\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Odotusarvo, varianssi ja keskihajonta
Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumia voidaan luonnehtia erilaisin tunnusluvuin. Pelkästään jakauman tyypin ja sen tunnuslukujen avulla voidaan tehdä hyödyllisiä johtopäätöksiä tarkasteltavasta satunnaiskokeesta. Tavallisimmat jakauman sijaintia kuvaavat tunnusluvut ovat odotusarvo, varianssi ja keskihajonta. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan, kun taas varianssi ja keskihajonta mittaavat jakauman hajaantumisen suuruutta.
Diskreetit satunnaismuuttujat
Huomautus 3.1.2
Jos otosavaruudessa on ääretön määrä alkioita, on tunnusluku olemassa vain, kun sen määrittelevä sarja suppenee ja summa on termien järjestyksestä riippumaton. Diskreetin muuttujan odotusarvo on mahdollisten arvojen \(x\) todennäköisyyksillään \(P(X=x)=f(x)\) painotettu keskiarvo. Varianssi taas on odotusarvosta laskettujen neliöityjen poikkeamien \((x-\mu)^2\) todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo.
Fysikaalisesta näkökulmasta satunnaismuuttujan odotusarvolla ja varianssilla on seuraavanlaiset tulkinnat. Jos ajatellaan, että yhden yksikön verran “todennäköisyysmassaa” on jaettu otosavaruuden \(\Omega\) pisteisiin \(x\) lukusuoralla pistetodennäköisyyden \(f(x)\) verran, niin odotusarvo ilmoittaa kyseisen lukusuoran massakeskipisteen ja varianssi sen hitausmomentin massakeskipisteakselin suhteen.
Esimerkki 3.1.3
Arpanopan silmäluvun \(X\) (tiheysfunktio \(f(x) = \frac{1}{6}\)) odotusarvo ja varianssi ovat
\[\begin{split}\begin{aligned}
\rE(X) &= \sum_{x\in\Omega}xf(x) = \frac{1}{6}\sum_{i = 1}^{6}i = \frac{1}{6} \cdot \frac{6 \cdot (6 + 1)}{2} = \frac{7}{2}, \\
\Var(X) &= \sum_{x \in \Omega}(x - \mu)^2f(x) = \frac{1}{6}\sum_{i = 1}^{6}\left(i - \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{35}{12}.
\end{aligned}\end{split}\]
Seuraavan lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Lause 3.1.4
Jos \(X \sim \Tasd(1, n)\), niin
\[\rE(X) = \frac{n + 1}{2} \qquad\text{ja}\qquad \Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}.\]
Jatkuvat satunnaismuuttujat
Jälleen määritelmä edellyttää, että asianmukaiset integraalit suppenevat. Muussa tapauksessa tunnuslukuja ei ole olemassa. Huomaa samankaltaisuus diskreetin ja jatkuvan muuttujan tunnuslukujen määritelmissä: jatkuvassa tapauksessa summaus yksinkertaisesti korvataan integroinnilla. Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvoon ja varianssiin liittyy samankaltainen fysikaalinen tulkinta kuin diskreettiinkin tapaukseen.
Esimerkki 3.1.6
Olkoon \(X\) jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio
\[f(x)=2x, \qquad\text{kun } 0 < x < 1.\]
Tällöin
\[\begin{split}\begin{aligned}
\rE(X) &= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,\rd x = \int_{0}^{1}2x^2\,\rd x = \sij{0}{1}\frac{2}{3}x^3 = \frac{2}{3}, \\
\Var(X) &= \int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2f(x)\,\rd x = \int_{0}^{1}2x\left(x - \frac{2}{3}\right)^2\,\rd x \\
&= \int_{0}^{1}\left(2x^3 - \frac{8}{3}x^2 + \frac{8}{9}x\right)\,\rd x = \sij{0}{1}\left(\frac{1}{2}x^4 - \frac{8}{9}x^3 + \frac{4}{9}x^2\right) = \frac{1}{18}.
\end{aligned}\end{split}\]
Seuraavankin tuloksen todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.
Lause 3.1.7
Jos \(X \sim \Tas(a, b)\), niin
\[\rE(X)=\frac{a+b}{2}\qquad\text{ja}\qquad\Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.\]