$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

Rationaalifunktion integrointi¶

Rationaalifunktio on muotoa

$\frac{p(x)}{q(x)},$

missä $$p$$ ja $$q$$ ovat reaalikertoimisia polynomifunktioita. Jokainen rationaalifunktio voidaan integroida alkeisfunktioita käyttäen. Tarkastellaan seuraavassa integrointimenetelmän vaiheita.

Jos polynomin $$p$$ aste on suurempi tai yhtä suuri kuin polynomin $$q$$ aste, niin jakolaskulla saadaan

$\frac{p(x)}{q(x)}=r(x)+\frac{s(x)}{q(x)},$

missä $$r$$ ja $$s$$ ovat polynomeja ja polynomin $$s$$ aste on pienempi kuin polynomin $$q$$ aste.

Esimerkki 5.4.1

Laske $$\displaystyle\int \frac{x^3+x-2}{x+1}\,\d x$$.

Ratkaisu

Integroitavan rationaalifunktion osoittajan polynomin aste on korkempi kuin nimittäjän, joten se voidaan jakaa jakokulmassa:

Jakokulmasta nähdään, että jako ei mene tasan ja siis

$\frac{x^3+x-2}{x+1}=x^2-x+2-\frac{4}{x+1}.$

Näin ollen

$\int \frac{x^3+x-2}{x+1}\,\d x=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x-4\ln|x+1|+C.\qedhere$

Kuten edellisestä esimerkistäkin nähtiin, polynomi $$r$$ osataan helposti integroida, joten riittää osata integroida $$p(x)/q(x)$$ tapauksessa, jossa polynomin $$p$$ aste on pienempi kuin polynomin $$q$$ aste. Oletetaan seuraavassa, että näin on (tee ensin tarvittaessa jakolasku). Polynomi $$q$$ voidaan jakaa mahdollisimman alhaista astetta oleviin 1. ja 2. asteen reaalikertoimisiin tekijöihin. Nyt

\begin{aligned} q(x)&=a(x-a_1)^{m_1}\cdots(x-a_j)^{m_j}(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_kx+c_k)^{n_k}, \end{aligned}

missä $$a\in\R$$, polynomin $$q$$ reaaliset erilliset nollakohdat ovat $$a_1,\ldots,a_j$$, $$m_i$$ on nollakohdan $$a_i$$ kertaluku ja polynomeilla $$x^2+b_ix+c_i$$ ei ole reaalisia nollakohtia. Tällöin rationaalifunktiolle $$p(x)/q(x)$$ voidaan muodostaa osamurtokehitelmä (partial fraction)

$\frac{p(x)}{q(x)}=F_1(x)+F_2(x)+\cdots+F_n(x),$

missä rationaalifunktiot $$F_\ell$$ (niin sanotut osamurtoluvut) muodostuvat seuraavasti. Jokaista polynomin $$q$$ muotoa $$(ax-b)^m$$ olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut

$\frac{A_1}{(ax-b)}+\frac{A_2}{(ax-b)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(ax-b)^m}$

ja jokaista polynomin $$q$$ muotoa $$(ax^2+bx+c)^n$$ olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut

$\frac{B_1x+C_1}{ax^2+bx+c}+\frac{B_2x+C_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\cdots+\frac{B_nx+C_n}{(ax^2+bx+c)^n}.$

Nämä osamurtoluvut ovat sellaista muotoa, jotka osataan integroida ja siten

$\int\frac{p(x)}{q(x)}\,\d x$

Valitse yksi oikea väittämä.

Esimerkki 5.4.2

Laske $$\displaystyle\int\frac{4x-9}{x^2-8x+15}\,\d x$$.

Ratkaisu

Nimittäjäpolynomilla $$x^2-8x+15$$ on kaksi nollakohtaa $$x=3$$ ja $$x=5$$, joten $$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$$. Niinpä

$\frac{4x-9}{x^2-8x+15}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-5}$

joillakin vakioilla $$A$$ ja $$B$$. Niiden selvittämiseksi lavennetaan oikean puolen termit samannimisiksi, jolloin

$\frac{4x-9}{x^2-8x+15}=\frac{A(x-5)+B(x-3)}{x^2-8x+15},$

eli on oltava

$\begin{split}\begin{cases} 4=A+B,\\ -9=-5A-3B, \end{cases}\end{split}$

josta $$A=-\frac{3}{2}$$ ja $$B=\frac{11}{2}$$. Siis

\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{4x-9}{x^2-8x+15}\,\d x &=-\frac{3}{2}\int\frac{\d x}{x-3}+\frac{11}{2}\int\frac{\d x}{x-5}\\ &=-\frac{3}{2}\ln|x-3|+\frac{11}{2}\ln|x-5|+C. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 5.4.3

Laske $$\displaystyle\int\frac{1}{x(x-1)^2}\,\d x$$.

Ratkaisu

Nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa, joten voidaan muodostaa osamurtokehitelmä

$\frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} =\frac{A(x^2-2x+1)+B(x^2-x)+Cx}{x(x-1)^2},$

josta vastinpotenssien kertoimia tutkimalla saadaan $$A=1$$, $$B=-1$$ ja $$C=1$$. Niinpä

\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{1}{x(x-1)^2}\,\d x &=\int\frac1x\,\d x-\int\frac{1}{x-1}\,\d x+\int\frac{1}{(x-1)^2}\,\d x\\ &=\ln|x|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C\\ &=\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}+C. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 5.4.4

Laske $$\displaystyle\int\frac{1}{x(x^2+1)^2}\,\d x$$.

Ratkaisu

Toisen asteen tekijällä $$x^2+1$$ ei ole reaalisia nollakohtia, joten nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa ja voidaan muodostaa osamurtokehitelmä

$\frac{1}{x(x^2+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}.$

Laventamalla saadaan $$A=1$$, $$B=-1$$, $$C=0$$, $$D=-1$$ ja $$E=0$$, joten

\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{1}{x(x^2+1)^2}\,\d x &=\int\frac{1}{x}\,\d x-\int\frac{x}{x^2+1}\,\d x-\int\frac{x}{(x^2+1)^2}\,\d x\\ &=\ln|x|-\frac12\ln(x^2+1)+\frac12\frac{1}{x^2+1}+C\\ &=\ln\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{2(x^2+1)}+C. \end{aligned}\end{split}

Muotoa

$\int\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\,\d x$

oleva osamurtoluvun integraali palautuu helpommin käsiteltävään muotoon täydentämällä jakaja neliöksi ja tekemällä sopiva sijoitus.

Esimerkki 5.4.5

Laske $$\displaystyle\int\frac{6x-11}{x^2-8x+25}\,\d x$$.

Ratkaisu

Nimittäjällä ei ole nollakohtia, joten integroitava funktio on valmiiksi osamurtomuodossa. Neliöimällä nimittäjä saadaan

$x^2-8x+25=x^2-8x+16+9=(x-4)^2+9.$

Sijoitetaan $$u=x-4$$, jolloin $$(x-4)^2+9=u^2+9$$, $$x=u+4$$ ja $$\d x=\d u$$. Siis

\begin{split}\begin{aligned} \int\frac{6x-11}{x^2-8x+25}\,\d x &=6\int\frac{u}{u^2+9}\,\d u+13\int\frac{\d u}{u^2+9}\\ &=3\ln\big(u^2+9\big)+\frac{13}{3}\arctan\frac{u}{3}+C\\ &=3\ln\big(x^2-8x+25\big)+\frac{13}{3}\arctan\frac{x-4}{3}+C. \end{aligned}\end{split}
Palautusta lähetetään...