Tämä kurssi on jo päättynyt.
- MATH.APP.120
- 5. Integraalifunktio ja määrätty integraali
- 5.1 Motivointia
\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]
Motivointia¶
Integraalilaskennan motivaationa ovat seuraavat ongelmat.
Etsi sellainen funktio \(F\), jonka derivaatta on annettu funktio \(f\). Ratkaisua merkitään
\[F(x)=\int f(x)\,\d x.\]Laske sellaisen alueen \(A\) pinta-ala, jota rajoittavat \(x\)-akseli, suorat \(x=a\) ja \(x=b\) sekä funktion \(f>0\) kuvaaja. Ratkaisua merkitään
(1)¶\[a(A)=\int_a^b f(x)\,\d x.\]
Esimerkki 5.1.1
Kappale liikkuu pitkin \(x\)-akselia. Tiedetään, että kappaleen kiihtyvyys ajan \(t\) funktiona on \(a(t)=6t\). Kappale lähtee liikkeelle levosta ajanhetkellä \(t=0\). Ratkaise sen nopeus \(v(t)\) ajan funktiona.
Ratkaisu
\(v'(t)=a(t)\), joten kyseessä on kohdan 1 mukainen ongelma. Helposti nähdään, että ainakin funktio \(v(t)=3t^2\) toteuttaa yhtälön \(v'(t)=a(t)\) ja alkuehdon \(v(0)=0\).
Osoittautuu, että hyvin erilaisilta näyttävillä ongelmilla 1 ja 2 on läheinen yhteys keskenään.
previous | next
- Integraalifunktio, integrointi, integroinnin lineaarisuus
- Integroimistekniikkaa: Osittaisintegrointi, integrointi sijoituksen avulla
- Rationaalifunktion integrointi osamurtokehitelmällä
- Riemann-integroituvuus, määrätyn integraalin lineaarisuus ja arviointi
- Integraalilaskennan väliarvolause, analyysin peruslause, integraalin laskeminen integraalifunktion avulla
- Määrätyn integraalin osittaisintegrointi ja sijoitus, parittomien ja parillisten funktioiden määrätyt integraalit
Palautusta lähetetään...