$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Integraalifunktio¶

Olkoon seuraavassa $$I\subset\R$$ (rajoitettu tai rajoittamaton) reaalilukuväli.

Määritelmä 5.2.1

Funktio $$F : I\to\R$$ on funktion $$f : I\to\R$$ integraalifunktio eli antiderivaatta (antiderivative) välillä $$I$$, jos $$F'(x)=f(x)$$ kaikilla välin $$I$$ pisteillä $$x$$.

Esimerkki 5.2.2

Olkoon $$f(x)=2x+1$$. Silloin esimerkiksi $$F(x)=x^2+x-4$$ ja $$G(x)=x^2+x+8$$ ovat funktion $$f$$ integraalifunktioita, koska $$F'(x)=f(x)$$ ja $$G'(x)=f(x)$$.

Esimerkki näyttää, että integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen. Eri integraalifunktiot eroavat toisistaan kuitenkin vain vakion osalta.

Lause 5.2.3

Olkoon $$F$$ jokin funktion $$f$$ integraalifunktio välillä $$I$$. Tällöin jokainen funktion $$f$$ integraalifunktio voidaan esittää muodossa $$G(x)=F(x)+C$$, missä $$C\in\R$$. Vakiota $$C$$ kutsutaan integroimisvakioksi.

Todistus

Olkoot $$F$$ ja $$G$$ funktion $$f$$ integraalifunktioita välillä $$I$$. Merkitään $$H(x)=G(x)-F(x)$$. Silloin

$H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0.$

Differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla voidaan tällöin osoittaa, että $$H$$ on vakiofunktio, eli $$H(x)=G(x)-F(x)=C$$ jollain reaalivakiolla $$C$$.

Määritelmä 5.2.4

Funktion $$f : I\to\R$$ integroimisella tarkoitetaan kaikkien funktion $$f$$ integraalifunktioiden määrittämistä välillä $$I$$. Funktion $$f$$ integraalifunktiolle $$F$$ käytetään merkintää

$F(x)=\int f(x)\,\d x.$

Merkinnän katsotaan sisältävän kaikki funktion $$f$$ integraalifunktiot, joten integroimisvakiota ei tässä merkinnässä yleensä kirjoiteta näkyviin.

Esimerkki 5.2.5

Integroinnin tulokset voi tarkastaa derivoimalla. Esimerkiksi on helppo nähdä, että

\begin{split}\begin{aligned} \int13x^3\,\d x&=\frac{13}{4}x^4+C,\\ \int\sin(3x)\,\d x&=-\frac13\cos(3x)+C,\\ \int e^{-9x}\,\d x&=-\frac19e^{-9x}+C. \end{aligned}\end{split}

Integraalifunktion määritelmästä ja sen vakiota vaille yksikäsitteisyydestä seuraa suoraan, että integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita. Toisin sanoen, mikäli funktiolla $$f$$ on integraalifunktio välillä $$I$$, niin

$D\int f(x)\,\d x=f(x)$

ja mikäli $$f$$ on derivoituva välillä $$I$$, niin

$\int f'(x)\,\d x=f(x)+C.$

Integraalifunktioista puhuttaessa on oleellista, että tarkastelujoukkona $$I$$ on väli, kuten seuraava esimerkki osoittaa.

Esimerkki 5.2.6

Funktioille $$F(x)=1$$ ja

$\begin{split}G(x)=\begin{cases} 0,&\text{kun }x<0\\ 1,&\text{kun }x>0 \end{cases}\end{split}$

on $$F'(x)=G'(x)=0$$ kaikilla $$x\ne0$$, mutta silti $$F(x)\ne G(x)+C$$.

Seuraavassa lauseessa todetaan, että integrointi on lineaarinen operaatio, eli se toteuttaa samat vakion siirron ja summan laskusäännöt kuin derivaattakin.

Lause 5.2.7

Olkoot $$f,g : I \to \R$$ funktioita ja $$c$$ reaaliluku. Tällöin

\begin{split}\begin{aligned} \int cf(x)\,\d x&=c\int f(x)\,\d x,\\ \int(f(x)+g(x))\,\d x&=\int f(x)\,\d x+\int g(x)\,\d x. \end{aligned}\end{split}
Todistus
Väitteet seuraavat suoraan derivoinnin lineaarisuudesta. Jos $$F(x)$$ on funktion $$f(x)$$ jokin integraalifunktio, niin $$cf(x)=c(DF(x))=D(cF(x))$$, joten funktiolla $$cf(x)$$ on integraalifunktio $$cF(x)$$. Toinen väite vastaavasti.
Integrointi on lineaarinen operaatio. Tämä tarkoittaa, että

Esimerkki 5.2.8

Lineaarisuutta käyttäen

\begin{split}\begin{aligned} \int 2x(\sqrt{x}-1)\,\d x&=\int\big(2x^{3/2}-2x\big)\,\d x =2\int x^{3/2}\,\d x-\int2x\,\d x\\ &=2\cdot\frac25x^{5/2}-x^2+C =\frac45 x^2\sqrt{x}-x^2+C. \end{aligned}\end{split}

Kaikilla funktioilla ei ole integraalifunktiota.

Esimerkki 5.2.9

Olkoon funktio $$f : \R\to\R$$ määritelty asettamalla

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} 0, &\text{kun}\ x<0\\ 1, &\text{kun}\ x\ge0. \end{cases}\end{split}$

Oletetaan, että sillä on integraalifunktio $$F : \R\to\R$$. Silloin

$\begin{split}F(x)=\begin{cases} C, &\text{kun}\ x<0\\ x+D, &\text{kun}\ x>0. \end{cases}\end{split}$

Koska $$F$$ on derivoituva pisteessä $$x=0$$, niin $$F$$ on jatkuva pisteessä $$x=0$$ ja siis $$C=D$$. Nyt funktion $$F$$ kuvaajalla on kulma pisteessä $$x=0$$, eikä $$F$$ täten ole derivoituva, kun $$x=0$$. Tämä ristiriita osoittaa, että funktiolla $$f$$ ei voi olla integraalifunktiota.

Integraalifunktion olemassaoloa pohditaan tarkemmin myöhemmin. Hyvä uutinen on, että jokaisella jatkuvalla funktiolla (ja monilla muillakin funktioilla) on integraalifunktio. Huono uutinen on, että monesti yksinkertaisenkaan näköisen jatkuvan funktion $$f$$ integraalifunktiota $$F$$ ei voida esittää äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi

$\frac{\sin x}{x},\qquad\frac{1}{\ln x},\qquad\frac{e^x}{x}\qquad \text{ja}\qquad e^{x^2}.$

Seuraavassa, integrointitekniikkaan omistautuneessa luvussa käydään läpi joitakin tapoja laskea integraalifunktio silloin, kun sille on lauseke olemassa.

Palautusta lähetetään...