$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Potenssisarjat

Määritelmä 10.3.1

Reaaliluvusta $x$ riippuvaa sarjaa

$$\sum_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots$$

kutsutaan pisteen $c$ ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut $a_k$, missä $k = 1, 2, \ldots$, ovat potenssisarjan kertoimia ja reaaliluku $c$ on sarjan kehityskeskus.

Tässä ensimmäisessä termissä $(x-c)^0=1$, jos $x\ne c$. Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) $0^0=1$, jolloin ensimmäinen termi on $a_0(x-c)^0=a_0$ kaikilla $x$.

Avaa tämä tehtävä uudessa välilehdessä (suositellaan näppäimistön ja avustavan teknologian käyttäjille)

Et voi palauttaa tätä tehtävää

Palauttaaksesi tehtäviä sinun pitää rekisteröityä ja ilmoittautua kurssin etusivulla.

Näytä kuitenkin

Palauttaaksesi tehtäviä sinun pitää rekisteröityä ja ilmoittautua kurssin etusivulla.

Palautusta lähetetään...

Palautuksen lähettämisessä arvosteluun tapahtui virhe eikä palautuskertoja kulunut. Voit yrittää vielä uudestaan. Tarkistathan internet-yhteytesi. Henkilökunnalle on ilmoitettu mikäli onglema on palvelussa.

Tehtävä 1

Kysymys 1 1 piste Mikä seuraavista on potenssisarja?

\(\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n\),

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x - c)^k}{k}\),

\(\displaystyle\left(\frac{1}{3^n}\right)_{n=0}^{\infty}\),

\(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k\),

\(\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1}\),

Fibonaccin jono.

Tehtävää ladataan...

Esimerkki 10.3.2

Sarja

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-0)^k$$

on pisteen $0$ ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat $a_k = \frac{1}{k!}$. Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun $x\ne0$. Nythän

$$\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{x^k}{k!}}\right|=\frac{k!}{(k+1)!}\left|\frac{x^{k+1}}{x^k}\right|=\frac{|x|}{k+1}\to0,$$

kun $k\to\infty$. Pisteessä $x=0$ on $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{0^k}{k!}\right| = \frac{1}{1!} = 1$, joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun $x\in\R$.

Lause 10.3.3

Jos potenssisarja $\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$ suppenee jollakin $x=x_0\ne0$, niin sarja suppenee itseisesti kaikilla $x$, jotka toteuttavat $-|x_0|<x<|x_0|$.

Todistus

Oletetaan, että $x\in(-|x_0|,|x_0|)$ ja merkitään $r=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1$. Koska sarja suppenee pisteessä $x_0$, on oltava $\lim\limits_{k\to\infty}a_kx_0^k=0$ ja täten löydetään sellainen indeksi $K$, että $|a_kx_0^k|<1$ aina, kun $k\ge K$. Nyt

$$\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx^k\right| =\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx_0^k\right|\left|\frac{x^k}{x_0^k}\right|<\sum_{k=K}^{\infty}\left|\frac{x}{x_0}\right|^k<\sum_{k=K}^\infty r^k<\infty,$$

missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana.

Seuraus 10.3.4

Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.

1. Sarja suppenee vain, kun $x=c$.
2. Sarja suppenee itseisesti aina, kun $x\in\R$.
3. Löydetään sellainen $R>0$, että sarja suppenee itseisesti, kun $|x-c|<R$ ja hajaantuu, kun $|x-c|>R$.

Todistus

Väite seuraa edellisestä lauseesta 10.3.3 asettamalla $t=x-c$, jolloin väite palautuu sarjan $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kt^k$ tutkimiseksi.

Lukua $R\in[0,\infty)$ tai $R=\infty$ kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence). Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence). Jos $R\in(0,\infty)$, niin päätepisteissä $c-R$ ja $c+R$ sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista $\{c\}$, $(c-R,c+R)$, $[c-R,c+R)$, $(c-R,c+R]$, $[c-R,c+R]$ tai $\R$.

Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo

$$\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.$$

Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun $x \not= c$.

$$\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-c)^{k+1}}{a_k(x-c)^k}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\lim_{k\to\infty}\frac{|x-c|^{k+1}}{|x-c|^k} =\rho|x-c|<1$$

jos ja vain jos $|x-c|<\frac{1}{\rho}$. Suppenemissäde on siis $R=\frac{1}{\rho}$. Jos raja-arvo $\rho = 0$, niin suppenemissäde $R=\infty$, ja jos $\rho=\infty$, niin $R=0$. Päätepisteissä $c-R$ ja $c+R$ suppenemista on tutkittava erikseen. Näin olemme muodostaneet suhdetestin potenssisarjan suppenemissäteen määrittämiseksi.

Lause 10.3.5

Potenssisarjan

$$\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$$

suppenemissäde on

$$R=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|,$$

joka voi olla:

• $R=0$, jolloin potenssisarja suppenee vain pistessä $x=c$,
• $R<\infty$, jolloin potenssisarja suppenee ainakin kun $|x-c|<R$ (päätepisteet tutkittava erikseen),
• $R=\infty$, jolloin potenssisarja suppenee jokaisella $x\in\mathbb{R}$.

Avaa tämä tehtävä uudessa välilehdessä (suositellaan näppäimistön ja avustavan teknologian käyttäjille)

Et voi palauttaa tätä tehtävää

Palauttaaksesi tehtäviä sinun pitää rekisteröityä ja ilmoittautua kurssin etusivulla.

Näytä kuitenkin

Palauttaaksesi tehtäviä sinun pitää rekisteröityä ja ilmoittautua kurssin etusivulla.

Palautusta lähetetään...

Palautuksen lähettämisessä arvosteluun tapahtui virhe eikä palautuskertoja kulunut. Voit yrittää vielä uudestaan. Tarkistathan internet-yhteytesi. Henkilökunnalle on ilmoitettu mikäli onglema on palvelussa.

Tehtävä 2

Kysymys 1 1 piste Mikä seuraavista väitteistä pätee potenssisarjalle?

Potenssisarjan suppenemissäteen lauseke on sama kuin suhdetestin suppenemisen osoittamisessa käytettävä lauseke

Jos \(\lim_{k \to \infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}| = \infty\), niin sarja hajaantuu

Jos \(R = 1\), niin sarjan summa on \(1\)

Jos \(\lim_{k \to \infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}| = 0\), niin sarja suppenee aina vain pisteessä \(x=0\)

Potenssisarjan suppenemisvälin päätepisteiden suppeneminen on tarkasteltava erikseen

Sarja voi supeta yhtäaikaa vain kehityskeskuksessa \(c\) ja supeta itseisesti kaikilla reaaliluvuilla \(x\)

Tehtävää ladataan...

Esimerkki 10.3.6

Määritä potenssisarjojen

1. $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}$
2. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n$
3. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}$

suppenemisvälit.

Ratkaisu

1. Tämä on pisteen $c=0$ ympärille kehitetty potenssisarja, jolle $a_0=0$ ja $a_k=\frac{1}{k}$, kun $k \geq 1$. Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, jolloin suppenemissäteeksi saadaan

   $$\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\\ &=\lim_{k\to\infty}\Big(1+\frac{1}{k}\Big)=1. \end{aligned}\end{split}$$

   Sarja siis suppenee kun $|x| < 1$ ja hajaantuu, kun $|x| > 1$. Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun $x=1$, sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun $x=-1$, sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis $[-1,1)$.

2. Muokkaamalla

   $$\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n$$

   nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle $a_n=\frac{n!}{2^n}$ ja $c=0$. Suppenemissäteeksi saadaan

   $$\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{(n+1)!2^n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{2^n(n+1)!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n! \cdot 2 \cdot 2^{n}}{2^n(n+1)n!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n+1)}=0. \end{aligned}\end{split}$$

   Sarja siis suppenee vain kun $x=0$.

3. Nyt

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.$$

   Tämän potenssisarjan kehityskeskus on $c=-\frac{5}{2}$. Suppenemissäteeksi saadaan

   $$\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}}\right|\\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2+1}{n^2+1} \\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{2n+1}{n^2+1}+1\Big)=\frac{3}{2}. \end{aligned}\end{split}$$

   Näin ollen sarja suppenee ainakin välillä $\left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1)$. Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä $x=-4$ sarja tulee muotoon

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},$$

   joka suppenee itseisesti, sillä

   $$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.$$

   Pisteessä $x=-1$ sarja tulee muotoon

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},$$

   joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis $[-4,-1]$.

Pisteessä $0$ kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion

(1) $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots.$$

Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan $f$ on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.

Lause 10.3.7

Olkoon $R>0$ potenssisarjan (1) suppenemissäde. Tällöin funktio $f(x)$ on derivoituva välillä $(-R,R)$ ja integroituva jokaisella välillä $[a,b]\subseteq(-R,R)$. Kun $|x|<R$, niin

$$\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=0}^\infty D(a_kx^k) =\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \int_0^xf(t)\,\d t &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^xa_kt^k\,\d t =\sum_{k=0}^\infty\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}=a_0x+\frac12a_1x^2+\frac13a_2x^3+\cdots. \end{aligned}\end{split}$$

Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde $R$.

Muunnokselle $x - c = u$ on voimassa $\d x = \d u$, ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k$.

Esimerkki 10.3.8

Tutkitaan geometrista sarjaa

(2) $$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots,$$

kun $-1 < x < 1$. Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan

$$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$$

välille $-1 < x < 1$. Toisaalta integroimalla yhtälö (2) puolittain väliä $[0,x]$ pitkin saadaan

$$-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}x^{k+1}=x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots.$$

Sijoitetaan tässä muuttujan $x$ paikalle $-x$ jolloin nähdään, että

$$\ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots,$$

kun $-1 < x < 1$.

Palautusta lähetetään...