\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Useamman satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Tarkastellaan sitten kahden satunnaismuuttujan \(X\) ja \(Y\) funktiota \(U = h(X, Y)\). Näin saatu \(U\) on uusi satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo \(\rE(U)\) voitaisiin luonnollisesti laskea sen tiheysfunktion ja odotusarvon määritelmän avulla. Kuten yhden satunnaismuuttujan funktion tapauksessa, näin ei kuitenkaan tarvitse menetellä, vaan odotusarvo voidaan laskea suoraan seuraavan lauseen avulla. Todistus on samankaltainen kuin vastaavalla lauseella 3.2.1, joten se sivuutetaan.
Lause 3.3.1
Olkoon satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) yhteisjakauman otosavaruus \(\Omega\) ja tiheysfunktio \(f(x, y)\), sekä olkoon satunnaismuuttuja \(U = h(X, Y)\).
Jos \((X, Y)\) on diskreetti, niin
\[\rE(U)=\rE(h(X, Y)) = \sum_{(x,y)\in\Omega}h(x,y)f(x,y).\]
Jos \((X, Y)\) on jatkuva, niin
\[\rE(U)=\rE(h(X, Y)) = \iint_{\R^2} h(x,y)f(x,y)\,\rd x\rd y.\]
Esimerkki 3.3.2
Jatketaan aiempaa esimerkkiä 2.4.2, ja lasketaan satunnaismuuttujan \(U=XY\) odotusarvo. Satunnaisvektorin \((X,Y)\) tiheysfunktio
\[f(x,y)=8xy,\qquad\text{kun }(x,y)\in\Omega=\{(x,y) : 0<x<y, 0<y<1\},\]
joten edellisen lauseen mukaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
\rE(XY) &= \int_0^1\left(\int_0^{y}xy8xy\,\rd x\right)\rd y = \int_0^1\left(\sij{0}{y}\frac{8}{3}x^3y^2\right)\rd y \\
&= \int_0^1\frac{8}{3}y^5\,\rd y = \sij{0}{1}\frac{8}{18}y^6 = \frac{4}{9}.
\end{aligned}\end{split}\]
Seuraava lause voidaan todistaa harjoitustehtävänä samaan tapaan kuin yhden muuttujan tapaus lauseessa 3.2.2
Lause 3.3.3
Satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) funktion \(ag(X, Y) + bh(X, Y)\) odotusarvo
\[\rE(ag(X,Y)+bh(X,Y))=a\rE(g(X,Y))+b\rE(h(X,Y)).\]
Asettamalla nyt \(g(X,Y) = X\) ja \(h(X,Y) = Y\) nähdään välittömästi, että
\[\rE(aX+bY)=a\rE(X)+b\rE(Y).\]
Tämä voidaan yleistää koskemaan myös mielivaltaista lukumäärää satunnaismuuttujia.
Seuraus 3.3.4
Jos \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) ovat satunnaismuuttujia, sekä \(a_1, a_2, \ldots, a_n \in \R\), niin odotusarvo
\[\rE(a_1X_1+a_2X_2+\ldots+a_nX_n)=a_1\rE(X_1)+a_2\rE(X_2)+\ldots+a_n\rE(X_n).\]
Tätä kutsutaan odotusarvon lineaarisuusominaisuudeksi.
Lisäksi voidaan todistaa seuraava riippumattomien satunnaismuuttujien tuloa koskeva lause.
Lause 3.3.5
Jos satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia, niin
\[\rE(XY)=\rE(X)\rE(Y).\]
Piilota/näytä todistus
Riippumattomien satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) yhteisjakauman tiheysfunktio \(f(x, y)\) on niiden omien tiheysfunktioiden \(f_1(x)\) ja \(f_2(y)\) tulo. Rajoitutaan todistamaan tapaus, jossa muuttujien \(X\) ja \(Y\) yhteisjakauma on jatkuva, jolloin
\[\rE(XY) = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty xyf_1(x)f_2(y)\,\rd x\rd y = \left(\int_{-\infty}^\infty xf_1(x)\,\rd x\right)\left(\int_{-\infty}^\infty yf_2(y)\,\rd y\right) = \rE(X)\rE(Y).\qedhere\]
Tämän lauseen kontrapositiona päätellään, että jos \(\rE(XY) \not= \rE(X)\rE(Y)\) satunnaismuuttujille \(X\) ja \(Y\), niin ne eivät voi olla riippumattomia. Huomaa, että ehdon \(\rE(XY) = \rE(X)\rE(Y)\) toteutuminen ei vielä tarkoita, että muuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia!
Esimerkki 3.3.6
Olkoon satunnaisvektorin \((X, Y)\) tiheysfunktio
\[f(x, y) = x + y, \qquad\text{kun } 0 < x < 1, 0 < y < 1\]
Laske odotusarvot \(\rE(X)\), \(\rE(Y)\), \(\rE(X+Y)\) ja \(\rE(XY)\). Ovatko \(X\) ja \(Y\) riippumattomia?
Piilota/näytä ratkaisu
Etsitään ensin muuttujien \(X\) ja \(Y\) marginaalijakaumien tiheysfunktiot \(f_1(x)\) ja \(f_2(y)\). Ne löydetään yhteisjakauman tiheysfunktion avulla, jolloin
\[\begin{split}\begin{aligned}
f_1(x) &= \int_0^1 x+y\,\rd y = \sij{0}{1}\left(xy+\frac{1}{2}y^2\right) = x + \frac{1}{2} \\
f_2(y) &= \int_0^1 x+y\,\rd x = y + \frac{1}{2}.
\end{aligned}\end{split}\]
Nyt voidaan laskea odotusarvon määritelmän ja satunnaismuuttujien funktion odotusarvon kaavan avulla, että
\[\begin{split}\begin{aligned}
\rE(X) &= \int_0^1 x\left(x+\frac{1}{2}\right)\rd x = \sij{0}{1}\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \\
\rE(Y) &= \int_0^1 y\left(y+\frac{1}{2}\right)\rd y = \frac{7}{12} \\
\rE(XY) &= \int_0^1\int_0^1 xy(x + y)\rd x\rd y = \int_0^1 y\sij{0}{1}\left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2y\right)\rd y \\
&= \int_0^1 y\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}y\right)\rd y = \sij{0}{1}\left(\frac{1}{6}y^2 + \frac{1}{6}y^3\right) = \frac{1}{3}.
\end{aligned}\end{split}\]
Edelleen odotusarvon lineaarisuuden vuoksi
\[\rE(X+Y)=\rE(X)+\rE(Y)=\frac{7}{12}+\frac{7}{12}=\frac{7}{6}.\]
Koska \(\rE(XY) = \frac{1}{3} \not= \frac{7}{12} \cdot \frac{7}{12} = \rE(X)\rE(Y)\), niin satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) eivät ole riippumattomia. Jos olisi ollut \(\rE(XY) = \rE(X)\rE(Y)\), niin viimeiseen kysymykseen ei olisi voitu vastata näiden odotusarvojen perusteella.