$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

# $${}^*$$Symbolinen ja numeerinen integrointi¶

## Symbolinen integrointi¶

Käytännössä integraalifunktioiden ja määrättyjen integraalien laskeminen perustuen integroimissääntöihin voi olla työlästä ja virhealtista. Onneksi on olemassa runsaasti symbolisen laskennan ohjelmistoja ja sovelluksia, joilla rutiini-integroinnit voidaan suorittaa. Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan kahta opintojen kannalta keskeistä sovellusta.

Esimerkki 6.4.1

Lasketaan esimerkin 5.5.17 kohdan 4 määrätty integraali kahdella eri sovelluksella.

Matlab ja sen Symbolic Math Toolbox:

syms x;
int(x/(3*x+2)^(1/3),x,-1/3,2)


antaa tulokseksi ans = 16/15.

int(x/(3*x+2)^(1/3),x,-1/3,2)


antaa tulokseksi

$\int_{-1/3}^2\frac{x}{\sqrt[3]{3x+2}}\,\d x=\frac{16}{15}\approx1.06667$

## Numeerinen integrointi¶

Sovelluksissa törmätään usein tilanteisiin, joissa

1. integrointi alkeisfunktioiden avulla ei onnistu (esimerkiksi $$f(x)=e^{x^2}$$) tai on vaikeaa,
2. funktion $$f$$ lauseketta ei tunneta, vaan tiedetään vain sen arvoja tietyissä pisteissä esimerkiksi mittaustuloksina.

Tällöin funktion $$f$$ integraalia voidaa arvioida numeerisella integroinnilla käyttäen funktion $$f$$ arvoja äärellisen monessa integroimisvälin pisteessä.

## Riemannin summa¶

Jos $$P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$$ on välin $$[a,b]$$ jako, niin mikä tahansa Riemannin summa antaa funktion $$f$$ integraalille välillä $$[a,b]$$ arvion

$\int_a^bf(x)\,\d x\approx\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i.$

Jos valitaan tasavälinen jako, jossa kunkin osavälin pituus on $$h$$, sievenee arvio muotoon

$\int_a^bf(x)\,\d x\approx h\sum_{i=1}^nf(x_i^*).$

Jos $$f$$ on ei-negatiivinen, niin geometrinen tulkinta arviolle on se, että jokaisella välillä $$[x_{i-1},x_i]$$ funktion $$f$$ kuvaajan ja $$x$$-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaa arvioidaan suorakulmion pinta-alalla (vertaa kuvaan Riemannin summasta).

Esimerkki 6.4.2

Arvioi integraalia

$\int_1^3\frac{\d x}{x}$

Riemannin summalla, kun käytetään tasavälistä jakoa, jolle $$n=6$$ ja $$x_i^*$$ on osavälin keskipiste.

Ratkaisu

Nyt $$h=\frac{b - a}{n}=\frac26=\frac13$$ ja välien keskipisteet ovat $$\frac76, \frac96,\ldots, \frac{17}{6}$$, joten

$\int_1^3\frac{\d x}{x} \approx\frac13\Big(f\left(\tfrac76\right)+f\left(\tfrac96\right)+\cdots+f\left(\tfrac{17}{6}\right)\Big)\approx1{,}094~581.$

Vertaa tarkkaan arvoon $$\ln(3)=1{,}098~612~288\cdots$$.

Käytännössä Riemannin summaa ei juurikaan käytetä integraalin arvioimiseen, sillä voidaan kehittää huomattavasti tehokkaampia menetelmiä, joissa samalla määrällä jakopisteitä (eli samalla vaivalla tai tietokoneajalla) päästään huomattavasti parempaan tarkkuuteen. Käsitellään seuraavassa kahta yksinkertaista menetelmää.

## Puolisuunnikassääntö¶

Puolisuunnikassäännön (trapezoid rule) ideana on (kun $$f$$ on ei-negatiivinen) käyttää funktion $$f$$ kuvaajan ja $$x$$-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan arvioinnissa suorakulmioiden sijasta puolisuunnikkaita. Ne saadaan aikaan korvaamalla funktion $$f$$ kuvaaja pisteiden $$(x_i,f(x_i))$$ kautta kulkevalla murtoviivalla. Käytetään tasavälistä jakoa, jossa osavälin pituus on $$h$$. Tällöin puolisuunnikkaan $$i$$ pinta-ala on

$\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h,$

ja pinta-alojen summa on

\begin{split}\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h\\ &=h\sum_{i=1}^n\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))\\ &=\frac{h}{2}\left(f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+\cdots+f(x_{n-1})+f(x_{n-1})+f(x_{n})\right). \end{aligned}\end{split}

Siis funktion $$f$$ integraalille saadaan arvio

(1)$\int_a^bf(x)\,\d x\approx h\left(\frac12f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac12f(x_n)\right).$

Arvio (1) on voimassa myös yleiselle $$f$$ (eli vaikka $$f$$ ei olisi ei-negatiivinen). Jos funktion $$g(x)$$ kuvaaja on pisteiden $$(x_i, f(x_i))$$ kautta kulkeva murtoviiva, niin välillä $$[x_{i-1},x_i]$$ on

$g(x)=f(x_{i-1})+\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}(x-x_{i-1}).$

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}g(x)\,\d x=\frac12(f(x_{i-1})+f(x_i))h$

ja summaamalla yli kaikkien osavälien

$\int_a^bg(x)\,\d x=h\left(\frac12f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+\frac12f(x_n)\right).$

Esimerkki 6.4.3

Arvioi puolisuunnikassäännöllä samaa integraalia kuin Riemannin summilla arvioitiin esimerkissä 6.4.2, kun käytetään tasavälistä jakoa, jolle $$n=6$$.

Ratkaisu

Nyt $$h=\frac13$$ ja jakopisteet ovat $$1, \frac43, \frac53,\ldots, 3$$, joten

$\int_1^3\frac{\d x}{x} \approx\frac13\Big(\frac12f(1)+f\left(\frac43\right)+f\left(\frac53\right)+\cdots+f\left(\frac83\right)+\frac12f(3)\Big)=1{,}106~746.\qedhere$

## Simpsonin sääntö¶

Yleensä vielä parempaan arvioon päädytään, jos suorien sijaan korvataan funktion $$f$$ kuvaaja paraabelin kaarilla. Simpsonin kaavassa käytetään kolmen peräkkäisen pisteen $$(x_i, f(x_i))$$, $$(x_{i + 1}, f(x_{i + 1}))$$ ja $$(x_{i + 2}, f(x_{i + 2}))$$ kautta kulkevaa paraabelia. Jako valitaan tasaväliseksi, jossa osavälin pituus on $$h$$ ja jossa on parillinen määrä osavälejä.

Oletetaan ensin, että $$x_0=-h$$, $$x_1=0$$ ja $$x_2=h$$. Olkoon $$y(x)=Ax^2+Bx+C$$ se toisen asteen polynomi, jonka kuvaaja kulkee pisteiden $$(x_0,f(x_0))$$, $$(x_1,f(x_1))$$ ja $$(x_2,f(x_2))$$ kautta. Nyt

\begin{split}\begin{aligned} \int_{x_0}^{x_2}y(x)\,\d x &=2\int_0^h(Ax^2+C)\,\d x =2\sij{0}{h}\left(\frac{A}{3}x^3+Cx\right)\\ &=2\left(\frac{A}{3}h^3+Ch\right) =\frac{h}{3}(2Ah^2+6C). \end{aligned}\end{split}

Kauttakulkuehdot ovat

\begin{split}\begin{aligned} f(x_0)&=y(x_0)=Ah^2-Bh+C,\\ f(x_1)&=y(x_1)=C,\\ f(x_2)&=y(x_2)=Ah^2+Bh+C, \end{aligned}\end{split}

joten $$f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)=2Ah^2+6C$$. Saatiin siis

$\int_{x_0}^{x_2}y(x)\,\d x=\frac{h}{3}\left(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right).$

Tämä kaava on voimassa myös ilman oletusta $$x_1=0$$. Erityisesti

$\int_{x_2}^{x_4}y(x)\,\d x=\frac{h}{3}\left(f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\right)$

ja vastaavalla tavoin kaikilla väleillä $$[x_{2i},x_{2(i+1)}]$$, joten päädytään arvioon

$\int_a^bf(x)\,\d x\approx \frac{h}{3}\left(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n)\right).$

Esimerkki 6.4.4

Arvioi esimerkin 6.4.2 integraalia Simpsonin säännöllä kuin Riemannin summilla ja puolisuunnikassäännöllä, kun käytetään tasavälistä jakoa, jolle $$n=6$$.

Ratkaisu

Nyt $$h=\frac13$$ ja jakopisteet ovat $$1, \frac43, \frac53,\ldots, 3$$, joten

\begin{split}\begin{aligned} \int_1^3\frac{\d x}{x} &\approx\frac19\left(f(1)+4f\left(\frac43\right)+2f\left(\frac53\right)+4f\left(\frac63\right)+2f\left(\frac73\right)+4f\left(\frac83\right)+f(3)\right)\\ &\approx1{,}098~942. \end{aligned}\end{split}

Huomautus 6.4.5

Riemannin summaa, jossa on $$n$$ osaväliä ja $$x_i^*$$ on osavälin keskipiste, kutsutaan keskipisteapproksimaatioksi $$M_n$$. Vastaavasti $$n$$ osavälin puolisuunnikassäännön antamaa arviota merkitään $$T_n$$. Tällöin Simpsonin kaavan antama arvio yhteensä $$2n$$ osavälillä on

$S_{2n}=\frac13(2M_n+T_n).$

Simpson-arvio saadaan siis keskipiste- ja puolisuunnikasapproksimaatioiden sopivasti painotettuna keskiarvona.

## Gaussin numeerinen integrointi¶

Erityisesti fysikaalisten insinööritieteiden numeriikassa joudutaan ratkaisemaan erilaisia kenttäongelmia, joiden systemaattinen käsittely perustuun yleensä niin sanotun elementtimenetelmän (FEM) käyttöön. Menetelmässä on tarve laskea suuri määrä integraaleja mahdollisimman nopeasti kuitenkin niin, ettei laskenta-aika pitenisi kohtuuttomasti. Yleensä tässä menetelmässä integrointi perustuu Gaussin numeeriseen integrointiin tai kvadratuuriin.

Yleisesti Gaussin integroinnissa arvioidaan integraalia kaavalla

$\int_{-1}^1 f(x)\,\d x\approx \sum_{i=1}^n w_jf(x_i),$

missä

• $$x_i\in[-1,1]$$ ovat integrointipisteet,
• $$w_i$$ pisteisiin liittyvät painokertoimet,
• $$n$$ on kvadratuurin kertaluku.

Huomautus 6.4.6

Jos halutaan arvioida integroituvan funktion $$f:[a,b]\to\mathbb{R}$$ integraalia yli välin $$[a,b]$$ Gaussin kvadratuurilla, voidaan käyttää muuttujanvaihtokaavaa (sopivan sijoituksen löytäminen jätetään lukijalle)

$\int_a^b f(x)\,\d x=\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f\Big(\frac{b-a}{2}u+\frac{a+b}{2}\Big)\,\d u.$

Integrointipisteet ja painokertoimet ovat annettuja parametreja ja niiden numeerisia arvoja löytyy kirjallisuudesta ja internetistä. Integrointipisteet ja painokertoimet on määrätty siten, että parittoman asteen ($$2n - 1$$) polynomit integroituvat tarkasti. Tarkastellaan vain kahta alimman kertaluvun kvadratuuria. Ensimmäisen kertaluvun Gaussin interointikaava ($$x_1=0$$ ja $$w_1=2$$) on

$\int_{-1}^1 f(x)\,\d x\approx 2f(0),$

ja toisen kertaluvun ($$x_1=-\frac{1}{ \sqrt{3}}$$, $$x_2=\frac{1}{ \sqrt{3}}$$, $$w_1=w_2=1$$)

$\int_{-1}^1 f(x)\,\d x\approx f\left(-\frac{1}{ \sqrt{3}}\right)+f\left(\frac{1}{ \sqrt{3}}\right).$

Esimerkki 6.4.7

Arvioidaan integraalia

$\int_{-1}^1 \cos(x)\,\d x=2\sin(1)\approx 1.6829$
$\int_{-1}^1 \cos(x)\,\d x\approx 2\cos(0)=2.$
$\int_{-1}^1 \cos(x)\,\d x\approx \cos\left(-\frac{1}{ \sqrt{3}}\right)+\cos\left(\frac{1}{ \sqrt{3}}\right)\approx 1.676.$