\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Useamman satunnaismuuttujan funktion odotusarvo

Tarkastellaan sitten kahden satunnaismuuttujan \(X\) ja \(Y\) funktiota \(U = h(X, Y)\). Näin saatu \(U\) on uusi satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo \(\rE(U)\) voitaisiin luonnollisesti laskea sen tiheysfunktion ja odotusarvon määritelmän avulla. Kuten yhden satunnaismuuttujan funktion tapauksessa, näin ei kuitenkaan tarvitse menetellä, vaan odotusarvo voidaan laskea suoraan seuraavan lauseen avulla. Todistus on samankaltainen kuin vastaavalla lauseella 3.2.1, joten se sivuutetaan.

Lause 3.3.1

Olkoon satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) yhteisjakauman otosavaruus \(\Omega\) ja tiheysfunktio \(f(x, y)\), sekä olkoon satunnaismuuttuja \(U = h(X, Y)\).

  1. Jos \((X, Y)\) on diskreetti, niin

    \[\rE(U)=\rE(h(X, Y)) = \sum_{(x,y)\in\Omega}h(x,y)f(x,y).\]
  2. Jos \((X, Y)\) on jatkuva, niin

    \[\rE(U)=\rE(h(X, Y)) = \iint_{\R^2} h(x,y)f(x,y)\,\rd x\rd y.\]

Esimerkki 3.3.2

Jatketaan aiempaa esimerkkiä 2.4.2, ja lasketaan satunnaismuuttujan \(U=XY\) odotusarvo. Satunnaisvektorin \((X,Y)\) tiheysfunktio

\[f(x,y)=8xy,\qquad\text{kun }(x,y)\in\Omega=\{(x,y) : 0<x<y, 0<y<1\},\]

joten edellisen lauseen mukaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \rE(XY) &= \int_0^1\left(\int_0^{y}xy8xy\,\rd x\right)\rd y = \int_0^1\left(\sij{0}{y}\frac{8}{3}x^3y^2\right)\rd y \\ &= \int_0^1\frac{8}{3}y^5\,\rd y = \sij{0}{1}\frac{8}{18}y^6 = \frac{4}{9}. \end{aligned}\end{split}\]

Satunnaisvektorin \((X,Y)\) tiheysfunktio on

\[f(x,y) = x+y, \qquad \text{kun } 0<x<1, 0<y<1\]

Mitä on \(\rE(X+Y)\)?

Seuraava lause voidaan todistaa harjoitustehtävänä samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapaus lauseessa 3.2.2

Lause 3.3.3

Satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) funktion \(ag(X, Y) + bh(X, Y)\) odotusarvo

\[\rE(ag(X,Y)+bh(X,Y))=a\rE(g(X,Y))+b\rE(h(X,Y)).\]

Asettamalla nyt \(g(X,Y) = X\) ja \(h(X,Y) = Y\) nähdään välittömästi, että

\[\rE(aX+bY)=a\rE(X)+b\rE(Y).\]

Tämä voidaan yleistää koskemaan myös mielivaltaista lukumäärää satunnaismuuttujia.

Seuraus 3.3.4

Jos \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) ovat satunnaismuuttujia, sekä \(a_1, a_2, \ldots, a_n \in \R\), niin odotusarvo

\[\rE(a_1X_1+a_2X_2+\ldots+a_nX_n)=a_1\rE(X_1)+a_2\rE(X_2)+\ldots+a_n\rE(X_n).\]

Tätä kutsutaan odotusarvon lineaarisuusominaisuudeksi.

Juhliin saapuu \(n\) vierasta ja jokainen heistä heittää hattunsa laatikkoon. Kun kaikkien vieraiden hatut ovat laatikossa jokainen valitsee laatikosta itselleen satunnaisesti uuden hatun. Olkoon satunnaismuuttuja \(X\) niiden juhlijoiden lukumäärä, jotka saavat oman hattunsa takaisin. Mikä on satunnaismuutujan \(X\) odotusarvo?

Lisäksi voidaan todistaa seuraava riippumattomien satunnaismuuttujien tuloa koskeva lause.

Lause 3.3.5

Jos satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia, niin

\[\rE(XY)=\rE(X)\rE(Y).\]
Näytä/piilota todistus

Riippumattomien satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) yhteisjakauman tiheysfunktio \(f(x, y)\) on niiden omien tiheysfunktioiden \(f_1(x)\) ja \(f_2(y)\) tulo. Rajoitutaan todistamaan tapaus, jossa muuttujien \(X\) ja \(Y\) yhteisjakauma on jatkuva, jolloin

\[\rE(XY) = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty xyf_1(x)f_2(y)\,\rd x\rd y = \left(\int_{-\infty}^\infty xf_1(x)\,\rd x\right)\left(\int_{-\infty}^\infty yf_2(y)\,\rd y\right) = \rE(X)\rE(Y).\qedhere\]

Tämän lauseen kontrapositiona päätellään, että jos \(\rE(XY) \not= \rE(X)\rE(Y)\) satunnaismuuttujille \(X\) ja \(Y\), niin ne eivät voi olla riippumattomia. Huomaa, että ehdon \(\rE(XY) = \rE(X)\rE(Y)\) toteutuminen ei vielä tarkoita, että muuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia!

Jos satunnaismuuttujille \(X\) ja \(Y\) on voimassa \(\rE(XY) = \rE(X)\rE(Y)\), niin satunnaismuuttujat ovat riippumattomia.
Jos satunnaismuuttujille \(X\) ja \(Y\) on voimassa \(\rE(XY) \neq \rE(X)\rE(Y)\), niin satunnaismuuttujat ovat riippuvia.

Esimerkki 3.3.6

Olkoon satunnaisvektorin \((X, Y)\) tiheysfunktio

\[f(x, y) = x + y, \qquad\text{kun } 0 < x < 1, 0 < y < 1\]

Laske odotusarvot \(\rE(X)\), \(\rE(Y)\), \(\rE(X+Y)\) ja \(\rE(XY)\). Ovatko \(X\) ja \(Y\) riippumattomia?

Näytä/piilota ratkaisu

Etsitään ensin muuttujien \(X\) ja \(Y\) marginaalijakaumien tiheysfunktiot \(f_1(x)\) ja \(f_2(y)\). Ne löydetään yhteisjakauman tiheysfunktion avulla, jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} f_1(x) &= \int_0^1 x+y\,\rd y = \sij{0}{1}\left(xy+\frac{1}{2}y^2\right) = x + \frac{1}{2} \\ f_2(y) &= \int_0^1 x+y\,\rd x = y + \frac{1}{2}. \end{aligned}\end{split}\]

Nyt voidaan laskea odotusarvon määritelmän ja satunnaismuuttujien funktion odotusarvon kaavan avulla, että

\[\begin{split}\begin{aligned} \rE(X) &= \int_0^1 x\left(x+\frac{1}{2}\right)\rd x = \sij{0}{1}\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \\ \rE(Y) &= \int_0^1 y\left(y+\frac{1}{2}\right)\rd y = \frac{7}{12} \\ \rE(XY) &= \int_0^1\int_0^1 xy(x + y)\rd x\rd y = \int_0^1 y\sij{0}{1}\left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2y\right)\rd y \\ &= \int_0^1 y\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}y\right)\rd y = \sij{0}{1}\left(\frac{1}{6}y^2 + \frac{1}{6}y^3\right) = \frac{1}{3}. \end{aligned}\end{split}\]

Edelleen odotusarvon lineaarisuuden vuoksi

\[\rE(X+Y)=\rE(X)+\rE(Y)=\frac{7}{12}+\frac{7}{12}=\frac{7}{6}.\]

Koska \(\rE(XY) = \frac{1}{3} \not= \frac{7}{12} \cdot \frac{7}{12} = \rE(X)\rE(Y)\), niin satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) eivät ole riippumattomia. Jos olisi ollut \(\rE(XY) = \rE(X)\rE(Y)\), niin viimeiseen kysymykseen ei olisi voitu vastata näiden odotusarvojen perusteella.

Palautusta lähetetään...