- MATH.APP.120
- 10. Potenssisarjat
- 10.3 Potenssisarjat
Potenssisarjat¶
Määritelmä 10.3.1
Reaaliluvusta \(x\) riippuvaa sarjaa
kutsutaan pisteen \(c\) ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut \(a_k\), missä \(k = 1, 2, \ldots\), ovat potenssisarjan kertoimia ja reaaliluku \(c\) on sarjan kehityskeskus.
Tässä ensimmäisessä termissä \((x-c)^0=1\), jos \(x\ne c\). Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) \(0^0=1\), jolloin ensimmäinen termi on \(a_0(x-c)^0=a_0\) kaikilla \(x\).
Esimerkki 10.3.2
Sarja
on pisteen \(0\) ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat \(a_k = \frac{1}{k!}\). Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun \(x\ne0\). Nythän
kun \(k\to\infty\). Pisteessä \(x=0\) on \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{0^k}{k!}\right| = \frac{1}{1!} = 1\), joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun \(x\in\R\).
Lause 10.3.3
Jos potenssisarja \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k\) suppenee jollakin \(x=x_0\ne0\), niin sarja suppenee itseisesti kaikilla \(x\), jotka toteuttavat \(-|x_0|<x<|x_0|\).
Oletetaan, että \(x\in(-|x_0|,|x_0|)\) ja merkitään \(r=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1\). Koska sarja suppenee pisteessä \(x_0\), on oltava \(\lim\limits_{k\to\infty}a_kx_0^k=0\) ja täten löydetään sellainen indeksi \(K\), että \(|a_kx_0^k|<1\) aina, kun \(k\ge K\). Nyt
missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana.
Seuraus 10.3.4
Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.
- Sarja suppenee vain, kun \(x=c\).
- Sarja suppenee itseisesti aina, kun \(x\in\R\).
- Löydetään sellainen \(R>0\), että sarja suppenee itseisesti, kun \(|x-c|<R\) ja hajaantuu, kun \(|x-c|>R\).
Lukua \(R\in[0,\infty)\) tai \(R=\infty\) kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence). Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence). Jos \(R\in(0,\infty)\), niin päätepisteissä \(c-R\) ja \(c+R\) sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista \(\{c\}\), \((c-R,c+R)\), \([c-R,c+R)\), \((c-R,c+R]\), \([c-R,c+R]\) tai \(\R\).
Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo
Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun \(x \not= c\).
jos ja vain jos \(|x-c|<\frac{1}{\rho}\). Suppenemissäde on siis \(R=\frac{1}{\rho}\). Jos raja-arvo \(\rho = 0\), niin suppenemissäde \(R=\infty\), ja jos \(\rho=\infty\), niin \(R=0\). Päätepisteissä \(c-R\) ja \(c+R\) suppenemista on tutkittava erikseen. Näin olemme muodostaneet suhdetestin potenssisarjan suppenemissäteen määrittämiseksi.
Lause 10.3.5
Potenssisarjan
suppenemissäde on
joka voi olla:
- \(R=0\), jolloin potenssisarja suppenee vain pistessä \(x=c\),
- \(R<\infty\), jolloin potenssisarja suppenee ainakin kun \(|x-c|<R\) (päätepisteet tutkittava erikseen),
- \(R=\infty\), jolloin potenssisarja suppenee jokaisella \(x\in\mathbb{R}\).
Esimerkki 10.3.6
Määritä potenssisarjojen
- \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}\)
- \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}\)
suppenemisvälit.
Tämä on pisteen \(c=0\) ympärille kehitetty potenssisarja, jolle \(a_0=0\) ja \(a_k=\frac{1}{k}\), kun \(k \geq 1\). Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, jolloin suppenemissäteeksi saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\\ &=\lim_{k\to\infty}\Big(1+\frac{1}{k}\Big)=1. \end{aligned}\end{split}\]Sarja siis suppenee kun \(|x| < 1\) ja hajaantuu, kun \(|x| > 1\). Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun \(x=1\), sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun \(x=-1\), sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis \([-1,1)\).
Muokkaamalla
\[\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n\]nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle \(a_n=\frac{n!}{2^n}\) ja \(c=0\). Suppenemissäteeksi saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{(n+1)!2^n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{2^n(n+1)!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n! \cdot 2 \cdot 2^{n}}{2^n(n+1)n!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n+1)}=0. \end{aligned}\end{split}\]Sarja siis suppenee vain kun \(x=0\).
Nyt
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.\]Tämän potenssisarjan kehityskeskus on \(c=-\frac{5}{2}\). Suppenemissäteeksi saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}}\right|\\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2+1}{n^2+1} \\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{2n+1}{n^2+1}+1\Big)=\frac{3}{2}. \end{aligned}\end{split}\]Näin ollen sarja suppenee ainakin välillä \(\left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1)\). Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä \(x=-4\) sarja tulee muotoon
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},\]joka suppenee itseisesti, sillä
\[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.\]Pisteessä \(x=-1\) sarja tulee muotoon
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},\]joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis \([-4,-1]\).
Pisteessä \(0\) kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion
Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan \(f\) on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.
Lause 10.3.7
Olkoon \(R>0\) potenssisarjan (1) suppenemissäde. Tällöin funktio \(f(x)\) on derivoituva välillä \((-R,R)\) ja integroituva jokaisella välillä \([a,b]\subseteq(-R,R)\). Kun \(|x|<R\), niin
Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde \(R\).
Muunnokselle \(x - c = u\) on voimassa \(\d x = \d u\), ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k\).
Esimerkki 10.3.8
Tutkitaan geometrista sarjaa
kun \(-1 < x < 1\). Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan
välille \(-1 < x < 1\). Toisaalta integroimalla yhtälö (2) puolittain väliä \([0,x]\) pitkin saadaan
Sijoitetaan tässä muuttujan \(x\) paikalle \(-x\) jolloin nähdään, että
kun \(-1 < x < 1\).