$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# Määrätty integraali¶

Jos $$a_1,a_2,\ldots,a_n$$ ovat reaalilukuja, niin merkitään

$\sum_{i=1}^na_i=a_1+a_2+\cdots+a_n.$

Esimerkiksi

$\sum_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=1+4+9+16+25=55.$

Summausindeksin nimi voidaan valita vapaasti, joskin yleensä käytetään kirjainta $$i$$, $$j$$, $$k$$, $$l$$, $$m$$ tai $$n$$. Indeksointi voidaan aloittaa muustakin indeksistä kuin $$1$$. Esimerkiksi edellinen summa voidaan kirjoittaa

$\sum_{i=1}^5i^2=\sum_{k=1}^5k^2=\sum_{j=2}^6(j-1)^2=\sum_{j=0}^4(j+1)^2.$

Jos termeillä on yhteinen tekijä $$c$$, niin voidaan laskea

$\sum_{i=1}^nca_i =(ca_1)+(ca_2)+\cdots+(ca_n) =c(a_1+a_2+\cdots+a_n) =c\sum_{i=1}^na_i$

eli

$\sum_{i=1}^nca_i=c\sum_{i=1}^na_i.$

$\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i.$

Esimerkiksi

$\sum_{i=1}^5(7i^2-4i) =7\sum_{i=1}^5i^2-4\sum_{i=1}^5i =7\cdot55-4\cdot15=325.$

Tärkeä erikoistapaus on vakiotermin $$c$$ summa

$\sum_{i=1}^nc=\underbrace{c+c+\cdots+c}_{n\text{ kappaletta}}=nc.$

Erityisesti

$\sum_{i=1}^n1=n.$

Merkin vaihtelu saadaan aikaan luvun $$-1$$ potensseilla, sillä

$\begin{split}(-1)^i = \begin{cases} -1,&\text{kun } i \text{ on pariton}\\ 1,&\text{kun } i \text{ on parillinen.} \end{cases}\end{split}$

Esimerkiksi

$\sum_{i=1}^5(-1)^ii=-1+2-3+4-5=-3$

ja

$\sum_{i=1}^5\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}=1-\frac14+\frac19-\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{821}{979}.$

Palataan nyt osion alussa esitettyyn pinta-alaongelmaan.

Olkoon $$f : [a,b]\to\R$$ rajoitettu funktio. Jaetaan väli $$[a,b]$$ osaväleihin jakopisteillä

$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b.$

Jakopisteiden muodostamaa joukkoa $$P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$$ kutsutaan välin $$[a,b]$$ jaoksi (partition). Valitaan jokaiselta osaväliltä $$[x_{i-1},x_i]$$ piste $$x_i^*$$ ja merkitään $$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$$, eli $$\Delta x_i$$ on osavälin $$i$$ pituus. Jaon normiksi $$|P|$$ sanotaan pisimmän osavälin pituutta. Toisin sanoen $$|P|=\max\{\Delta x_i : i=1,2,\ldots,n\}$$. Summaa

(1)$R=\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$

kutsutaan jakoon $$P$$ ja pisteisiin $$x_i^*$$ liittyväksi Riemannin summaksi.

Jos $$f(x)\ge0$$, niin Riemannin summan kukin termi on kuvan mukaisen suorakulmion pinta-ala, joten se antaa arvion funktion $$f$$ kuvaajan ja $$x$$-akselin väliin jäävän joukon pinta-alalle välillä $$[a,b]$$. Geometrisesti on ilmeistä, että arvio paranee, kun osavälijakoa tihennetään, eli kun $$|P|\to0$$. Tämä antaa motivaation integraalin määrittelemiseksi.

Määritelmä 5.5.1

Olkoon $$f : [a,b]\to\R$$ rajoitettu funktio. Jos raja-arvo

$I=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$

on olemassa, niin sanotaan, että $$f$$ on integroituva (integrable) välillä $$[a,b]$$ ja luku $$I$$ on funktion $$f$$ (määrätty) integraali (integral) yli välin $$[a,b]$$. Tällöin merkitään

$I=\int_a^bf(x)\,\d x=\int_a^bf.$

Riemannin summalla määritellystä integroituvuudesta ja integraalista käytetään myös nimityksiä Riemann-integroituva ja Riemann-integraali. Integroituvasta funktiosta $$f$$ käytetään nimitystä integraalin integrandi.

Määritelmän raja-arvo tarkoittaa tarkemmin ottaen seuraavaa. Raja-arvo on $$I$$, jos jokaista $$\varepsilon>0$$ kohti löydetään sellainen $$\delta>0$$, että

$\left|I-\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i\right|<\varepsilon,$

olivatpa pisteet $$x_i^*$$ mitkä tahansa ja $$P$$ mikä tahansa välin $$[a,b]$$ jako, jolle $$|P|<\delta$$.

Geometrinen tulkinta integraalin määritelmälle on, että jos $$f(x)\ge0$$ ja $$f$$ on integroituva, niin reaaliluku

$\int_a^bf(x)\,\d x$

on funktion $$f$$ kuvaajan ja $$x$$-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $$[a,b]$$. Jos $$f(x)\le0$$, niin funktion $$f$$ kuvaajan ja $$x$$-akselin väliin jäävä pinta-ala on

$-\int_a^bf(x)\,\d x.$

Seuraavan lauseen otamme käyttöön todistamatta. Täsmällisessä todistuksessa tarvitaan tasaisen jatkuvuuden (uniform continuity) käsitettä. Intuitiivisesti tulos on kuitenkin selvä, sillä äärellisellä välillä jatkuva funktio voi rajata vain äärellisen pinta-alan ja on näin sen on oltava integroituva.

Kun Riemannin summassa pisimmän osavälin pituus lähenee nollaa,

Lause 5.5.2

Suljetulla välillä $$[a,b]$$ jatkuva funktio on integroituva välillä $$[a,b]$$.

Esimerkki 5.5.3

Laske $$\displaystyle\int_0^1x^2\,\d x$$.

Ratkaisu

Olkoon $$n$$ luonnollinen luku ja valitaan välille $$[0,1]$$ kullakin $$n$$ tasavälinen jako, jonka jakopisteinä ovat $$x_i=\frac{i}{n}$$, $$i=0,1,2,\ldots,n$$. Tällöin kunkin jakovälin pituus on $$\frac{1}{n}$$. Pisteiksi $$x_i^*$$ valitaan jakovälien oikeanpuoleiset päätepisteet, eli $$x_i^*=\frac{i}{n}$$. Nyt

\begin{split}\begin{aligned} R&=\sum_{i=1}^n(x_i^*)^2\Delta x_i =\sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\right)^2\frac{1}{n} =\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2\\ &=\frac{1}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \end{aligned}\end{split}

missä summakaava

$\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

voidaan todistaa induktiolla. Funktio $$x^2$$ on jatkuva välillä $$[0,1]$$, joten se on integroituva ja siis Riemannin summat suppenevat kohti integraalia, kun $$|P|\to0$$. Nyt kun $$n\to\infty$$, niin $$|P|\to0$$, joten

\begin{split}\begin{aligned} \int_0^1x^2\,\d x &=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\,\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2+\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{6}=\frac13. \end{aligned}\end{split}

Pian perustellaan integraalifunktioon perustuva tapa laskea määrättyjä integraaleja.

Lause 5.5.4

Olkoot $$f$$ ja $$g : [a,b]\to\R$$ välillä $$[a,b]$$ integroituvia, sekä $$c$$ reaaliluku. Tällöin

1. $$\displaystyle\int_a^b cf(x)\,\d x=c\int_a^b f(x)\,\d x$$,
2. $$\displaystyle\int_a^b(f(x)+g(x))\,\d x=\int_a^b f(x)\,\d x+\int_a^b g(x)\,\d x$$,
3. $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x=\int_a^c f(x)\,\d x+\int_c^b f(x)\,\d x$$, kun $$a < c < b$$,
4. jos $$f(x)\le g(x)$$ kaikilla $$x\in[a,b]$$, niin $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\d x\le\int_a^b g(x)\,\d x$$,
5. $$\displaystyle\bigg\vert\int_a^b f(x)\,\d x\bigg\vert\le\int_a^b|f(x)|\,\d x$$.

Perustele väitteet ensin kuvien avulla pinta-alatulkintaa käyttäen. Kohtien 1 ja 2 mukaan integrointi on integroitavan funktion suhteen lineaarinen operaatio.

Todistus

Väitteiden täsmällinen todistaminen vaatisi integraalin määritelmän raja-arvon tarkkaa analysointia eri jaoilla ja jakopisteillä. Kaavojen todistusta voidaan kuitenkin luonnostella seuraavaan tapaan. Tarkastellaan kohtia 2 ja 3.

1. Käytetään jakoa $$P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$$. Voidaan laskea, että
\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b(f(x)+g(x))\,\d x &=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^n(f(x_i^*)+g(x_i^*))\Delta x_i\\ &=\lim_{|P|\to0}\left(\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i+\sum_{i=1}^ng(x_i^*)\Delta x_i\right)\\ &=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i+\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^ng(x_i^*)\Delta x_i\\ &=\int_a^b f(x)\,\d x+\int_a^b g(x)\,\d x. \end{aligned}\end{split}
1. Käytetään väleillä $$[a,c]$$ ja $$[c,b]$$ jakoja
$P_1=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\qquad\text{ja}\qquad P_2=\{x_n,x_{n+1},\ldots,x_{2n}\}$

vastaavassa järjestyksessä. Nyt $$P=P_1\cup P_2=\{x_0,x_1,\ldots,x_{2n}\}$$ on välin $$[a,b]$$ jako ja

\begin{split}\begin{aligned} \int_a^bf(x)\,\d x &=\lim_{|P|\to0}\sum_{i=1}^{2n}f(x_i^*)\Delta x_i\\ &=\lim_{|P|\to0}\left(\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i+\sum_{i=n+1}^{2n}f(x_i^*)\Delta x_i\right)\\ &=\lim_{|P_1|\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\Delta x_i+\lim_{|P_2|\to0}\sum_{i=n+1}^{2n}f(x_i^*)\Delta x_i\\ &=\int_a^c f(x)\,\d x+\int_c^b f(x)\,\d x. \end{aligned}\end{split}

Näissä kohdissa integraalin ominaisuudet siis palautuvat raja-arvon vastaaviin ominaisuuksiin.

Sovitaan, että jos $$a<b$$, niin merkitään

\begin{aligned} \int_a^af(x)\,\d x=0\qquad\text{ja}\qquad\int_b^a f(x)\,\d x=-\int_a^bf(x)\,\d x. \end{aligned}

Silloin integraalin ominaisuuksia koskevan lauseen 5.5.4 kohta 3 on voimassa, olivatpa $$a$$, $$b$$ ja $$c$$ missä järjestyksessä tahansa tai vaikka yhtäsuuria, kunhan $$f$$ ja $$g$$ ovat integroituvia kyseisillä väleillä.

Voidaan osoittaa, että jatkuvien funktioiden lisäksi myös paloittain jatkuvat funktiot ovat integroituvia. Monesti paloittain jatkuvan funktion integraali lasketaan laskemalla integraali erikseen kullakin välillä, jolla $$f$$ on jatkuva ja laskemalla nämä integraalit yhteen kohdan 3 mukaisesti. Funktion $$f : [a,b]\to\R$$ integroituvuuteen tai integraaliin ei vaikuta sen arvojen muuttaminen äärellisen monessa välin $$[a,b]$$ pisteessä, joten paloittain jatkuvan funktion arvoilla hyppäyspisteissä ei ole merkitystä.

Määrätylle integraalille ei ole voimassa

Esimerkki 5.5.5

Kaikki rajoitetut funktiot eivät ole integroituvia. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota $$f : [0,1]\to\R$$,

$\begin{split}f(x)=\begin{cases} 0, &\text{kun}\ x\in\R\setminus\Q\\ 1, &\text{kun}\ x\in\Q. \end{cases}\end{split}$

Jos $$P$$ on mikä tahansa välin $$[0,1]$$ jako, voidaan yhtäältä jokaiselta osaväliltä valita $$x_i^*\in\R\setminus\Q$$, jolloin Riemannin summa on $$0$$, tai toisaalta jokaiselta osaväliltä $$x_i^*\in\Q$$, jolloin Riemannin summa on $$1$$. Täten Riemannin summilla ei voi olla raja-arvoa.

Voidaan ajatella, että tässä lähdetään liikkeelle nollafunktiosta, jonka arvoja muutetaan kaikissa rationaalipisteissä. Jos arvoja olisi muutettu vain äärellisen monessa pisteessä, niin $$f$$ olisi paloittain jatkuvana funktiona integroituva ja integraali olisi $$0$$.

Lause 5.5.6

Jos $$c\in\R$$ on vakio, niin

$\int_a^bc\,\d x=c(b-a).$

Tämä tulos on geometrisesti ilmeinen, koska tapauksessa $$c>0$$ laskettavana on sellaisen suorakulmion pinta-ala, jonka kanta on $$b-a$$ ja korkeus $$c$$.

Todistus

Valitaan mikä tahansa välin $$[a,b]$$ jako ja jakopisteet. Tällöin

$\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i =\sum_{i=1}^nc\Delta x_i =c\sum_{i=1}^n\Delta x_i =c(b-a).\qedhere$

Esimerkki 5.5.7

Osoita, että $$\displaystyle\frac{\pi}{8}\le\int_0^{\pi/4}\frac{1}{1+\cos^2x}\,\d x\le\frac{\pi}{6}$$.

Ratkaisu

Koska $$\frac{1}{\sqrt{2}}\le\cos x\le1$$ aina, kun $$x\in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$, niin $$\frac{1}{2}\le\cos^2 x\le1$$ ja täten

$\frac12=\frac{1}{1+1}\le\frac{1}{1+\cos^2x}\le\frac{1}{1+\frac12}=\frac23$

kaikilla välin $$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$ pisteillä $$x$$. Niinpä lauseen 5.5.6 ja integraalien ominaisuuden 4 mukaan

$\frac{\pi}{8}=\int_0^{\pi/4}\frac12\,\d x\le\int_0^{\pi/4}\frac{1}{1+\cos^2x}\,\d x\le\int_0^{\pi/4}\frac23\,\d x=\frac{\pi}{6}.\qedhere$

Jos $$f : [a,b]\to\R$$ on jatkuva, niin on olemassa sellainen välin $$[a, b]$$ piste $$c$$, että

$\int_a^bf(x)\,\d x=f(c)(b-a).$
Todistus

Suljetulla ja rajoitetulla välillä $$[a,b]$$ jatkuvana funktiona $$f$$ saavuttaa siellä pienimmän arvonsa $$m$$ ja suurimman arvonsa $$M$$. Nyt $$m\le f(x)\le M$$ kaikilla $$x\in[a,b]$$, joten integraalien ominaisuuden 4 mukaan

\begin{aligned} \int_a^bm\,\d x\le\int_a^bf(x)\,\d x\le\int_a^bM\,\d x. \end{aligned}

$m(b-a)\le\int_a^bf(x)\,\d x\le M(b-a),$

joten

$m\le\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\d x\le M.$

Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen mukaan $$f$$ jatkuvana funktiona saavuttaa kaikki pienimmän arvonsa $$m$$ ja suurimman arvonsa $$M$$ väliset arvot, joten se saavuttaa eräässä välin $$[a, b]$$ pisteessä $$c$$ arvon

$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\d x.\qedhere$

Olkoon $$c$$ kuten edellisessä lauseessa. Silloin

\begin{split}\begin{aligned} \int_a^b(f(x)-f(c))\,\d x &=\int_a^bf(x)\,\d x-\int_a^bf(c)\,\d x\\ &=\int_a^bf(x)\,\d x-f(c)(b-a)\\ &=\int_a^bf(x)\,\d x-\int_a^bf(x)\,\d x =0. \end{aligned}\end{split}

Niinpä funktion $$f(x)-f(c)$$ kuvaajan ja $$x$$-akselin väliin jäävästä pinta-alasta on yhtä paljon $$x$$-akselin ala- kuin yläpuolella. Siis funktion $$f(x)$$ kuvaajan ja suoran $$y=f(c)$$ väliin jäävästä pinta-alasta on yhtä paljon suoran $$y=f(c)$$ ala- kuin yläpuolella.

Tällä perusteella arvoa $$f(c)$$ voidaan sanoa funktion $$f$$ keskiarvoksi välillä $$[a,b]$$. Keskiarvo voidaan määritellä myös niille integroituville funktioille, jotka eivät ole jatkuvia.

Määritelmä 5.5.9

Integroituvan funktion $$f : [a,b]\to\R$$ keskiarvo (average value) on luku

$\overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\d x.$

Integraalilaskennan väliarvolause voidaan nyt muotoilla niin, että “jatkuva funktio saavuttaa keskiarvonsa”. Seuraava tärkeä integraalilaskennan väliarvolauseen sovellus on analyysin peruslause.

Lause 5.5.10 (Analyysin peruslause)

Jos $$f : [a,b]\to\R$$ on jatkuva, niin funktion $$f$$ määrätty integraali ylärajansa funktiona

$F(x)=\int_a^xf(t)\,\d t$

on derivoituva funktio ja $$F'(x)=f(x)$$ aina, kun $$x\in[a,b]$$.

Todistus

Tutkitaan funktion $$F$$ erotusosamäärää pisteessä $$x$$. Oletetaan, että $$h>0$$ (tapaus $$h<0$$ käsitellään vastaavasti). Käyttäen tietoa

$\int_a^{x+h}f(t)\,\d t=\int_a^xf(t)\,\d t+\int_x^{x+h}f(t)\,\d t$

sovelletaan integraalilaskennan väliarvolausetta välillä $$[x,x+h]$$ ja saadaan

\begin{split}\begin{aligned} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} &=\frac{1}{h}\left(\int_a^{x+h}f(t)\,\d t-\int_a^xf(t)\,\d t\right)\\ &=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,\d t=f(c), \end{aligned}\end{split}

missä $$c$$ on lukujen $$x$$ ja $$x+h$$ välissä. Koska $$c\to x$$, kun $$h\to0$$, niin

$F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}f(c)=\lim_{c\to x}f(c)=f(x),$

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa funktion $$f$$ jatkuvuudesta.

Lause 5.5.11

Jos $$G$$ on jokin funktion $$f$$ integraalifunktio, niin

$\int_a^bf(x)\,\d x=G(b)-G(a)=:\sij{a}{b} G(x).$
Todistus

Olkoon $$G$$ mikä tahansa funktion $$f$$ integraalifunktio ja

$F(x)=\int_a^xf(t)\,\d t,$

joka myös on analyysin peruslauseen mukaan funktion $$f$$ integraalifunktio. Kaikki integraalifunktiot eroavat vakiolla, joten $$G(x)=F(x)+C$$ jollakin reaaliluvulla $$C$$. Nyt

$G(b)-G(a)=\left(\int_a^bf(t)\,\d t+C\right)-\left(\int_a^af(t)\,\d t+C\right)=\int_a^bf(t)\,\d t.\qedhere$

Esimerkki 5.5.12

Lauseen 5.5.11 mukaan

1. $$\displaystyle\int_{-1}^3(5x^2+2)\,\d x=\sij{-1}{3}\Big(\frac53x^3+2x\Big)=51-\Big(-\frac{11}{3}\Big)=\frac{164}{3}$$,
2. $$\displaystyle\int_1^2\frac{x}{x^2+1}\,\d x=\frac{1}{2}\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}\,\d x =\frac12\sij{1}{2}\ln(x^2+1)=\frac12(\ln 5-\ln2)$$.

Esimerkki 5.5.13

Derivoi funktiot $$\displaystyle F(x)=\int_{-3}^xe^{-t^2}\,\d t$$ ja $$\displaystyle G(x)=\int_{x^2}^{x^3}e^{-t^2}\,\d t$$.

Ratkaisu

Analyysin peruslauseen mukaan $$F'(x)=e^{-x^2}$$. Funktiota $$G$$ varten voidaan kirjoittaa

$G(x)=\int_{x^2}^0e^{-t^2}\,\d t+\int_0^{x^3}e^{-t^2}\,\d t =-\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,\d t+\int_0^{x^3}e^{-t^2}\,\d t.$

Merkitsemällä

$H(y)=\int_0^ye^{-t^2}\,\d t,\qquad f(x)=x^2\qquad\text{ja}\qquad g(x)=x^3$

voidaan $$G$$ ilmoittaa muodossa $$G(x)=-H(f(x))+H(g(x))$$, joten ketjusääntöä ja analyysin peruslausetta soveltaen saadaan

$G'(x)=-H'(f(x))f'(x)+H'(g(x))g'(x) =-2xe^{-x^4}+3x^2e^{-x^6}.\qedhere$

Seuraava lause seuraa suoraan analyysin peruslauseesta.

Lause 5.5.14

Jatkuvalla funktiolla $$f : I\to\R$$ on integraalifunktio $$F : I\to\R$$.

Huomautus 5.5.15

Jatkuva funktio $$f : [a,b]\to\R$$ on siis aina integroituva ja sillä on integraalifunktio, jonka avulla määrätty integraali voidaan laskea. Yleisesti ottaen tilanne on hieman mutkikkaampi.

1. Myös epäjatkuvalla funktiolla voi olla integraalifunktio. Esimerkiksi tällaisesta tapauksesta käy funktio $$F : \R\to\R$$, jolle $$F(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$$, kun $$x\ne0$$, ja $$F(0)=0$$. Funktiolla $$F$$ on pisteessä $$0$$ epäjatkuva derivaatta $$F'(x)=f(x)$$, joten $$F$$ on funktion $$f$$ integraalifunktio.
2. Integroituvalla funktiolla ei välttämättä ole integraalifunktiota. Esimerkiksi integraalifunktiota käsittelevän luvun esimerkin hyppyfunktio on integroituva välillä $$[-1,1]$$, mutta sillä ei ole integraalifunktiota.
3. Integraalifunktion olemassaolosta ei välttämättä seuraa integroituvuus.

Huomautus 5.5.16

1. Tulon derivointisäännön ja analyysin peruslauseen seurauksen mukaan

$\int_a^b\left(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\right)\,\d x=\sij{a}{b}f(x)g(x),$

josta saadaan osittaisintegrointikaava määrättylle integraalille, eli

(2)$\int_a^b f'(x)g(x)\,\d x=\sij{a}{b}f(x)g(x)-\int_a^b f(x)g'(x)\,\d x.$
2. Myös sijoitusta voidaan soveltaa. On vain muistettava laskea sijoitusfunktion $$u=u(x)$$ määräämät uudet rajat.

(3)$\int_a^bf(u(x))u'(x)\,\d x=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,\d u.$

Nyrkkisääntönä on hyvä pitää mielessä, että sijoitusta tehtäessä kaikki, eli integrandi $$f(x)$$, diffentiaalimuoto $$\d x$$ ja rajat, on lausuttava funktion $$u$$ avulla.

Esimerkki 5.5.17

1. $$\displaystyle\int_0^1 xe^{-x}\,\d x$$,
2. $$\displaystyle\int_1^2\frac{\d x}{(1+2x)^2}$$,
3. $$\displaystyle\int_{-1}^2\frac{x}{x^4+1}\,\d x$$,
4. $$\displaystyle\int_{-1/3}^2\frac{x}{\sqrt[3]{3x+2}}\,\d x$$.
Ratkaisu
1. Osittaisintegroidaan kuten esimerkissä 5.3.2, eli valitaan $$f'(x)=e^{-x}$$ ja $$g(x)=x$$, jolloin $$f(x)=-e^{-x}$$ ja $$g'(x)=1$$ ja täten

\begin{aligned} \int_0^1 xe^{-x}\,\d x=-\sij{0}{1}xe^{-x}+\int_0^1e^{-x}\,\d x= -\frac{1}{e}-\sij{0}{1}e^{-x}=1-\frac{2}{e}. \end{aligned}
2. Sijoitetaan $$u=1+2x$$, jolloin $$\d u=2\,\d x$$. Uusiksi rajoiksi saadaan $$u(1)=3$$ ja $$u(2)=5$$. Näin ollen

$\int_1^2\frac{\d x}{(1+2x)^2} =\frac12\int_3^5\frac{\d u}{u^2} =-\frac12\sij{3}{5}\frac{1}{u}=\frac{1}{15}.$
3. Kuten esimerkissä 5.3.8, sijoitetaan $$u=x^2$$, jolloin $$\d u=2x\,\d x$$. Uusiksi rajoiksi saadaan $$u(-1)=1$$ ja $$u(2)=4$$, joten

\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1}^2\frac{x}{x^4+1}\,\d x&=\frac12\int_{1}^4\frac{\d u}{u^2+1} =\frac12\sij{1}{4}\arctan u\\ &=\frac12(\arctan 4-\arctan 1)=\frac12\arctan 4-\frac\pi8. \end{aligned}\end{split}
4. Sijoitetaan $$u=\sqrt[3]{3x+2}$$, jolloin

\begin{aligned} \frac{\d u}{\d x}&=\frac{\d}{ \d x}(3x+2)^{1/3} =(3x+2)^{-2/3}=\frac{1}{(\sqrt[3]{3x+2})^2}=\frac{1}{u^2}, \end{aligned}

eli $$\d x=u^2\,\d u$$. Lisäksi sijoitusta varten ratkaistaan $$x=\frac{u^3-2}{3}$$. Uusiksi rajoiksi saadaan $$u(-1/3)=1$$ ja $$u(2)=2$$, ja näin ollen

\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1/3}^2\frac{x}{\sqrt[3]{3x+2}}\,\d x &=\int_1^2\frac{u^3/3-2/3}{u}\,u^2\,\d u =\frac13\int_1^2(u^4-2u)\,\d u\\ &=\frac13\sij{1}{2}\Big(\frac{u^5}{5}-u^2\Big)=\frac{16}{15}. \end{aligned}\end{split}
Palautusta lähetetään...