$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Potenssisarjat

Määritelmä 10.3.1

Reaaliluvusta $x$ riippuvaa sarjaa

$$\sum_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots$$

kutsutaan pisteen $c$ ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut $a_k$, missä $k = 1, 2, \ldots$, ovat potenssisarjan kertoimia ja reaaliluku $c$ on sarjan kehityskeskus.

Tässä ensimmäisessä termissä $(x-c)^0=1$, jos $x\ne c$. Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) $0^0=1$, jolloin ensimmäinen termi on $a_0(x-c)^0=a_0$ kaikilla $x$.

Question 1

Mikä seuraavista on potenssisarja?

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$,

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x - c)^k}{k}$,

$\displaystyle\left(\frac{1}{3^n}\right)_{n=0}^{\infty}$,

$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k$,

$\sum_{k=1}^{\infty} k^{-1}$,

Fibonaccin jono.

Esimerkki 10.3.2

Sarja

$$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-0)^k$$

on pisteen $0$ ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat $a_k = \frac{1}{k!}$. Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun $x\ne0$. Nythän

$$\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{x^k}{k!}}\right|=\frac{k!}{(k+1)!}\left|\frac{x^{k+1}}{x^k}\right|=\frac{|x|}{k+1}\to0,$$

kun $k\to\infty$. Pisteessä $x=0$ on $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{0^k}{k!}\right| = \frac{1}{1!} = 1$, joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun $x\in\R$.

Lause 10.3.3

Jos potenssisarja $\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$ suppenee jollakin $x=x_0\ne0$, niin sarja suppenee itseisesti kaikilla $x$, jotka toteuttavat $-|x_0|<x<|x_0|$.

Todistus

Oletetaan, että $x\in(-|x_0|,|x_0|)$ ja merkitään $r=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1$. Koska sarja suppenee pisteessä $x_0$, on oltava $\lim\limits_{k\to\infty}a_kx_0^k=0$ ja täten löydetään sellainen indeksi $K$, että $|a_kx_0^k|<1$ aina, kun $k\ge K$. Nyt

$$\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx^k\right| =\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx_0^k\right|\left|\frac{x^k}{x_0^k}\right|<\sum_{k=K}^{\infty}\left|\frac{x}{x_0}\right|^k<\sum_{k=K}^\infty r^k<\infty,$$

missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana.

Seuraus 10.3.4

Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.

1. Sarja suppenee vain, kun $x=c$.
2. Sarja suppenee itseisesti aina, kun $x\in\R$.
3. Löydetään sellainen $R>0$, että sarja suppenee itseisesti, kun $|x-c|<R$ ja hajaantuu, kun $|x-c|>R$.

Todistus

Väite seuraa edellisestä lauseesta 10.3.3 asettamalla $t=x-c$, jolloin väite palautuu sarjan $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kt^k$ tutkimiseksi.

Lukua $R\in[0,\infty)$ tai $R=\infty$ kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence). Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence). Jos $R\in(0,\infty)$, niin päätepisteissä $c-R$ ja $c+R$ sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista $\{c\}$, $(c-R,c+R)$, $[c-R,c+R)$, $(c-R,c+R]$, $[c-R,c+R]$ tai $\R$.

Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo

$$\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.$$

Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun $x \not= c$.

$$\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-c)^{k+1}}{a_k(x-c)^k}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\lim_{k\to\infty}\frac{|x-c|^{k+1}}{|x-c|^k} =\rho|x-c|<1$$

jos ja vain jos $|x-c|<\frac{1}{\rho}$. Suppenemissäde on siis $R=\frac{1}{\rho}$. Jos raja-arvo $\rho = 0$, niin suppenemissäde $R=\infty$, ja jos $\rho=\infty$, niin $R=0$. Päätepisteissä $c-R$ ja $c+R$ suppenemista on tutkittava erikseen. Näin olemme muodostaneet suhdetestin potenssisarjan suppenemissäteen määrittämiseksi.

Lause 10.3.5

Potenssisarjan

$$\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$$

suppenemissäde on

$$R=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|,$$

joka voi olla:

• $R=0$, jolloin potenssisarja suppenee vain pistessä $x=c$,
• $R<\infty$, jolloin potenssisarja suppenee ainakin kun $|x-c|<R$ (päätepisteet tutkittava erikseen),
• $R=\infty$, jolloin potenssisarja suppenee jokaisella $x\in\mathbb{R}$.

Question 1

Mikä seuraavista väitteistä pätee potenssisarjalle?

Potenssisarjan suppenemissäteen lauseke on sama kuin suhdetestin suppenemisen osoittamisessa käytettävä lauseke

Jos $\lim_{k \to \infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}| = \infty$, niin sarja hajaantuu

Jos $R = 1$, niin sarjan summa on $1$

Jos $\lim_{k \to \infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}| = 0$, niin sarja suppenee aina vain pisteessä $x=0$

Potenssisarjan suppenemisvälin päätepisteiden suppeneminen on tarkasteltava erikseen

Sarja voi supeta yhtäaikaa vain kehityskeskuksessa $c$ ja supeta itseisesti kaikilla reaaliluvuilla $x$

Esimerkki 10.3.6

Määritä potenssisarjojen

1. $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}$
2. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n$
3. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}$

suppenemisvälit.

Ratkaisu

1. Tämä on pisteen $c=0$ ympärille kehitetty potenssisarja, jolle $a_0=0$ ja $a_k=\frac{1}{k}$, kun $k \geq 1$. Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, jolloin suppenemissäteeksi saadaan

   $$\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\\ &=\lim_{k\to\infty}\Big(1+\frac{1}{k}\Big)=1. \end{aligned}\end{split}$$

   Sarja siis suppenee kun $|x| < 1$ ja hajaantuu, kun $|x| > 1$. Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun $x=1$, sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun $x=-1$, sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis $[-1,1)$.

2. Muokkaamalla

   $$\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n$$

   nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle $a_n=\frac{n!}{2^n}$ ja $c=0$. Suppenemissäteeksi saadaan

   $$\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{(n+1)!2^n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n!2^{n+1}}{2^n(n+1)!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{n! \cdot 2 \cdot 2^{n}}{2^n(n+1)n!}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{(n+1)}=0. \end{aligned}\end{split}$$

   Sarja siis suppenee vain kun $x=0$.

3. Nyt

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.$$

   Tämän potenssisarjan kehityskeskus on $c=-\frac{5}{2}$. Suppenemissäteeksi saadaan

   $$\begin{split}\begin{aligned} R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}}\right|\\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2+1}{n^2+1} \\ &=\frac32\lim_{n\to\infty}\Big(\frac{2n+1}{n^2+1}+1\Big)=\frac{3}{2}. \end{aligned}\end{split}$$

   Näin ollen sarja suppenee ainakin välillä $\left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1)$. Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä $x=-4$ sarja tulee muotoon

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},$$

   joka suppenee itseisesti, sillä

   $$\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.$$

   Pisteessä $x=-1$ sarja tulee muotoon

   $$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},$$

   joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis $[-4,-1]$.

Pisteessä $0$ kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion

(1) $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots.$$

Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan $f$ on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.

Lause 10.3.7

Olkoon $R>0$ potenssisarjan (1) suppenemissäde. Tällöin funktio $f(x)$ on derivoituva välillä $(-R,R)$ ja integroituva jokaisella välillä $[a,b]\subseteq(-R,R)$. Kun $|x|<R$, niin

$$\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=0}^\infty D(a_kx^k) =\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \int_0^xf(t)\,\d t &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^xa_kt^k\,\d t =\sum_{k=0}^\infty\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}=a_0x+\frac12a_1x^2+\frac13a_2x^3+\cdots. \end{aligned}\end{split}$$

Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde $R$.

Muunnokselle $x - c = u$ on voimassa $\d x = \d u$, ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k$.

Esimerkki 10.3.8

Tutkitaan geometrista sarjaa

(2) $$\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots,$$

kun $-1 < x < 1$. Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan

$$\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots$$

välille $-1 < x < 1$. Toisaalta integroimalla yhtälö (2) puolittain väliä $[0,x]$ pitkin saadaan

$$-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}x^{k+1}=x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots.$$

Sijoitetaan tässä muuttujan $x$ paikalle $-x$ jolloin nähdään, että

$$\ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots,$$

kun $-1 < x < 1$.

Palautusta lähetetään...