- MATH.APP.210
- 3. Odotusarvo
- 3.3 Useamman satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Useamman satunnaismuuttujan funktion odotusarvo¶
Tarkastellaan sitten kahden satunnaismuuttujan X ja Y funktiota U = h(X, Y). Näin saatu U on uusi satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo \rE(U) voitaisiin luonnollisesti laskea sen tiheysfunktion ja odotusarvon määritelmän avulla. Kuten yhden satunnaismuuttujan funktion tapauksessa, näin ei kuitenkaan tarvitse menetellä, vaan odotusarvo voidaan laskea suoraan seuraavan lauseen avulla. Todistus on samankaltainen kuin vastaavalla lauseella 3.2.1, joten se sivuutetaan.
Lause 3.3.1
Olkoon satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman otosavaruus \Omega ja tiheysfunktio f(x, y), sekä olkoon satunnaismuuttuja U = h(X, Y).
Jos (X, Y) on diskreetti, niin
\rE(U)=\rE(h(X, Y)) = \sum_{(x,y)\in\Omega}h(x,y)f(x,y).Jos (X, Y) on jatkuva, niin
\rE(U)=\rE(h(X, Y)) = \iint_{\R^2} h(x,y)f(x,y)\,\rd x\rd y.
Esimerkki 3.3.2
Jatketaan aiempaa esimerkkiä 2.4.2, ja lasketaan satunnaismuuttujan U=XY odotusarvo. Satunnaisvektorin (X,Y) tiheysfunktio
joten edellisen lauseen mukaan
Seuraava lause voidaan todistaa harjoitustehtävänä samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapaus lauseessa 3.2.2
Lause 3.3.3
Satunnaismuuttujien X ja Y funktion ag(X, Y) + bh(X, Y) odotusarvo
Asettamalla nyt g(X,Y) = X ja h(X,Y) = Y nähdään välittömästi, että
Tämä voidaan yleistää koskemaan myös mielivaltaista lukumäärää satunnaismuuttujia.
Seuraus 3.3.4
Jos X_1,X_2,\ldots,X_n ovat satunnaismuuttujia, sekä a_1, a_2, \ldots, a_n \in \R, niin odotusarvo
Tätä kutsutaan odotusarvon lineaarisuusominaisuudeksi.
Lisäksi voidaan todistaa seuraava riippumattomien satunnaismuuttujien tuloa koskeva lause.
Lause 3.3.5
Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, niin
Riippumattomien satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman tiheysfunktio f(x, y) on niiden omien tiheysfunktioiden f_1(x) ja f_2(y) tulo. Rajoitutaan todistamaan tapaus, jossa muuttujien X ja Y yhteisjakauma on jatkuva, jolloin
Tämän lauseen kontrapositiona päätellään, että jos \rE(XY) \not= \rE(X)\rE(Y) satunnaismuuttujille X ja Y, niin ne eivät voi olla riippumattomia. Huomaa, että ehdon \rE(XY) = \rE(X)\rE(Y) toteutuminen ei vielä tarkoita, että muuttujat X ja Y ovat riippumattomia!
Esimerkki 3.3.6
Olkoon satunnaisvektorin (X, Y) tiheysfunktio
Laske odotusarvot \rE(X), \rE(Y), \rE(X+Y) ja \rE(XY). Ovatko X ja Y riippumattomia?
Etsitään ensin muuttujien X ja Y marginaalijakaumien tiheysfunktiot f_1(x) ja f_2(y). Ne löydetään yhteisjakauman tiheysfunktion avulla, jolloin
Nyt voidaan laskea odotusarvon määritelmän ja satunnaismuuttujien funktion odotusarvon kaavan avulla, että
Edelleen odotusarvon lineaarisuuden vuoksi
Koska \rE(XY) = \frac{1}{3} \not= \frac{7}{12} \cdot \frac{7}{12} = \rE(X)\rE(Y), niin satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomia. Jos olisi ollut \rE(XY) = \rE(X)\rE(Y), niin viimeiseen kysymykseen ei olisi voitu vastata näiden odotusarvojen perusteella.