\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]
Rationaalifunktion integrointi
Rationaalifunktio on muotoa
\[\frac{p(x)}{q(x)},\]
missä \(p\) ja \(q\) ovat reaalikertoimisia polynomifunktioita. Jokainen rationaalifunktio voidaan integroida alkeisfunktioita käyttäen. Tarkastellaan seuraavassa integrointimenetelmän vaiheita.
Jos polynomin \(p\) aste on suurempi tai yhtä suuri kuin polynomin \(q\) aste, niin
jakolaskulla saadaan
\[\frac{p(x)}{q(x)}=r(x)+\frac{s(x)}{q(x)},\]
missä \(r\) ja \(s\) ovat polynomeja ja polynomin \(s\) aste on pienempi kuin
polynomin \(q\) aste.
Esimerkki 5.4.1
Laske \(\displaystyle\int \frac{x^3+x-2}{x+1}\,\d x\).
Ratkaisu
Integroitavan rationaalifunktion osoittajan polynomin aste on korkempi kuin nimittäjän, joten se voidaan jakaa jakokulmassa:
Jakokulmasta nähdään, että jako ei mene tasan ja siis
\[\frac{x^3+x-2}{x+1}=x^2-x+2-\frac{4}{x+1}.\]
Näin ollen
\[\int \frac{x^3+x-2}{x+1}\,\d x=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x-4\ln|x+1|+C.\qedhere\]
Kuten edellisestä esimerkistäkin nähtiin, polynomi \(r\) osataan helposti integroida, joten riittää osata integroida \(p(x)/q(x)\) tapauksessa, jossa polynomin \(p\) aste on pienempi kuin polynomin \(q\) aste. Oletetaan seuraavassa, että näin on (tee ensin tarvittaessa jakolasku). Polynomi \(q\) voidaan jakaa mahdollisimman alhaista astetta oleviin 1. ja 2. asteen reaalikertoimisiin tekijöihin. Nyt
\[\begin{aligned}
q(x)&=a(x-a_1)^{m_1}\cdots(x-a_j)^{m_j}(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_kx+c_k)^{n_k},
\end{aligned}\]
missä \(a\in\R\), polynomin \(q\) reaaliset erilliset nollakohdat ovat \(a_1,\ldots,a_j\), \(m_i\) on nollakohdan \(a_i\) kertaluku ja polynomeilla \(x^2+b_ix+c_i\) ei ole reaalisia nollakohtia. Tällöin rationaalifunktiolle \(p(x)/q(x)\)
voidaan muodostaa osamurtokehitelmä (partial fraction)
\[\frac{p(x)}{q(x)}=F_1(x)+F_2(x)+\cdots+F_n(x),\]
missä rationaalifunktiot \(F_\ell\) (niin sanotut osamurtoluvut) muodostuvat seuraavasti. Jokaista polynomin \(q\) muotoa \((ax-b)^m\) olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut
\[\frac{A_1}{(ax-b)}+\frac{A_2}{(ax-b)^2}+\cdots+\frac{A_m}{(ax-b)^m}\]
ja jokaista polynomin \(q\) muotoa \((ax^2+bx+c)^n\) olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut
\[\frac{B_1x+C_1}{ax^2+bx+c}+\frac{B_2x+C_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\cdots+\frac{B_nx+C_n}{(ax^2+bx+c)^n}.\]
Nämä osamurtoluvut ovat sellaista muotoa, jotka osataan integroida ja siten
\[\int\frac{p(x)}{q(x)}\,\d x\]
saadaan laskettua osamurtolukujen integraalien summana.
Esimerkki 5.4.2
Laske \(\displaystyle\int\frac{4x-9}{x^2-8x+15}\,\d x\).
Ratkaisu
Nimittäjäpolynomilla \(x^2-8x+15\) on kaksi nollakohtaa \(x=3\) ja \(x=5\), joten \(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\). Niinpä
\[\frac{4x-9}{x^2-8x+15}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-5}\]
joillakin vakioilla \(A\) ja \(B\). Niiden selvittämiseksi lavennetaan oikean puolen termit samannimisiksi, jolloin
\[\frac{4x-9}{x^2-8x+15}=\frac{A(x-5)+B(x-3)}{x^2-8x+15},\]
eli on oltava
\[\begin{split}\begin{cases}
4=A+B,\\
-9=-5A-3B,
\end{cases}\end{split}\]
josta \(A=-\frac{3}{2}\) ja \(B=\frac{11}{2}\). Siis
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int\frac{4x-9}{x^2-8x+15}\,\d x
&=-\frac{3}{2}\int\frac{\d x}{x-3}+\frac{11}{2}\int\frac{\d x}{x-5}\\
&=-\frac{3}{2}\ln|x-3|+\frac{11}{2}\ln|x-5|+C.
\end{aligned}\end{split}\]
Esimerkki 5.4.3
Laske \(\displaystyle\int\frac{1}{x(x-1)^2}\,\d x\).
Ratkaisu
Nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa, joten voidaan muodostaa osamurtokehitelmä
\[\frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}
=\frac{A(x^2-2x+1)+B(x^2-x)+Cx}{x(x-1)^2},\]
josta vastinpotenssien kertoimia tutkimalla saadaan \(A=1\), \(B=-1\) ja \(C=1\). Niinpä
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int\frac{1}{x(x-1)^2}\,\d x
&=\int\frac1x\,\d x-\int\frac{1}{x-1}\,\d x+\int\frac{1}{(x-1)^2}\,\d x\\
&=\ln|x|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C\\
&=\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}+C.
\end{aligned}\end{split}\]
Esimerkki 5.4.4
Laske \(\displaystyle\int\frac{1}{x(x^2+1)^2}\,\d x\).
Ratkaisu
Toisen asteen tekijällä \(x^2+1\) ei ole reaalisia nollakohtia, joten nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa ja voidaan muodostaa osamurtokehitelmä
\[\frac{1}{x(x^2+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}.\]
Laventamalla saadaan \(A=1\), \(B=-1\), \(C=0\), \(D=-1\) ja \(E=0\), joten
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int\frac{1}{x(x^2+1)^2}\,\d x
&=\int\frac{1}{x}\,\d x-\int\frac{x}{x^2+1}\,\d x-\int\frac{x}{(x^2+1)^2}\,\d x\\
&=\ln|x|-\frac12\ln(x^2+1)+\frac12\frac{1}{x^2+1}+C\\
&=\ln\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{2(x^2+1)}+C.
\end{aligned}\end{split}\]
Muotoa
\[\int\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\,\d x\]
oleva osamurtoluvun integraali palautuu helpommin käsiteltävään muotoon täydentämällä jakaja neliöksi ja tekemällä sopiva sijoitus.
Esimerkki 5.4.5
Laske \(\displaystyle\int\frac{6x-11}{x^2-8x+25}\,\d x\).
Ratkaisu
Nimittäjällä ei ole nollakohtia, joten integroitava funktio on valmiiksi osamurtomuodossa. Neliöimällä nimittäjä saadaan
\[x^2-8x+25=x^2-8x+16+9=(x-4)^2+9.\]
Sijoitetaan \(u=x-4\), jolloin \((x-4)^2+9=u^2+9\), \(x=u+4\) ja \(\d x=\d u\). Siis
\[\begin{split}\begin{aligned}
\int\frac{6x-11}{x^2-8x+25}\,\d x
&=6\int\frac{u}{u^2+9}\,\d u+13\int\frac{\d u}{u^2+9}\\
&=3\ln\big(u^2+9\big)+\frac{13}{3}\arctan\frac{u}{3}+C\\
&=3\ln\big(x^2-8x+25\big)+\frac{13}{3}\arctan\frac{x-4}{3}+C.
\end{aligned}\end{split}\]
