$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Sarja

Määritelmä 9.3.1

Olkoon $(a_k)_{n=1}^\infty$ lukujono. Muodollista summaa

$$a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{k=1}^\infty a_k$$

kutsutaan sarjaksi (series). Luku $a_k$ on sarjan $k$:s termi. Sarjan ensimmäisten termien summa indeksiin $n$ saakka on sarjan $n$:s osasumma (partial sum)

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^na_k.$$

Question 1

Mikä seuraavista kuvaa sarjaa?

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

Monotoninen lukujono

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k}$

$(\frac{1}{3^n})_{n=0}^{\infty}$

Fibonaccin jono

$(1, 5, 13, 29, 61, \ldots)$

Esimerkki 9.3.2

Sarjan

$$\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}$$

neljä ensimmäistä osasummaa ovat

$$\begin{split}\begin{aligned} S_1&=\frac12, \\ S_2&=\frac12+\frac14=\frac34, \\ S_3&=\frac12+\frac14+\frac18=\frac{7}{8}, \\ S_4&=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}. \end{aligned}\end{split}$$

Määritelmä 9.3.3

Tarkastellaan sarjaa $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$. Jos osasummien $S_n$ muodostama lukujono $(S_n)_{n=1}^\infty$ suppenee ja sen raja-arvo on $S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$, niin sanotaan, että sarja suppenee (converges) ja että sen summa (sum) on $S$. Tällöin merkitään

$$\sum_{k=1}^\infty a_k=S.$$

Jos $(S_n)_{n=1}^\infty$ hajaantuu, niin sanotaan, että sarja hajaantuu (diverges). Jos $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\pm\infty$, niin merkitään

$$\sum_{k=1}^\infty a_k=\pm\infty.$$

Esimerkki 9.3.4

Osoita, että $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots$ suppenee.

Ratkaisu

Muodostamalla osamurtokehitelmä nähdään, että yleinen termi voidaan kirjoittaa muodossa

$$a_k=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},$$

joten osasumma

$$\begin{split}\begin{aligned} S_n&=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac13\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\to1, \end{aligned}\end{split}$$

kun $n\to\infty$. Siten sarja suppenee ja $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=1$.

Esimerkki 9.3.5

Osoita, että sarja $\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}=1-1+1-1+\cdots$ hajaantuu.

Ratkaisu

Ensimmäiset osasummat ovat

$$\begin{split}\begin{aligned} S_1&=1, \\ S_2&=1-1=0, \\ S_3&=1-1+1=1, \\ S_4&=1-1+1-1=0. \end{aligned}\end{split}$$

Nähdään, että osasummien jono on $(1,0,1,0,1,0,\ldots)$, jolla ei ole raja-arvoa.

Huomautus 9.3.6

Sarjan indeksointi voidaan aloittaa muustakin indeksistä kuin $1$. Esimerkiksi

$$\sum_{i=5}^\infty\frac{1}{(i-4)^2}=1+\frac14+\frac19+\cdots.$$

Tämän sarjan osasummat ovat

$$S_5=1,\quad S_6=1+\frac14=\frac34,\quad S_7=1+\frac14+\frac19=\frac{49}{36},\quad\ldots.$$

Määritelmä 9.3.7

Sarja $\sum\limits_{k=0}^\infty a_k$ on geometrinen sarja (geometric series), jos on olemassa sellainen reaaliluku $r$, että

$$a_{k+1}=ra_k$$

kaikilla $k$. Toisin sanoen ensimmäisen termin jälkeen kukin termi saadaan edeltävästä termistä kertomalla suhdeluvulla (common ratio) $r$.

Jos geometrisen sarjan ensimmäistä termiä merkitään kirjaimella $a$, niin sarjan termit ovat $a_0=a$, $a_1=ar$, $a_2=ar^2$, $a_3=ar^3,\ldots$ Niinpä geometrinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa

(1) $$\sum_{k=0}^\infty ar^k=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots.$$

Huomaa, että tässä ensimmäinen indeksi on $k=0$.

Lause 9.3.8

Jos suhdeluku toteuttaa ehdon $|r|<1$, niin geometrinen sarja (1) suppenee ja

$$\sum_{k=0}^\infty ar^k=\frac{a}{1-r}.$$

Jos taas suhdeluku $|r|\ge1$ ja $a\ne0$, niin geometrinen sarja hajaantuu.

Todistus

Kirjoitetaan $n$:s osasumma ja kerrotaan yhtälö puolittain suhdeluvulla, jolloin saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n,\\ rS_n&=ar+ar^2+\cdots+ar^n+ar^{n+1}. \end{aligned}\end{split}$$

Vähentämällä nämä yhtälöt puolittain saadaan

$$(1-r)S_n=a-ar^{n+1},$$

joten

$$\begin{split}S_n= \begin{cases} \dfrac{a(1-r^{n+1})}{1-r},&\text{kun }r\ne1,\\ (n+1)a,&\text{kun }r=1. \end{cases}\end{split}$$

Kun $|r|<1$, niin

$$\lim\limits_{n\to\infty}r^{n+1}=0,$$

joten

$$S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}.$$

Kun $|r|>1$, niin raja-arvoa $\lim\limits_{n\to\infty}r^{n+1}$ ei ole olemassa ja silloin sarja hajaantuu, mikäli $a\ne0$. Myös tapauksissa $r=\pm1$, $a\ne0$, sarja hajaantuu.

Geometrisen sarjan indeksointia ei aina aloiteta nollasta. Jos aloitusindeksi on $p \geq 1$, niin paras tapa lukea geometrisen sarjan kaava on

$$\sum_{k=p}^\infty ar^k=\frac{1\text{. termi}}{1-\text{suhdeluku}}.$$

Geometrisen sarjan osasummaa $S_n$ kutsutaan geometriseksi summaksi, jolle edellisen todistuksen mukaan

$$\sum_{k=0}^nar^k=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n=\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r},$$

kun $r \not= 1$.

Question 1

Mikä väite ei pidä paikkaansa geometriselle sarjalle $\sum\limits_{k=0}^{\infty} ar^k$?

Geometrisen sarjan seuraava termi saadaan summaamalla edelliseen termiin jokin reaaliluku.

Geometrisen sarjan seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi tietyllä reaaliluvulla.

Geometrisen sarjan suhdeluku kertoo, missä suhteessa sarjan termit muuttuvat edeltäjäänsä nähden.

Sen $n$:s osasumma on nimeltään geometrinen summa.

Jos $|r| < 1$, niin geometrinen sarja suppenee arvoon $\frac{a}{1 - r}$.

Jos vakio $a$ on nollasta poikkeava ja sarjan suhdeluvulle $r$ pätee $|r| \ge 1$, niin geometrinen sarja hajaantuu.

Esimerkki 9.3.9

1. Sarja

   $$\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac{1}{16}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}$$

   on geometrinen sarja, jonka suhdeluku $r=\frac{1}{2}$ ja ensimmäinen termi $a=\frac{1}{2}$. Siis

   $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$

2. Sarja

   $$2-4+8-16+\cdots=\sum_{k=0}^\infty2(-2)^k$$

   on geometrinen sarja, jonka suhdeluku $r=-2$ ja ensimmäinen termi $a = 2$. Sarja siis hajaantuu.

3. Sarja $\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k}$ on suppeneva geometrinen sarja, sillä voidaan laskea, että

   $$\sum_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k} =\sum_{k=2}^\infty2\left(\frac{2}{5}\right)^k=\frac{\frac{8}{25}}{1-\frac{2}{5}}=\frac{8}{15}.$$

Koska sarjan arvo on sen osasummien jonon raja-arvo, seuraava perustulos seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.

Lause 9.3.10

Jos sarjat $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$ ja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k$ suppenevat ja $c\in \R$, niin myös sarjat $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}ca_k$ ja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(a_k+b_k)$ suppenevat. Lisäksi

$$\sum_{k = 1}^{\infty}ca_k=c\sum_{k = 1}^{\infty}a_k\qquad\text{ja}\qquad\sum_{k = 1}^{\infty}(a_k+b_k)=\sum_{k = 1}^{\infty}a_k+\sum_{k = 1}^{\infty}b_k.$$

Esimerkki 9.3.11

Lauseen 9.3.10 avulla saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty\left(2\left(-\frac13\right)^k+\frac{\pi}{e^k}\right) &=2\sum_{k=1}^\infty\left(-\frac13\right)^k+\pi\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{e}\right)^k\\ &=2\cdot\frac{-1/3}{1-(-1/3)}+\pi\frac{1/e}{1-1/e}=-\frac12+\frac{\pi}{e-1}. \end{aligned}\end{split}$$

Lause 9.3.12

Jos sarja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$ suppenee, niin $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0$.

Todistus

Merkitään $S=\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$. Tällöin $S=\lim\limits_{n \to \infty} S_n=\lim\limits_{n \to \infty} S_{n-1}$, joten

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n-S_{n-1})= S-S=0.\qedhere$$

Seuraus 9.3.13

Jos $\lim\limits_{k \to \infty}a_k\ne0$ tai raja-arvoa ei ole olemassa, niin sarja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$ hajaantuu.

Huomautus 9.3.14

Äskeisen lauseen käänteinen väite ei päde. Siis sarja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k$ voi hajaantua, vaikka olisi $\lim\limits_{k \to \infty} a_k=0$. Esimerkiksi tästä käy harmoninen sarja.

Esimerkki 9.3.15

Sarja $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k-1}{k}$ hajaantuu, sillä

$$\dfrac{k-1}{k}=1-\dfrac{1}{k}\to1\ne0,$$

kun $k \to \infty$.

Määritelmä 9.3.16

Sarjan $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ $n$:s jäännöstermi (remainder) on sarja $\sum\limits_{k=n+1}^\infty a_k$, kun $n \geq 0$. Jos jäännöstermi suppenee, niin sen summaa merkitään $R_n$.

Seuraava lause toteaa sen ilmeisen seikan, että suppenevan sarjan summa $S$ voidaan jakaa osiin, eli

$$S=\underbrace{a_1+a_2+\cdots+a_n}_{=S_n}+\underbrace{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots}_{=R_n}=S_n+R_n,$$

kun $n \geq 0$.

Lause 9.3.17

Sarja $\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k$ suppenee, jos ja vain jos jäännöstermi $R_n=\sum\limits_{k = n + 1}^{\infty}a_k$ suppenee kaikilla $n \geq 0$. Suppenevassa tapauksessa

(2) $$S = \sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=n+1}^\infty a_k = S_n + R_n$$

mielivaltaisella $n \geq 0$.

Todistus

“$\Rightarrow$” Oletetaan, että $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$ suppenee. Tällöin on olemassa raja-arvo

$$S - S_n = \lim_{m \to \infty}S_m - S = \lim_{m \to \infty}(S_m - S_n).$$

Jos nyt $m > n$, niin

$$S - S_n = \lim_{m \to \infty}\sum_{k = n + 1}^{m}a_k = \sum_{k = n + 1}^{\infty}a_k = R_n.$$

“$\Leftarrow$” Oletetaan, että jäännöstermi $R_n$ suppenee jokaisella $n \geq 0$. Tällöin jäännöstermi $R_0$ on itse asiassa koko sarja, joten väite on tosi.

Lauseen 9.3.17 mukaisesta jäännöstermien ja sarjan suppenemisen yhtäpitävyydestä seuraa erityisesti, että mikään äärellinen määrä sarjan alkupään termejä ei vaikuta sarjan suppenemiseen.

Question 1

Sarja suppenee, jos

sarjan n:s jäännöstermi $\sum_{k=n+1}^{\infty} a_k$ suppenee vain joillakin indeksin $n$ arvoilla.

sarjalle $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ pätee $\lim_{k \to \infty} a_{k} = 0$.

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{a_k} = \infty$.

sarjalle $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ pätee $\lim_{k \to \infty} a_{k} \ne 0$.

sarjan osasummien muodostama lukujono hajaantuu.

sarjan osasummien muodostama lukujono suppenee.

Palautusta lähetetään...