$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Satunnaismuuttujan funktiot

Täsmällisesti määriteltynä satunnaismuuttuja $X$ on kuvaus eli funktio otosavaruudesta $\Omega$ reaalilukujen joukkoon. Jos muodostetaan satunnaismuuttujan reaaliarvoinen funktio $h$, niin $Y=h(X)$ on yhdistetty funktio, joka on myös satunnaismuuttuja. Tällä uudella satunnaismuuttujalla on oma otosavaruutensa ja tiheysfunktionsa.

Uusia satunnaismuuttujia voidaan luoda satunnaismuuttujan funktioina. Olkoon $X$ diskreettiä tasajakaumaa $\Tasd(1,n)$ noudattava satunnaismuuttuja. Jos diskreetin satunnaismuuttujan $Y$ otosavaruudessa on $n$ alkeistapausta, niin on olemassa funktio $h : h(X)=Y$. Jokainen tällainen $Y$ voidaan siis muodostaa muuttujan $X$ funktiona. Samoin jokainen jatkuva satunnaismuuttuja voidaan esittää jatkuvan satunnaismuuttujan $X\sim\Tas(0,1)$ funktiona.

Katsotaan diskreetin satunnaismuuttujan funktion muodostumista esimerkin avulla.

Esimerkki 2.3.1

Olkoon $X$ diskreetti satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on

$$f(x)=\frac{x^2}{10},\qquad\text{kun } x\in\Omega_X=\{-2,-1,1,2\}.$$

Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja $Y = X^2 + 1 = h(X)$, eli jos satunnaiskokeessa $X$ saa arvon $x$, niin satunnaismuuttuja $Y$ saa tällöin arvon $h(x) = x^2 + 1$. Muuttujan $Y$ mahdolliset arvot, eli sen otosavaruus saadaan kuvajoukkona

$$h(\Omega_X) = \{h(-2), h(-1), h(1), h(2)\} = \{2, 5\} = \Omega_Y.$$

Satunnaismuuttujan $Y$ otosavaruuden arvojen todennäköisyydet saadaan niitä vastaavien muuttujan $X$ arvojen avulla:

$$\begin{split}\begin{aligned} P(Y=2) &= P(\{X = -1\} \cup \{X = 1\}) = P(X=-1)+P(X=1)=\frac{(-1)^2}{10}+\frac{1^2}{10}=\frac{1}{5},\\ P(Y=5) &= P(\{X = -2\} \cup \{X = 2\}) = P(X=-2)+P(X=2)=\frac{(-2)^2}{10}+\frac{2^2}{10}=\frac{4}{5}. \end{aligned}\end{split}$$

Nämä todennäköisyydet voidaan esittää myös funktiona

$$g(y)=\frac{y-1}{5},\qquad\text{kun } y\in\Omega_Y,$$

joka on siis satunnaismuuttujan $Y$ tiheysfunktio.

Yleisessä tapauksessa jos $X$ on diskreetti, myös $Y$ on diskreetti. Satunnaismuuttujan $Y$ tiheysfunktio $g(y)$ määrätään tavallisesti siten, että lasketaan todennäköisyydet muuttujan $Y$ otosavaruuden pisteissä. Jos merkitään arvoon $y \in \Omega_Y$ alkukuvina liittyvien alkioiden $x \in \Omega_X$ joukkoa $h^{-1}(y) = \{x \in \Omega_X : h(x) = y\}$, niin

$$g(y) = P(Y=y)=P(h(X)=y)=\sum_{x \in h^{-1}(y)}P(X=x) = \sum_{x \in h^{-1}(y)} f(x).$$

Siinä erikoistapauksessa, että funktiolla $y=h(x)$ on käänteisfunktio, on voimassa seuraava tulos.

Lause 2.3.2

Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan $X$ tiheysfunktio $f(x)$, ja olkoon satunnaismuuttuja $Y=h(X)$. Jos funktiolla $h$ on käänteisfunktio $h^{-1}$, niin satunnaismuuttujan $Y$ tiheysfunktio on

$$g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right).$$

Piilota/näytä todistus

Funktion $h$ kääntyvyydestä seuraa, että $h(X) = y$ jos ja vain jos $X = h^{-1}(y)$. Tällöin satunnaisfunktion $Y$ tiheysfunktio saa arvon

$$g(y)=P(Y=y)=P(h(X)=y)=P(X=h^{-1}(y))=f\left(h^{-1}(y)\right)$$

mielivaltaisessa otosavaruuden $\Omega_Y$ pisteessä $y$.

Esimerkki 2.3.3

Olkoon satunnaismuuttujan $X$ tiheysfunktio

$$f(x)=\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1},\qquad\text{kun } x \in \Z_+ = \{1,2,3,\ldots\},$$

eli $X \sim \Geom\left(\frac{3}{4}\right)$. Määritä satunnaismuuttujan $Y=X^2$ tiheysfunktio $g(y)$.

Piilota/näytä ratkaisu

Satunnaismuuttujan $Y$ otosavaruus on $\Omega_Y=\{1,4,9,\dots\}$. Jos $x \in \Z_+$, niin $y = x^2$ täsmälleen silloin, kun $x = \sqrt{y}$, joten satunnaismuuttujan $Y$ tiheysfunktio

$$g(y)=f\left(\sqrt{y}\right)=\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{\sqrt{y}-1},\qquad\text{kun }y \in \Omega_Y.$$

Tutkitaan seuraavaksi jatkuvaa satunnaismuuttujaa $X$. Nyt satunnaismuuttuja $Y=h(X)$ voi olla diskreetti, jatkuva tai ei kumpaakaan. Tilanteessa, jossa $Y$ on jatkuva ja funktio $h$ aidosti monotoninen saadaan seuraava tulos

Lause 2.3.4

Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan $X$ tiheysfunktio $f(x)$, ja olkoon satunnaismuuttuja $Y=h(X)$. Jos funktio $h$ on derivoituva ja aidosti monotoninen, niin satunnaismuuttujan $Y$ tiheysfunktio on

$$g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|.$$

Piilota/näytä todistus

Tiheysfunktio $g(y)$ voidaan määrittää siten, että lasketaan ensin satunnaismuuttujan $Y$ kertymäfunktio $G(y)$, joka sitten derivoidaan. Koska $h$ on aidosti monotoninen, sille on olemassa käänteisfunktio $h^{-1}$.

Oletetaan ensin, että funktio $h$ on aidosti kasvava, jolloin myös sen käänteisfunktio on aidosti kasvava. Nyt satunnaismuuttujan $Y$ kertymäfunktio voidaan esittää satunnaismuuttujan $X$ kertymäfunktion $F$ avulla muodossa

$$G(y)=P(Y\leq y)=P(h(X)\leq y)=P(X\leq h^{-1}(y))=F(h^{-1}(y)).$$

Derivoimalla kertymäfunktio saadaan tiheysfunktioksi

$$g(y) = \frac{\rd}{\rd y}G(y) = \frac{\rd}{\rd y}F(h^{-1}(y)) = F'(h^{-1}(y))\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) = f(h^{-1}(y))\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|,$$

koska aidosti kasvavan funktion $h^{-1}$ derivaatta $\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)>0$.

Oletetaan sitten, että funktio $h$ on aidosti vähenevä, jolloin myös sen käänteisfunktio on aidosti vähenevä. Vastaavasti kuin edellä soveltamalla vähenevyyttä nähdään, että

$$G(y)=P(Y\leq y)=P(h(X)\leq y)=P(X\geq h^{-1}(y))=1-F(h^{-1}(y)).$$

Derivoimalla kertymäfunktio saadaan tiheysfunktioksi

$$g(y) = \frac{\rd}{\rd y}G(y) = \frac{\rd}{\rd y}\left(1-F(h^{-1}(y)\right) = -f(h^{-1}(y))\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) = f(h^{-1}(y))\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|,$$

sillä aidosti vähenevän funktion derivaatta $\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)<0$ ja $\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)=-\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|$.

Esimerkki 2.3.5

Satunnaismuuttujan $X$ tiheysfunktio on

$$f(x)=e^{-x},\qquad\text{kun } x\in\Omega_X=[0,\infty).$$

Määritä satunnaismuuttujan $Y=X^2$ tiheysfunktio $g(y)$.

Piilota/näytä ratkaisu

Koska $y = x^2 = h(x)$ määrittelee puoliavoimella välillä $[0, \infty)$ derivoituvan aidosti kasvavan funktion, niin $h^{-1}(y) = \sqrt{y}$ ja tiheysfunktio

$$g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|=e^{-\sqrt{y}}\frac{1}{2\sqrt{y}},\qquad\text{kun } y\in\Omega_Y=(0,\infty).\qedhere$$

Esimerkki 2.3.6

Olkoon $X$ jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio

$$f(x)=\frac{x}{12}, \qquad\text{kun } x\in\Omega_X=[1,5].$$

Mikä on uuden satunnaismuuttujan $Y=2X-3$ tiheysfunktio $g(y)$?

Piilota/näytä ratkaisu

Koska $y=2x-3=h(x)$ määrittelee välillä $[1, 5]$ derivoituvan aidosti kasvavan funktion, niin $h^{-1}(y)=\frac{1}{2}(y+3)$ ja tiheysfunktio

$$g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right| = \frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2}(y+3)\cdot\frac{1}{2}=\frac{y+3}{48}, \qquad\text{kun } y \in \Omega_Y,$$

missä $\Omega_Y = [h(1), h(5)] = [-1, 7]$ muunnosfunktion $h$ kasvavuuden vuoksi.

Palautusta lähetetään...