\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\renewcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}}
\newcommand{\qedhere}{}\]
Yhden satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Satunnaismuuttujan \(X\) funktiona määritellyn uuden muuttujan \(Y = h(X)\) odotusarvo voidaan laskea tavanomaisesti suoraan määritelmän avulla, jos satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio tunnetaan. Tämän selvittäminen on kuitenkin edellistä tarkastelua yleisemmissä tapauksessa vaikeaa. Käy ilmi, että odotusarvo \(\rE(Y)\) voidaan laskea satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktion \(f(x)\) avulla.
Lause 3.2.1
Olkoon satunnaismuuttujan \(X\) otosavaruus \(\Omega_X\) ja tiheysfunktio \(f(x)\), sekä olkoon satunnaismuuttuja \(Y=h(X)\).
Jos \(X\) on diskreetti, niin
\[\rE(Y) = \rE(h(X)) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x).\]
Jos \(X\) on jatkuva, niin
\[\rE(Y) = \rE(h(X)) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.\]
Näytä/piilota todistus
Todistetaan kohdat erikseen.
Nyt voidaan kirjoittaa suoraan lauseen 2.3.2 avulla
\[\begin{split}\begin{aligned}
\rE(Y) &= \sum_{y \in \Omega_Y}yg(y) = \sum_{y \in \Omega_Y}yP(h(X) = y) = \sum_{y \in \Omega_Y}y\left(\sum_{x \in h^{-1}(y)}f(x)\right) \\
&= \sum_{y \in \Omega_Y}\left(\sum_{x \in h^{-1}(y)}h(x)f(x)\right) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x).
\end{aligned}\end{split}\]
Toiseksi viimeisessä yhtäsuuruudessa havaitaan, että jos \(x \in h^{-1}(y)\), niin \(y = h(x)\). Viimeinen puolestaan perustuu siihen, että \(\Omega_X = \{x \in h^{-1}(y) : y \in \Omega_Y\}\), eli kaikkien otosavaruuden \(\Omega_Y\) alkioiden alkukuvat funktiossa \(h\) kattavat yhdessä otosavaruuden \(\Omega_X\).
Tämän väitteen yleinen todistus on hankala, joten rajoitutaan tapaukseen, jossa \(h\) on derivoituva ja aidosti kasvava. Tällöin lauseen 2.3.4 nojalla
\[\begin{aligned}
\rE(Y) &= \int_{-\infty}^{\infty}yg(y)\,\rd y = \int_{-\infty}^{\infty}y f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|\,\rd y,
\end{aligned}\]
missä \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) > 0\) ja edelleen \(\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right| = \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\), sillä \(h^{-1}\) on aidosti kasvava. Käänteisfunktio toteuttaa ehdon \(h^{-1}(y) = x\) täsmälleen silloin, kun \(h(x) = y\), ja täten \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\,\rd y = \rd x\). Sijoittamalla nämä tulokset saadaan odotusarvoksi
\[\rE(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.\qedhere\]
Lauseesta seuraa käyttökelpoisia tuloksia odotusarvolle. Harjoitustehtäväksi jätetään osoittaa seuraava odotusarvon lineaarisuusominaisuus.
Lause 3.2.2
Satunnaismuuttujan \(X\) funktion \(ag(X)+bh(X)\) odotusarvo
\[\rE(ag(X)+bh(X))=a\rE(g(X))+b\rE(h(X)),\]
ja erityisesti
\[\rE(aX+b)=a\rE(X)+b.\]
Toinen hyödyllinen seuraus on kätevän laskukaavan muodostaminen satunnaismuuttujan varianssille.
Lause 3.2.3
Satunnaismuuttujan \(X\) varianssi
\[\Var(X)=\rE(X^2)-\rE(X)^2.\]
Näytä/piilota todistus
Merkitään \(\rE(X)=\mu\), jolloin sekä diskreetissä että jatkuvassa tapauksessa muuttujan \(X\) varianssi on lausekkeen \((X - \mu)^2\) odotusarvo. Täten
\[\Var(X)=\rE((X-\mu)^2)=\rE(X^2-2\mu X+\mu^2)=\rE(X^2)-2\mu \rE(X)+\mu^2=\rE(X^2)-\mu^2,\]
mikä todistaa väitteen.
Esimerkki 3.2.4
Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio
\[f(x)=\frac{x}{10},\quad\text{kun }x \in \{1,2,3,4\}.\]
Nyt
\[\begin{split}\begin{aligned}
\rE(X)&=1\cdot\frac{1}{10}+2\cdot\frac{2}{10}+3\cdot\frac{3}{10}+4\cdot\frac{4}{10}=3,\\
\rE(X^2)&=1\cdot\frac{1}{10}+4\cdot\frac{2}{10}+9\cdot\frac{3}{10}+16\cdot\frac{4}{10}=10,
\end{aligned}\end{split}\]
joten \(\Var(X) = 10 - 3^2 = 1\).
Esimerkki 3.2.5
Olkoon \(X\) jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio
\[f(x)=2x, \qquad\text{kun } 0 < x < 1.\]
Aiemmassa esimerkissä 3.1.6 saatiin \(\rE(X)=\frac{2}{3}\), ja tämän lisäksi
\[\rE(X^2)=\int_0^1x^22x\,\rd x=\sij{0}{1}\frac{1}{2}x^4 = \frac{1}{2}.\]
Siis \(\Var(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}\).
Lause 3.2.6
Satunnaismuuttujan \(X\) funktion \(aX + b\) varianssi
\[\Var(aX+b)=a^2\Var(X).\]
Näytä/piilota todistus
Hyödynnetään juuri johdettua varianssin laskukaavaa, jolloin
\[\begin{split}\begin{aligned}
\Var(aX + b) &= \rE((aX + b)^2) - \rE(aX + b)^2 = \rE(a^2X^2 + 2abX + b^2) - (a\rE(X) + b)^2 \\
&= a^2\rE(X^2) + 2ab\rE(X) + b^2 - a^2\rE(X)^2 - 2ab\rE(X) - b^2 \\
&= a^2(\rE(X^2) - \rE(X)^2) = a^2\Var(X).
\end{aligned}\end{split}\]