\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Yhden satunnaismuuttujan funktion odotusarvo

Satunnaismuuttujan \(X\) funktiona määritellyn uuden muuttujan \(Y = h(X)\) odotusarvo voidaan laskea tavanomaisesti suoraan määritelmän avulla, jos satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio tunnetaan. Tämän selvittäminen on kuitenkin edellistä tarkastelua yleisemmissä tapauksessa vaikeaa. Käy ilmi, että odotusarvo \(\rE(Y)\) voidaan laskea satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktion \(f(x)\) avulla.

Lause 3.2.1

Olkoon satunnaismuuttujan \(X\) otosavaruus \(\Omega_X\) ja tiheysfunktio \(f(x)\), sekä olkoon satunnaismuuttuja \(Y=h(X)\).

  1. Jos \(X\) on diskreetti, niin

    \[\rE(Y) = \rE(h(X)) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x).\]
  2. Jos \(X\) on jatkuva, niin

    \[\rE(Y) = \rE(h(X)) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.\]
Näytä/piilota todistus

Todistetaan kohdat erikseen.

  1. Nyt voidaan kirjoittaa suoraan lauseen 2.3.2 avulla

    \[\begin{split}\begin{aligned} \rE(Y) &= \sum_{y \in \Omega_Y}yg(y) = \sum_{y \in \Omega_Y}yP(h(X) = y) = \sum_{y \in \Omega_Y}y\left(\sum_{x \in h^{-1}(y)}f(x)\right) \\ &= \sum_{y \in \Omega_Y}\left(\sum_{x \in h^{-1}(y)}h(x)f(x)\right) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x). \end{aligned}\end{split}\]

    Toiseksi viimeisessä yhtäsuuruudessa havaitaan, että jos \(x \in h^{-1}(y)\), niin \(y = h(x)\). Viimeinen puolestaan perustuu siihen, että \(\Omega_X = \{x \in h^{-1}(y) : y \in \Omega_Y\}\), eli kaikkien otosavaruuden \(\Omega_Y\) alkioiden alkukuvat funktiossa \(h\) kattavat yhdessä otosavaruuden \(\Omega_X\).

  2. Tämän väitteen yleinen todistus on hankala, joten rajoitutaan tapaukseen, jossa \(h\) on derivoituva ja aidosti kasvava. Tällöin lauseen 2.3.4 nojalla

    \[\begin{aligned} \rE(Y) &= \int_{-\infty}^{\infty}yg(y)\,\rd y = \int_{-\infty}^{\infty}y f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|\,\rd y, \end{aligned}\]

    missä \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) > 0\) ja edelleen \(\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right| = \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\), sillä \(h^{-1}\) on aidosti kasvava. Käänteisfunktio toteuttaa ehdon \(h^{-1}(y) = x\) täsmälleen silloin, kun \(h(x) = y\), ja täten \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\,\rd y = \rd x\). Sijoittamalla nämä tulokset saadaan odotusarvoksi

    \[\rE(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.\qedhere\]
Tarkastellaan peliä, jossa pelaajan voittama summa arvotaan heittämällä kolikkoa. Pelin kolikko on harhaton ja jokainen heittokerta on riippumaton muista heittokerroista. Voittosumma määräytyy sen mukaan, monennellako heitolla tulee ensimmäinen klaava siten, että pelaaja voittaa \(2^n\) euroa, jos klaava tulee heitolla \(n\). Mikä on voittosumman odotusarvo?

Lauseesta seuraa käyttökelpoisia tuloksia odotusarvolle. Harjoitustehtäväksi jätetään osoittaa seuraava odotusarvon lineaarisuusominaisuus.

Lause 3.2.2

Satunnaismuuttujan \(X\) funktion \(ag(X)+bh(X)\) odotusarvo

\[\rE(ag(X)+bh(X))=a\rE(g(X))+b\rE(h(X)),\]

ja erityisesti

\[\rE(aX+b)=a\rE(X)+b.\]

Toinen hyödyllinen seuraus on kätevän laskukaavan muodostaminen satunnaismuuttujan varianssille.

Lause 3.2.3

Satunnaismuuttujan \(X\) varianssi

\[\Var(X)=\rE(X^2)-\rE(X)^2.\]
Näytä/piilota todistus

Merkitään \(\rE(X)=\mu\), jolloin sekä diskreetissä että jatkuvassa tapauksessa muuttujan \(X\) varianssi on lausekkeen \((X - \mu)^2\) odotusarvo. Täten

\[\Var(X)=\rE((X-\mu)^2)=\rE(X^2-2\mu X+\mu^2)=\rE(X^2)-2\mu \rE(X)+\mu^2=\rE(X^2)-\mu^2,\]

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 3.2.4

Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio

\[f(x)=\frac{x}{10},\quad\text{kun }x \in \{1,2,3,4\}.\]

Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} \rE(X)&=1\cdot\frac{1}{10}+2\cdot\frac{2}{10}+3\cdot\frac{3}{10}+4\cdot\frac{4}{10}=3,\\ \rE(X^2)&=1\cdot\frac{1}{10}+4\cdot\frac{2}{10}+9\cdot\frac{3}{10}+16\cdot\frac{4}{10}=10, \end{aligned}\end{split}\]

joten \(\Var(X) = 10 - 3^2 = 1\).

Esimerkki 3.2.5

Olkoon \(X\) jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio

\[f(x)=2x, \qquad\text{kun } 0 < x < 1.\]

Aiemmassa esimerkissä 3.1.6 saatiin \(\rE(X)=\frac{2}{3}\), ja tämän lisäksi

\[\rE(X^2)=\int_0^1x^22x\,\rd x=\sij{0}{1}\frac{1}{2}x^4 = \frac{1}{2}.\]

Siis \(\Var(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}\).

Lause 3.2.6

Satunnaismuuttujan \(X\) funktion \(aX + b\) varianssi

\[\Var(aX+b)=a^2\Var(X).\]
Näytä/piilota todistus

Hyödynnetään juuri johdettua varianssin laskukaavaa, jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} \Var(aX + b) &= \rE((aX + b)^2) - \rE(aX + b)^2 = \rE(a^2X^2 + 2abX + b^2) - (a\rE(X) + b)^2 \\ &= a^2\rE(X^2) + 2ab\rE(X) + b^2 - a^2\rE(X)^2 - 2ab\rE(X) - b^2 \\ &= a^2(\rE(X^2) - \rE(X)^2) = a^2\Var(X). \end{aligned}\end{split}\]
Mallinnetaan kaupungin lämpötilaa satunnaismuuttujalla, jonka keskiarvo ja keskihajonta ovat molemmat \(10\) celsiusastetta. Päivää voidaan kutsua “normaaliksi”, mikäli lämpötilat missään vaiheessa päivää eivät poikkea yli keskihajonnan verran keskiarvosta. Mikä on lämpötilan vaihteluväli normaalille päivälle Fahrenheit-asteina ilmaistuna?
Palautusta lähetetään...