$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$

# Analyyttiset funktiot ja Cauchy-Riemannin yhtälöt¶

Kompleksimuuttujan funktion derivaatan tutkiminen funktion reaali- ja imaginaariosien avulla johtaa aivan uudenlaiseen yhteyteen sopivien osittaisderivaattojen välille. Kahden reaalimuuttujan funktion $$f(x, y)$$ osittaisderivaattaa ensimmäisen muuttujan suhteen pisteessä $$(x_0, y_0)$$ merkitään

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0),$

ja vastaavasti toiselle muuttujalle. Jatkossa esitysmuoto $$f_x(x_0, y_0)$$ on yleisempi.

Lause 3.3.1 (Cauchy-Riemannin yhtälöt)

Merkitään $$z = x + \im y$$ ja olkoon $$z_0 = x_0 + \im y_0$$ joillekin reaaliluvuille $$x_0$$ ja $$y_0$$. Jos kompleksimuuttujan funktio $$f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)$$, missä $$u$$ ja $$v$$ ovat reaalifunktioita, on derivoituva pisteessä $$z_0$$, niin funktiot $$u$$ ja $$v$$ toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt

$u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0) \qquad\text{ja}\qquad u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0).$
Todistus

Oletetaan, että funktio $$f$$ on derivoituva pisteessä $$z_0$$, eli että raja-arvo

$f'(z_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$

on olemassa. Tällöin se on riippumaton reitistä, joten erityisesti voidaan kulkea reaali- ja imaginaariakseleiden suuntaisesti ja saada samat raja-arvot. Reaaliakselin suunnassa luku $$h = \epsilon$$ jollekin reaaliluvulle $$\epsilon$$, jolloin

\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0 + \epsilon, y_0) - u(x_0, y_0) + \im (v(x_0 + \epsilon, y_0) - v(x_0, y_0))}{\epsilon} \\ &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0 + \epsilon, y_0) - u(x_0, y_0)}{\epsilon} + \im\lim_{\epsilon \to 0}\frac{v(x_0 + \epsilon, y_0) - v(x_0, y_0)}{\epsilon} \\ &= u_x(x_0, y_0) + \im v_x(x_0, y_0). \end{aligned}\end{split}

Vastaavasti imaginaariakselin suunnassa luku $$h = \im\epsilon$$ jollekin reaaliluvulle $$\epsilon$$, jolloin

\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0, y_0 + \epsilon) - u(x_0, y_0) + \im (v(x_0, y_0 + \epsilon) - v(x_0, y_0))}{\im\epsilon} \\ &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{v(x_0, y_0 + \epsilon) - v(x_0, y_0)}{\epsilon} - \im\lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0, y_0 + \epsilon) - u(x_0, y_0)}{\epsilon} \\ &= v_y(x_0, y_0) - \im u_y(x_0, y_0). \end{aligned}\end{split}

Väite seuraa vertailemalla näiden yhtä suurten raja-arvojen reaali- ja imaginaariosia.

Kuten Cauchy-Riemannin yhtälöiden todistuksessa nähtiin, kompleksimuuttujan funktion derivaatta hajoaa sekin reaali- ja imaginaariosiin. CR-yhtälöistä saadaan tälle monta erilaista esitystä.

Seuraus 3.3.2

Merkitään $$z = x + \im y$$ ja olkoon $$z_0 = x_0 + \im y$$ joillekin reaaliluvuille $$x_0$$ ja $$y_0$$. Jos kompleksimuuttujan funktio $$f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)$$, missä $$u$$ ja $$v$$ ovat reaalifunktioita, on derivoituva pisteessä $$z_0$$, niin

\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) & =u_x(x_0,y_0)+\im v_x(x_0,y_0) =v_y(x_0,y_0)-\im u_y(x_0,y_0) \\ & =u_x(x_0,y_0)-\im u_y(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0)+\im v_x(x_0,y_0). \end{aligned}\end{split}

Derivoituvat funktiot siis toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt, ja kääntäen jos funktio ei toteuta CR-yhtälöitä, se ei ole derivoituva.

Esimerkki 3.3.3

Todetaan, että joukon $$\C \setminus \{0\}$$ jokaisessa pisteessä derivoituva funktio $$f(z)=\frac{1}{z^2}$$ toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt niin ikään joukon $$\C \setminus \{0\}$$ jokaisessa pisteessä. Aloitetaan etsimällä reaali- ja imaginaariosat. Jos $$z=x+\im y$$, missä $$x, y \in \R$$, niin

$f(z)=\frac{1}{z^2}=\frac{\overline{z^2}}{z^2\overline{z^2}}=\frac{\overline{z}^2}{|z|^4}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} - \im\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.$

Merkitään tämän esityksen reaaliosaa $$u(x, y)$$ ja imaginaariosaa $$v(x, y)$$, jolloin selvästi

\begin{split}\begin{aligned} u_x(x,y) & =-\frac{2x(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3}=v_y(x,y),\\ u_y(x,y) & =\frac{2y(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}=-v_x(x,y), \end{aligned}\end{split}

eli CR-yhtälöt ovat voimassa aina, kun $$z \not= 0$$. Lisäksi derivaataksi saadaan

$f'(z) = -\frac{2x(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3} - \im\frac{2y(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}.$

Esimerkki 3.3.4

Aiemmin osoitetun nojalla funktio $$f(z)=\overline{z} = x - \im y$$ ei ole derivoituva missään pisteessä. Tämä voitaisiin perustella myös CR-yhtälöiden avulla. Vaikka $$u_y = 0 = -v_x$$, niin

$u_x(x,y)=1\neq -1=v_y(x,y)$

ja täten CR-yhtälöt eivät toteudu.

CR-yhtälöiden toteutuminen ei vielä takaa funktion derivoituvuutta.

Esimerkki 3.3.5

Osoita, että origossa derivoitumaton funktio $$f(x+\im y)=\sqrt{|xy|}$$ toteuttaa origossa CR-yhtälöt.

Ratkaisu

Koska esityksessä $$z = x + \im y$$ luvut $$x$$ ja $$y$$ ovat reaalisia, funktio $$f$$ on reaaliarvoinen. Täten merkitään $$u(x, y) = \sqrt{|xy|}$$ ja $$v(x, y) = 0$$, jolloin $$f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)$$. Nyt luonnollisesti $$v_x(0, 0) = v_y(0, 0) = 0$$ ja

$u_x(0, 0) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{|(0 + h) \cdot 0|} - \sqrt{0 \cdot 0}}{h} = 0 = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{|0 \cdot (0 + h)|} - \sqrt{0 \cdot 0}}{h} = u_y(0, 0),$

joten CR-yhtälöt $$u_x(0, 0) = v_y(0, 0)$$ ja $$u_y(0, 0) = -v_x(0, 0)$$ ovat voimassa.

Esimerkki 3.3.6

Funktio $$f(z)=|z|^2=x^2+y^2$$ toteuttaa CR-yhtälöt

$u_x=2x=0=v_y \qquad\text{ja}\qquad u_y=2y=0=-v_x$

vain, kun $$z=0$$, ja se on derivoituva pisteessä $$0$$ (voidaan osoittaa helposti määritelmän avulla). Se ei kuitenkaan ole analyyttinen pisteessä $$0$$, sillä se ei ole derivoituva missään muualla (eikä siis missään origon ympäristössä).

Jos funktion $$f$$ reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteen $$(x_0, y_0)$$ ympäristössä, niin tällöin Cauchy-Riemannin yhtälöiden toteutuminen takaa funktion $$f$$ derivoituvuuden pisteessä $$z_0 = x_0 + \im y_0$$.

Lause 3.3.7 (Pisteittäinen versio)

Merkitään $$z = x + \im y$$ ja olkoon $$z_0 = x_0 + \im y_0$$ joillekin reaaliluvuille $$x_0$$ ja $$y_0$$. Jos reaalifunktiot $$u(x, y)$$ ja $$v(x, y)$$ toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt ja niiden osittaisderivaatat $$u_x$$, $$u_y$$, $$v_x$$ ja $$v_y$$ ovat jatkuvia pisteen $$(x_0, y_0)$$ ympäristössä, niin funktio $$f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)$$ on derivoituva pisteessä $$z_0$$.

Todistus

Pyritään osoittamaan, että

$\left|\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0)\right| \to 0,$

kun $$h \to 0$$. Olkoon $$h$$ kompleksiluku $$a+\im b$$, jolloin erotusosamäärä

\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} &=\frac{u(x_0+a,y_0+b)+\im v(x_0+a,y_0+b)-(u(x_0,y_0)+\im v(x_0,y_0))}{h}\\ &= \frac{u(x_0+a,y_0+b)-u(x_0,y_0)+\im (v(x_0+a,y_0+b)-v(x_0,y_0))}{h}, \end{aligned}\end{split}

ja täten

\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0) \\ &\qquad\quad = \frac{u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) - bv_x(x_0, y_0))}{h} \\ &\qquad\qquad\quad + \im\frac{v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bu_x(x_0, y_0))}{h}. \end{aligned}\end{split}

Cauchy-Riemannin yhtälöiden $$u_x(x_0, y_0) = v_y(x_0, y_0)$$ ja $$u_y(x_0, y_0) = -v_x(x_0, y_0)$$ nojalla edelleen

\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0) \\ &\qquad\quad= \frac{u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0))}{h} \\ &\qquad\quad\qquad + \im\frac{v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bv_y(x_0, y_0))}{h}. \end{aligned}\end{split}

Oletuksen nojalla reaalifunktiot $$u$$ ja $$v$$ ovat jatkuvasti osittaisderivoituvia pisteen $$(x_0, y_0)$$ ympäristössä, joten niiden voidaan olettaa olevan jatkuvia suljetussa suorakulmiossa

$[x_0 - |a|, x_0 + |a|] \times [y_0 - |b|, y_0 + |b|],$

sekä osittaisderivoituvia avoimessa suorakulmiossa

$(x_0 - |a|, x_0 + |a|) \times (y_0 - |b|, y_0 + |b|).$

Tällöin differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa vakio $$\alpha \in (-|a|, |a|)$$, jolle

\begin{split}\begin{aligned} u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) &= u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b)(x_0 + a - x_0) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) \end{aligned}\end{split}

jos $$a > 0$$, tai

\begin{split}\begin{aligned} u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) &= -u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b)(x_0 - (x_0 + a)) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) \end{aligned}\end{split}

jos $$a < 0$$. Täten on olemassa vakio $$\alpha \in (-|a|, |a|)$$, jolle

$u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) = au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b).$

Vastaavasti päätellään, että on olemassa vakio $$\beta \in (-|b|, |b|)$$, jolle

$u(x_0, y_0 + b) - u(x_0, y_0) = bu_y(x_0, y_0 + \beta).$

Lopulta

\begin{split}\begin{aligned} &u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0)) \\ &= u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) + u(x_0, y_0 + b) - u(x_0, y_0) \\ &\qquad - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0)) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) + bu_y(x_0, y_0 + \beta) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0))| \\ &= a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0)). \end{aligned}\end{split}

Vastaavalla differentiaalilaskennan väliarvolausetta hyödyntävällä päättelyllä osoitetaan, että

\begin{split}\begin{aligned} &v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bv_y(x_0, y_0)) \\ &= a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0)) \end{aligned}\end{split}

joillekin vakioille $$\alpha' \in (-|a|, |a|)$$ ja $$\beta' \in (-|b|, |b|)$$. Kun $$h = a + \im b \to 0$$, myös kaikki vakiot $$\alpha, \alpha', \beta, \beta' \to 0$$, jolloin osittaisderivaattojen $$u_x$$, $$u_y$$, $$v_x$$ ja $$v_y$$ jatkuvuuden nojalla

\begin{split}\begin{aligned} &u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0) \to 0, &&u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0) \to 0, \\ &v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0) \to 0, &&v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0) \to 0. \end{aligned}\end{split}

Samoin käy tietysti niiden itseisarvoille. Nyt voidaan osoittaa väite. Kun $$h \to 0$$,

\begin{split}\begin{aligned} 0 &\leq \left|\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0)\right| \\[1ex] &= \left|\frac{a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right. \\ & \qquad \left. +\,\im\frac{a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\[1ex] &\leq \left|\frac{a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\ & \qquad +\left|\frac{a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\[1ex] &\leq \frac{|a||u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)| + |b||u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ & \qquad + \frac{|a||v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)| + |b||v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\[1ex] &\to \frac{|a| \cdot 0 + |b| \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{|a| \cdot 0 + |b| \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0. \end{aligned}\end{split}

Täten funktiolla $$f$$ on derivaatta $$u_x(x_0, y_0) + \im v_x(x_0, y_0)$$ pisteessä $$z_0$$.

Nyt saadaan yksinkertainen riittävä ehto funktion analyyttisuudelle kompleksitason alueessa.

Seuraus 3.3.8 (Alueiden versio)

Merkitään $$z = x + \im y$$. Jos reaalifunktiot $$u(x, y)$$ ja $$v(x, y)$$ toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt ja niiden osittaisderivaatat $$u_x$$, $$u_y$$, $$v_x$$ ja $$v_y$$ ovat jatkuvia alueessa $$A \subseteq \C$$, niin funktio $$f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)$$ on analyyttinen alueessa $$A$$.

Todistus
Koska osittaisderivaatat ovat jatkuvia alueessa $$A$$, jokaisen sen pisteen $$(x_0, y_0)$$ ympäriltä löytyy ympäristö, jossa ne ovat jatkuvia. Täten lauseen pisteittäisen version nojalla $$f$$ on derivoituva jokaisessa alueen $$A$$ pisteessä. Edelleen, koska $$A$$ on avoin joukko, $$f$$ on analyyttinen jokaisessa alueen $$A$$ pisteessä, ja siten analyyttinen alueessa $$A$$.

Tätä tulosta voidaan hyödyntää nyt eksponenttifunktion analyyttisuuden (derivoituvuuden) osoittamiseen, sekä siihen liittyvän derivointikaavan johtamiseen.

Esimerkki 3.3.9 (Eksponenttifunktion analyyttisyys)

Osoitetaan, että eksponenttifunktio $$\e^z$$ on analyyttinen ja $$\frac{\rd}{\rd z}\e^z = \e^z$$ koko kompleksitasossa. Kirjoitetaan

$f(z)=\e^z=\e^{x+\im y}=\e^x(\cos(y)+\im \sin(y)),$

jolloin sen reaali- ja imaginaariosat $$u(x, y) = \e^x\cos(y)$$ ja $$v(x, y) = \e^x\sin(y)$$ ovat jatkuvasti derivoituvia kahden reaalimuuttujan funktioita. Lisäksi ne toteuttavat CR-yhtälöt kaikkialla, sillä

$u_x=\e^x\cos(y)=v_y \qquad\text{ja}\qquad u_y=-\e^x\sin(y)=-v_x.$

Täten $$\e^z$$ on analyyttinen kaikkialla. Lisäksi havaitaan, että

$f'(z)=u_x(x,y)+\im v_x(u,y)=u(x,y)+\im v(u,y)=\e^z.$

Tämän esimerkin myötä voidaan todeta, että alkeisfunktioista polynomi-, rationaali-, trigonometriset ja hyperboliset funktiot, sekä niiden tyypilliset johdannaiset (kuten $$\tan(z)$$ ja $$\tanh(z)$$) ovat analyyttisia määrittelyjoukoissaan (ne kaikki ovat alueita). Viimeinen tässä esitettävistä klassisista derivaattatuloksista koskee vakiofunktion derivaattaa.

Lause 3.3.10

Jos alueessa $$A$$ analyyttisen funktion $$f$$ derivaatta $$f'(z)=0$$ aina, kun $$z\in A$$, niin $$f(z)$$ on vakio alueessa $$A$$.

Todistus

Kirjoitetaan funktio reaali ja imaginääriosiensa avulla $$f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)$$. Koska $$f'(z)=0$$, niin Cauchy-Riemannin yhtälöiden Seurauksen 3.3.2 nojalla kaikki reaali- ja imaginääriosien $$u$$ ja $$v$$ osittaisderivaatat ovat nollia alueessa $$A$$.

Osoitetaan, että funktio on vakio jokaisella alueen pystysuoralla janalla. Olkoot $$z_1$$ ja $$z_2$$ kaksi alueen $$A$$ pistettä siten, että $$\real{z_1}=x_0=\real{z_2}$$ ja pisteiden välinen jana kuuluu alueeseen $$A$$. Oletetaan lisäksi yleisyyttä rajoittamatta, että $$\imag{z_1}=y_1<y_2=\imag{z_2}$$. Janalla $$z_1\to z_2$$ funktio on muotoa

$f(x_0+\im y)=u(x_0,y)+\im v(x_0,y)=u_0(y)+\im v_0(y),$

missä $$y\in[y_1,y_2]$$. Differentiaalilaskennan väliarvolauseen (Lause 8.1.1) nojalla löytyy sellainen piste $$y_0\in [y_1,y_2]$$, että $$u_0(y_1)-u_0(y_2)=u_0'(y_0)(y_2-y_1)$$. Koska $$u_0'(y_0)=u_y(x_0,y_0)=0$$, niin saatiin, että

$u(x_0,y_1)=u_0(y_1)=u_0(y_2)=u(x_0,y_2).$

Vastaavasti todetaan, että $$v(x_0,y_1)=v(x_0,y_2)$$, jolloin yhdistämällä kyseiset tulokset saadaan, että $$f(z_1)=f(z_2)$$. Siis havaittiin, että millä tahansa imaginääriakselin suuntaisella alueen $$A$$ janalla funktion $$f$$ arvot ovat vakiot. Samalla tavalla todetaan, että myös reaaliakselin suuntaisilla janoilla funktion arvot pysyvät vakioina. Koska funktion kaksi erillistä pistettä voidaan alueessa yhdistää reaali- ja imaginääriakselin suuntaisilla janoilla, niin tästä seuraa, että funktiolla on sama arvo kaikissa alueen $$A$$ pisteissä, eli se on alueessa $$A$$ vakio.

## Cauchy-Riemannin yhtälöiden napakoordinaattiesitys¶

Kompleksimuuttujan funktion $$f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)$$ reaali- ja imaginaariosat ovat pisteen $$z = x + \im y$$ itseisarvon $$r$$ ja (pää)argumentin $$\phi$$ funktiot

$U(r,\phi)=u(r\cos(\phi),r\sin(\phi)) \qquad\text{ja}\qquad V(r,\phi)=v(r\cos(\phi),r\sin(\phi)).$

Reaalifunktion $$U$$ osittaisderivaatat voidaan laskea ketjusäännön avulla muodossa

\begin{split}\begin{aligned} U_r &= u_xx_r + u_yy_r = u_x\cos(\phi)+u_y\sin(\phi),\\ U_{\phi} &= u_xx_{\phi} + u_yy_{\phi} = -u_xr\sin(\phi) + u_y r\cos(\phi), \end{aligned}\end{split}

ja funktion $$V$$ osittaisderivaatat voidaan tietysti laskea samaan tapaan. Jos funktiot $$u$$ ja $$v$$ toteuttavat CR-yhtälöt, niin vertaamalla funktion $$V$$ osittaisderivaattoja funktion $$U$$ osittaisderivaattoihin. voidaan päätellä, että

\begin{split}\begin{aligned} V_r &= v_x\cos(\phi)+v_y\sin(\phi)= -u_y\cos(\phi)+u_x\sin(\phi)=-\frac{1}{r} U_\phi, \\ V_\phi & =v_x\cdot (-r\sin(\phi))+v_y\cdot r\cos(\phi)=u_y\cdot r\sin(\phi)+u_x\cdot r\cos(\phi)=r U_r. \end{aligned}\end{split}

Täten funktiot $$u$$ ja $$v$$ toteuttavat CR-yhtälöt, jos ja vain jos funktiot $$U$$ ja $$V$$ toteuttavat ehdot

$V_\phi=r U_r \qquad\text{ja}\qquad U_\phi=-r V_r,$

eli Cauchy-Riemannin yhtälöt napakoordinaateissa. Tämän ja lauseen 3.3.8 nojalla on todistettu ensimmäinen osa seuraavaa tulosta. Funktion derivointikaavan johtaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 3.3.11

Merkitään $$z = r\e^{\im\phi}$$ ja oletetaan, että $$z \not= 0$$. Jos reaalifunktiot $$U(r, \phi)$$ ja $$V(r, \phi)$$ toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt

$rU_r = V_\phi\qquad \text{ja}\qquad U_\phi = -r V_r$

ja niiden osittaisderivaatat $$U_r$$, $$U_\phi$$, $$V_r$$ ja $$V_\phi$$ ovat jatkuvia alueessa $$A \subseteq \C$$, niin funktio $$f(z) = U(r, \phi) + \im V(r, \phi)$$ on analyyttinen alueessa $$A$$. Jos lisäksi $$z_0 = r_0\e^{\im\phi_0} \in A$$, niin

$f'(z_0) = \e^{-\im\phi_0}(U_r(r_0, \phi_0) + \im V_r(r_0, \phi_0)).$

Esimerkki 3.3.12

Merkitään $$z = r\e^{\im\phi}$$. Tällöin funktiolle $$f(z)=z^2$$ saadaan origon ulkopuolella esitys

$f(r\e^{\im \phi}) = r^2\e^{\im 2\phi} = r^2\cos(2\phi) + \im r^2\sin(2\phi) = U(r, \phi) + \im V(r, \phi),$

missä $$U(r, \phi) = r^2\cos(2\phi)$$ ja $$V(r, \phi) = r^2\sin(2\phi)$$. Nyt osittaisderivaatat ovat

\begin{split}\begin{aligned} U_r &= 2r\cos(2\phi), && V_r = 2r\sin(2\phi), \\ U_{\phi} &= -2r^2\sin(2\phi), && V_{\phi} = 2r^2\cos(2\phi), \end{aligned}\end{split}

joten $$rU_r = 2r^2\cos(2\phi) = V_{\phi}$$ ja $$U_{\phi} = -2r^2\sin(2\phi) = -rV_r$$. Niinpä funktio $$f$$ toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt napakoordinaateissa alueessa $$\C \setminus \{0\}$$. Koska osittaisderivaatat ovat lisäksi jatkuvia, niin $$f$$ on analyyttinen alueessa $$\C \setminus \{0\}$$. Lisäksi huomataan, että

\begin{split}\begin{aligned} f'(z) & =\e^{-\im\phi }(U_r(r,\phi)+\im V_r(r,\phi))=\e^{-\im\phi }(2r\cos(2\phi)+\im 2r\sin(2\phi))\\ & =\e^{-\im \phi}2r\e^{2\phi\im }=2r\e^{\im\phi}=2z. \end{aligned}\end{split}

Koska $$f$$ on derivoituva origossa ja sen ympäristössä, se on tietysi analyyttinen myös origossa, mutta tätä ei voida osoittaa CR-yhtälöiden napakooordinaattimuodon avulla.

Funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivoituvuudesta on syytä huomata seuraavaa:

• Kompleksimuuttujan funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta toimivat samoin kuin reaalifunktion vastaavat käsitteet.
• Raja-arvon reaali- ja imaginaariosat ovat reaali- ja imaginaariosien raja-arvot.
• Raja-arvon on oltava riippumaton reitistä, jota pitkin pistettä lähestytään.
• Kaikki alkeisfunktiot, sekä $$\overline{z}$$, $$|z|$$ ja $$\Arg(z)$$ ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan.
• Kaikki alkeisfunktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukossaan.
• Derivoituvuutta voidaan tutkia Cauchy-Riemannin yhtälöiden avulla.

Funktio on analyyttinen pisteessä $$z_0$$,

• jos ja vain jos se on derivoituva pisteen $$z_0$$ ympäristössä,
• jos ja vain jos sen reaali- ja imaginaariosilla on jatkuvat Cauchy-Riemannin yhtälöt toteuttavat osittaisderivaatat pisteen $$z_0$$ ympäristössä.

Funktio on analyyttinen alueessa, jos se on analyyttinen sen jokaisessa pisteessä. Jos analyyttisen funktion derivaatta on $$0$$ kaikkialla, se on vakio.

Palautusta lähetetään...