$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Normaalijakauman varianssin luottamusväli

Olkoon $X_1,X_2,\ldots,X_n$ otos satunnaismuuttujasta $X\sim\rN(\mu, \sigma^2)$, jonka odotusarvo ja varianssi ovat tuntemattomia. Nyt lauseen 5.3.8 mukaan

$$W = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$$

Olkoon $1-\alpha$ valittu luottamustaso. $\chi^2-$jakauma on epäsymmetrinen, joten todennäköisyyden tasapainottamiseksi tarvitaan kaksi sellaista lukua $w_1$ ja $w_2$, että

$$P(W<w_1)=\frac{\alpha}{2} \qquad\text{ja}\qquad P(W>w_2)=\frac{\alpha}{2}.$$

Tällöin

$$P\left(w_1<\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}<w_2\right)=1-\alpha,$$

tai kun varianssi $\sigma^2$ ratkaistaan epäyhtälöparista, niin

$$P\left(\frac{(n-1)S^2}{w_2} <\sigma^2 < \frac{(n-1)S^2}{w_1} \right) = 1-\alpha.$$

Lause 5.6.1

Olkoon $X_1,X_2,\ldots,X_n$ otos satunnaismuuttujasta $X\sim\rN(\mu, \sigma^2)$. Varianssin $\sigma^2$ $100(1-\alpha)~\%$:n väliestimaattori on

$$\left[\frac{(n-1)S^2}{w_2}, \frac{(n-1)S^2}{w_1}\right],$$

missä luvut $w_1$ ja $w_2$ on valittu siten, että $P(W<w_1)=\frac{\alpha}{2}$ ja $P(W>w_2)=\frac{\alpha}{2}$, kun $W\sim\chi^2(n-1)$. Jos otosvarianssille realisoituu arvo $s^2$, niin varianssin $100(1-\alpha)~\%$:n luottamusväli on

$$\left[\frac{(n-1)s^2}{w_2}, \frac{(n-1)s^2}{w_1}\right].$$

Esimerkki 5.6.2

Kolmenkymmenen lasilevyn otoksessa saatiin paksuuden otosvarianssiksi $0{,}0645$. Paksuuden oletetaan olevan normaalijakautunut. Laske paksuuden varianssille $95~\%$:n luottamusväli.

Piilota/näytä ratkaisu

Luottamustasoa $95~\%$ vastaa $\alpha = 0{,}05$. Luvut $w_1 \approx 16{,}0471$ ja $w_2 \approx 45{,}7223$ varianssin luottamusvälin kaavassa

$$\left[\frac{(n-1)s^2}{w_2}, \frac{(n-1)s^2}{w_1}\right]$$

saadaan taulukosta vapausastelukua $30 - 1 = 29$ vastaavalta riviltä, tai esimerkiksi Matlabilla komennoilla chi2inv(0.05/2, 29) ja chi2inv(1 - 0.05/2, 29) (R-komennoilla qchisq(0.05/2, 29) ja qchisq(1 - 0.05/2, 29)). Nyt sijoittamalla saadaan varianssin $95~\%$:n luottamusväliksi

$$\left[\frac{29 \cdot 0{,}0645}{45{,}7223}, \frac{29 \cdot 0{,}0645}{16{,}0471}\right] \approx [0{,}0409, 0{,}1166].$$

Huomaa, kuinka varianssin luottamusväli ei ole symmetrinen otosvarianssille realisoituneen arvon ympärillä.

Question 1

Kahdenkymmenenviiden mämmirasian otoksessa saatiin rasian painon otosvarianssiksi $2{,}125$. Painon oletetaan olevan normaalijakautunut. Laske painon varianssille $90~\%$:n luottamusväli.

$[0{,}4105, 2{,}6837]$

$[1{,}4005, 3{,}6827]$

$[1{,}4205, 3{,}6847]$

$[1{,}4305, 3{,}7527]$

$[2{,}4405, 3{,}6927]$

Palautusta lähetetään...