$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Liittoluku ja itseisarvo

Määritelmä 2.3.1

Kompleksiluvun $z=a+b\iu$ liittoluku eli kompleksikonjugaatti (conjugate) $\overline{z}$ määritellään asettamalla

$$\overline{z}=a-b\iu.$$

Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli $b < 0$, niin sen liittoluvun imaginaariosa $-b$ on positiivinen.

Esimerkki 2.3.2

$\overline{-2-3\iu}=-2+3\iu$.

Lause 2.3.3

Jos $z$ ja $w$ ovat kompleksilukuja, niin

1. $\overline{\overline{z}}=z$
2. $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
3. $\overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}$
4. $\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\quad(w\ne 0)$
5. $z$ on reaalinen jos ja vain jos $z=\overline{z}$.

Todistus

Merkitään $z=a+b\iu$ ja $w=c+d\iu$ ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt

$$\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)\iu}=(a+c)-(b+d)\iu=(a-b\iu)+(c-d\iu)= \overline{z}+\overline{w}$$

ja jos $w \not= 0$, niin

$$\overline{w^{-1}} = \overline{\frac{c}{c^2 + d^2} - \frac{d}{c^2 + d^2}\iu} = \frac{c}{c^2 + d^2} + \frac{d}{c^2 + d^2}\iu = \overline{w}^{-1}.$$

Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä.

Määritelmä 2.3.4

Kompleksiluvun $z=a+b\iu$ itseisarvo eli moduli (absolute value, modulus) $|z|$ määritellään asettamalla

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.

Esimerkki 2.3.5

$\left|-2-3\iu\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$

Lause 2.3.6

Jos $z$ ja $w$ ovat kompleksilukuja, niin

1. $|z|^2=z\overline{z}$
2. $|z|=0$ jos ja vain jos $z=0$
3. $|z|=|\overline{z}|$
4. $|zw|=|z||w|$
5. $\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\quad(w\ne 0)$
6. $|z+w|\le|z|+|w|\quad$ (kolmioepäyhtälö)

Todistus

Merkitään $z = a + b\iu$ ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt

$$z\overline{z}=(a+b\iu)(a-b\iu)=a^2-b^2\iu^2=a^2+b^2=|z|^2$$

ja tätä hyödyntämällä nähdään, että

$$|zw|^2=zw\overline{zw}=zw\overline{z}\,\overline{w} =z\overline{z}w\overline{w}=|z|^2|w|^2,$$

eli $|zw| = |z||w|$. Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua $|z+w|$ edustaa summavektorin pituus, kun $|z|$ ja $|w|$ ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.

Täsmällisempi todistus sivuutetaan.

Question 1

Edellisessä luvussa esiteltiin kompleksilukujen jakolasku. Osamäärä $\frac{c+d\iu}{a+b\iu}$ on sama asia kuin että lukua $a+b\iu$ kerrotaan luvulla $\frac{1}{a+b\iu}$. Tämä kertova luku on esitetty toisella tavalla kaavarivillä (1) ennen esimerkkiä 2.2.10. Palaa vielä kerran katsomaan kyseistä kaavariviä ja yritä ilmaista sen lopputulos niin, että käytät luvun $a+b\iu$ liittoluvun ja modulin käsitteitä. Tämän jälkeen vastaa seuraavaan kysymykseen.

Miten voit ilmaista sanallisesti sen, mitä luvulle $\frac{c+d\iu}{a+b\iu}$ pitää tehdä, että sen saa esitettyä muodossa, josta suoraan näkyvät luvun $\frac{c+d\iu}{a+b\iu}$ reaaliosa ja imaginaariosa? Muista, että osoittaja on jakoviivan yläpuolella oleva luku ja nimittäjä alapuolella.

Jaa osoittaja nimittäjän modulilla ja kerro saamasi tulos osoittajan liittoluvulla.

Jaa nimittäjä osoittajan modulin neliöllä ja kerro saamasi tulos osoittajan liittoluvulla.

Kerro osoittaja nimittäjän liittoluvulla ja jaa saamasi tulos nimittäjän modulin neliöllä.

Kerro nimittäjä osoittajan liittoluvulla ja jaa saamasi tulos nimittäjän modulilla.

Question 2

Luvun kertominen itsensä liittoluvulla tuottaa

luvun modulin,

luvun neliön,

liittoluvun neliön,

modulin neliön.

Question 3

Lauseen 2.3.6 kolmioepäyhtälön voi ilmaista muodossa

summan moduli on modulien summa,

modulien summa on korkeintaan summan moduli,

summan moduli on korkeintaan modulien summa,

summan moduli on vähintään modulien summa.

Question 4

Seuraavista väitteistä vain yksi on tosi kaikille $z,w \in \C$. Päättele kolmioepäyhtälön perusteella, mikä niistä on tosi.

$|z-w| \leq |z|-|w|$.

$|z-w| \leq |z|+|w|$.

$|z-w| \leq ||z|-|w||$.

Huomautus 2.3.7

Jos $z$ ja $w$ ovat kompleksilukuja, niin $|z - w|$ on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.

Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä $z=x+y\iu$, missä $x$ ja $y$ ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja $xy$-koordinaatistossa.

Esimerkki 2.3.8

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.

1. $\overline{z} - z = \iu\overline{z} + 4$
2. $\left|\dfrac{z - 2\iu}{z - 1}\right| = 1$
3. $|z - (2 + 3\iu)| = 2$

Ratkaisu

Merkitään kaikissa kohdissa $z = x + y\iu$, missä $x$ ja $y$ ovat reaalilukuja.

1. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

   $$\begin{split}\begin{aligned} &&x-y\iu-(x+y\iu)&=\iu(x-y\iu)+4\\ \Leftrightarrow&&-2y\iu&=x\iu+y+4\\ \Leftrightarrow&&-(y + 4)-(x + 2y)\iu&=0. \end{aligned}\end{split}$$

   Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten $-(y + 4) = 0$ ja $-(x + 2y) = 0$, eli $y = -4$ ja $x = -2y = 8$. Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on $z = 8 - 4\iu$.

2. Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava $z \not= 1$. Tällöin myös

   $$\left|\frac{z - 2\iu}{z - 1}\right| = \frac{|z - 2\iu|}{|z - 1|} = 1,$$

   eli $|z - 2\iu| = |z - 1|$. Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.

   $$\begin{split}\begin{aligned} &&|x+y\iu-2\iu|&=|x+y\iu-1|\\ \Leftrightarrow&&|x+(y-2)\iu|&=|(x-1)+y\iu|\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2+(y-2)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ \Rightarrow&&x^2+y^2-4y+4&=x^2-2x+1+y^2\\ \Leftrightarrow&&y&=\frac12x+\frac34 \end{aligned}\end{split}$$
   

   Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle $|z-2\iu|=|z-1|$ on, että haetaan kaikki ne pisteet $z$, jotka ovat yhtä kaukana luvuista $2\iu$ ja $1$.

3. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

   $$\begin{split}\begin{aligned} &&|x+y\iu-(2+3\iu)|=|(x-2)+(y-3)\iu|&=2\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}&=2\\ \Rightarrow&&(x-2)^2+(y-3)^2&=4. \end{aligned}\end{split}$$
   

   Ratkaisujoukko on siis kompleksitason $2$-säteinen ympyrä keskipisteenään $2 + 3\iu$. Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön $|z - w| = r$ toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut $z$, joiden etäisyys luvusta $w$ on $r$.

Question 1

Ratkaise yhtälö $|z-a|=0$, missä $a$ on jokin valitsemasi kompleksiluku. Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä on?

ei yhtään

yksi

kaksi

ääretön määrä

ratkaisujen määrä riippuu luvun $a$ valinnasta

Question 2

Mitä tarkoittaa, että ympyrä on $3$-säteinen?

Ympyrällä on tasan kolme eri pituista sädettä.

Ympyrällä on tasan kolme yhtä pitkää sädettä.

On kolme ympyrää, joilla on yhteinen säde.

Ympyrän säteen pituus on $3$.

Question 3

Tieto $|z-w|<4$ voidaan tulkita vain yhdellä seuraavista tavoista. Millä? Yhtälö $|z-w|<4$ voidaan tulkita siten, että $z$ on jokin piste $w$-keskisen ympyrän

kehällä mutta ei sisällä, ja ympyrän säde on $2$,

sisällä tai kehällä, ja ympyrän säde on $2$,

sisällä mutta ei kehällä, ja ympyrän säde on $2$,

kehällä mutta ei sisällä, ja ympyrän säde on $4$,

sisällä tai kehällä, ja ympyrän säde on $4$,

sisällä mutta ei kehällä, ja ympyrän säde on $4$,

kehällä mutta ei sisällä, ja ympyrän säde on $16$,

sisällä tai kehällä, ja ympyrän säde on $16$,

sisällä mutta ei kehällä, ja ympyrän säde on $16$.

Palautusta lähetetään...