac{-2 + 3}{-2 - 4} = -\frac{1}{6}\]

   ja piste \(-2\) on funktion \(f\) poistuva epäjatkuvuuspiste. Täten \(f\) saadaan jatkuvaksi joukkoon \(\R\setminus\{4\}\) määrittelemällä \(f(-2) = \frac{1}{6}\).

4. Esimerkin 3.4.4 funktio on paloittain jatkuva joukossa \(\R\) ja kohdan 3 funktio on paloittain jatkuva joukossa \(\R\setminus\{4\}\). Miksi kohtien 2 ja 3 funktiot eivät ole paloittain jatkuvia koko reaalilukujen joukossa?

Lause 3.4.8

Olkoon funktio \(g\) jatkuva pisteessä \(a\) ja olkoon \(f\) jatkuva pisteessä \(g(a)\). Tällöin yhdistetty funktio \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) on jatkuva pisteessä \(a\).

Esimerkki 3.4.9

Koska \(\sqrt{x}\) on jatkuva joukossa \([0,\infty)\), niin funktio

\[f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x-4}}\]

on jatkuva määrittelyjoukossaan \((-\infty,-3]\cup(4,\infty)\).

Question 1

Seuraavat funktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan, mutta mikä niistä on paloittain jatkuva joukossa \(\R\)? Jos et muuten keksi vastausta, piirrä funktioiden kuvaajat.

\(\dfrac{1}{\sin{x}}\)

\(\dfrac{\sin{x}}{x}\)

\(\dfrac{\cos{x}}{x}\)

\(\dfrac{1}{x^2}\)

Question 2

Merkitään edellisen kohdan oikeaa vastausta funktiona \(f(x)\). Mikä seuraavista pätee funktiolle \(f\)?

\(f\) on epäjatkuvuuden kohdalla vasemmalta puolijatkuva.

\(f\) on epäjatkuvuuden kohdalla oikealta puolijatkuva.

\(f\) ei ole epäjatkuvuuden kohdalla kummaltakaan puolelta puolijatkuva.

Question 3

Käytetään edelleen samasta funktiosta merkintää \(f\). Onko funktion epäjatkuvuuspiste poistuva?

Kyllä, jos tehdään lisämäärittely \(f(0)=1\).

Kyllä, jos tehdään lisämäärittely \(f(1)=0\).

Kyllä, jos tehdään lisämäärittely \(f(0)=0\).

Kyllä, jos tehdään lisämäärittely \(f(1)=1\).

Ei ole poistuva.

Jatkuvuuden ajatus voidaan kiteyttää sen geometriseen tulkintaan, jonka mukaan jatkuvan funktion kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. Tämän vuoksi seuraava lause, jonka perustelut sivuutetaan tässä, on helppo ymmärtää.

Lause 3.4.10 (Jatkuvien funktioiden väliarvolause)

Olkoon funktio \(f\) jatkuva suljetulla ja rajoitetulla välillä \([a,b]\). Jos \(y \in [f(a), f(b)]\), niin löydetään välin \([a, b]\) piste \(c\), jolle \(f(c) = y\), eli funktio \(f\) saavuttaa lukujen \(f(a)\) ja \(f(b)\) välissä olevat arvot.

Hyvin tunnettu väliarvolauseen erikoistapaus on Bolzanon lause.

Lause 3.4.11 (Bolzanon lause)

Olkoon funktio \(f\) jatkuva suljetulla ja rajoitetulla välillä \([a,b]\) ja olkoot \(f(a)\) ja \(f(b)\) erimerkkiset. Tällöin löydetään välin \([a, b]\) piste \(c\), jolle \(f(c) = 0\), eli funktiolla \(f\) on nollakohta välillä \([a, b]\).

Tarkastellaan funktioita

\[f(x)=-2x^3+7x^2-3 \qquad\text{ja}\qquad g(x)=\frac{2x-3}{2x-5}.\]

Question 1

Valitse seuraavista kaikki välit, joiden päätepisteissä saadaan erimerkkiset funktion \(f\) arvot. Jos et saa lainkaan palautetta, et ole vielä valinnut kaikkia oikeita vastauksia.

\([-1,0]\)

\([0,1]\)

\([1,2]\)

\([2, \mathbf{4}]\)

Question 2

Mitä voit näiden välien tutkimisen jälkeen sanoa funktion \(f\) nollakohdista Bolzanon lauseen huomioon ottaen? Välillä \([-1,4]\)

ovat kaikki kolme funktion \(f\) nollakohtaa,

on vähintään kaksi funktion \(f\) nollakohtaa,

on vähintään yksi funktion \(f\) nollakohta,

ei ole funktion \(f\) nollakohtia,

voi olla funktion \(f\) nollakohtia, mutta niitä ei paljastunut tutkittujen pisteiden perusteella.

Question 3

Vaihdetaan funktiota. Valitse seuraavista kaikki välit, joiden päätepisteissä saadaan erimerkkiset funktion \(g\) arvot. Jos et saa lainkaan palautetta, et ole vielä valinnut kaikkia oikeita vastauksia.

\([-1,0]\)

\([0,1]\)

\([1,2]\)

\([2,3]\)

Question 4

Mitä tiedät aikaisempien lukujen perusteella olevan totta rationaalifunktiolle \(g\)?

Funktiolla \(g\) ei ole nollakohtia.

Osoittajan perusteella funktiolla \(g\) on vain yksi nollakohta.

Nimittäjän perusteella funktiolla \(g\) on vain yksi nollakohta.

Osoittajan ja nimittäjän perusteella funktiolla \(g\) on kaksi nollakohtaa

Funktiolla \(g\) on enemmän kuin kaksi nollakohtaa.

Question 5

Miksi Bolzanon lause ei tässä tapauksessa kerro nollakohtien määrää oikein?

Yksi tarkastetuista väleistä ei ole suljettu.

Yksi tarkastetuista väleistä ei ole rajoitettu.

Yhdellä väleistä on piste, jossa \(g\) ei ole määritelty eikä siksi myöskään jatkuva.

Esimerkki 3.4.12

Tutkitaan jatkuvan funktion \(f(x)=x^5-3x+1\) nollakohtia. Tiedetään, että tällä viidennen asteen polynomifunktiolla on korkeintaan \(5\) reaalista nollakohtaa, mutta yleistä ratkaisukaavaa niiden löytämiseksi ei ole. Lasketaan funktion arvoja muutamissa pisteissä. Koska \(f(-2)=-25<0\) ja \(f(-1)=3>0\), niin välillä \([-2,-1]\) on oltava ainakin yksi nollakohta. Puolivälissä \(f(-1.5)\approx-2.09<0\), joten nollakohta on välillä \([-1.5,-1]\). Tämän välin puolivälissä \(f(-1.25)\approx1.70>0\), joten nollakohta on välillä \([-1.5,-1.25]\). Näin voidaan jatkaa, kunnes haluttu tarkkuus on saavutettu. Kyseisen nollakohdan likiarvo yhdeksällä desimaalilla on \(-1.388~791~984\).

Tämä puolitusmenetelmä on yksinkertaisin esimerkki numeerisista nollakohtien laskualgoritmeista.

Tiedetään, että aidosti monotoninen funktio \(f : I\to\R\) on injektio ja tämän vuoksi sen maalijoukoltaan rajoitettulla versiolla \(f : I\to f(I)\) on käänteisfunktio \(f^{-1} : f(I)\to I\).

Lause 3.4.13

Välillä \(I\) aidosti kasvavan (vähenevän) jatkuvan funktion \(f\) kuvajoukko \(f(I)\) on reaalilukuväli, ja käänteiskuvaus \(f^{-1} : f(I)\to I\) on jatkuva.

Todistus

Annetaan todistuksen idea ja sivuutetaan täsmällinen todistus. Olkoon funktio \(f\) aidosti kasvava (vähenevän funktion tapaus todistuu vastaavasti) ja käsitellään väitteet yksi kerrallaan.

1. \(f(I)\) on reaalilukuväli. Havainnollistetaan todistusta tapauksessa, jossa \(I = [a, b]\), missä \(a < b\). Koska \(f\) on aidosti kasvava \(f(a) \leq f(x) \leq f(b)\) aina, kun \(x \in [a, b]\), joten \(f(I) \subseteq [f(a), f(b)]\). Toisaalta jatkuvien funktioiden väliarvolauseen nojalla \(f\) saavuttaa kaikki arvot välillä \([f(a), f(b)]\), joten \([f(a), f(b)] \subseteq f(I)\). Täten kuvajoukko \(f(I) = [f(a), f(b)]\), reaalilukuväli. Täsmällisempi todistus sivuutetaan.
2. \(f^{-1}\) on jatkuva. Väite on intuitiivisesti selvä, sillä jos funktion \(f\) kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista, niin sama on totta myös sen peilikuvalle suoran \(y = x\) suhteen.

Lause 3.4.14

Potenssifunktio \(x^r\), \(r\in\Q\), on jatkuva määrittelyjoukossaan.

Todistus

Jaetaan todistus kahteen osaan.

1. \(r = \frac{1}{n}\), missä \(n \in \N\). Tällöin potenssilausekkeen \(x^r\) määräämä funktio on aidosti kasvavan ja jatkuvan funktion \(f(x) = x^n\) käänteisfunktio, ja täten jatkuva.
2. \(r = \frac{m}{n}\), missä \(m \in \Z\) ja \(n \in \N\). Tällöin potenssilausekkeen \(x^r\) määräämä funktio on jatkuvien funktioiden \(f(x) = x^m\) ja \(g(x) = x^{\frac{1}{n}}\) yhdisteenä jatkuva.

Lause 3.4.15

Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Todistus

Olkoon \(a\) reaaliluku. Sinifunktion tapauksessa on osoitettava, että

\[\lim_{x\to a}\sin x=\sin a,\]

eli yhtäpitävästi kun \(x = a + h\)

\[\lim_{h\to0}\sin(a+h)=\sin a.\]

Sinin summakaavan avulla voidaan kirjoittaa

\[\lim_{h \to 0}\sin(a+h)=\sin a\left(\lim_{h \to 0}\cos h\right)+\cos a\left(\lim_{h \to 0}\sin h\right) = \sin a \cdot 1 + \cos a \cdot 0 = \sin a.\]

missä \(\lim\limits_{h\to0}\sin h=0\) ja \(\lim\limits_{h\to0}\cos h=1\) lauseen 3.2.12 nojalla. Kosinifunktiota koskeva väite todistetaan vastaavasti. Tangenttifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan, sillä se on jatkuvien funktioiden osamäärä. Arkusfunktioiden jatkuvuus seuraa nyt lauseesta 3.4.13.

Lause 3.4.16

Eksponentti- ja logaritmifunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Todistus

Eksponenttifunktion määritelmä koko reaalilukujen joukossa nojaa jo raja-arvon käsitteeseen, jolloin jatkuvuus on sen luonnollinen ominaisuus. Tarkempi todistus sivuutetaan. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktiona jatkuva.

Seuraus 3.4.17

Hyperboliset funktiot ja areafunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Todistus

Hyperboliset funktiot määritellään eksponenttifunktion ja aritmeettisten laskutoimitusten avulla, ja areafunktiot ovat niiden käänteisfunktiot.

Palautusta lähetetään...