\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Analyyttiset funktiot ja Cauchy-Riemannin yhtälöt

Kompleksimuuttujan funktion derivaatan tutkiminen funktion reaali- ja imaginaariosien avulla johtaa aivan uudenlaiseen yhteyteen sopivien osittaisderivaattojen välille. Kahden reaalimuuttujan funktion \(f(x, y)\) osittaisderivaattaa ensimmäisen muuttujan suhteen pisteessä \((x_0, y_0)\) merkitään

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0),\]

ja vastaavasti toiselle muuttujalle. Jatkossa esitysmuoto \(f_x(x_0, y_0)\) on yleisempi.

Lause 3.3.1 (Cauchy-Riemannin yhtälöt)

Merkitään \(z = x + \im y\) ja olkoon \(z_0 = x_0 + \im y_0\) joillekin reaaliluvuille \(x_0\) ja \(y_0\). Jos kompleksimuuttujan funktio \(f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)\), missä \(u\) ja \(v\) ovat reaalifunktioita, on derivoituva pisteessä \(z_0\), niin funktiot \(u\) ja \(v\) toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt

\[u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0) \qquad\text{ja}\qquad u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0).\]

Todistus

Oletetaan, että funktio \(f\) on derivoituva pisteessä \(z_0\), eli että raja-arvo

\[f'(z_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}\]

on olemassa. Tällöin se on riippumaton reitistä, joten erityisesti voidaan kulkea reaali- ja imaginaariakseleiden suuntaisesti ja saada samat raja-arvot. Reaaliakselin suunnassa luku \(h = \epsilon\) jollekin reaaliluvulle \(\epsilon\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0 + \epsilon, y_0) - u(x_0, y_0) + \im (v(x_0 + \epsilon, y_0) - v(x_0, y_0))}{\epsilon} \\ &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0 + \epsilon, y_0) - u(x_0, y_0)}{\epsilon} + \im\lim_{\epsilon \to 0}\frac{v(x_0 + \epsilon, y_0) - v(x_0, y_0)}{\epsilon} \\ &= u_x(x_0, y_0) + \im v_x(x_0, y_0). \end{aligned}\end{split}\]

Vastaavasti imaginaariakselin suunnassa luku \(h = \im\epsilon\) jollekin reaaliluvulle \(\epsilon\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0, y_0 + \epsilon) - u(x_0, y_0) + \im (v(x_0, y_0 + \epsilon) - v(x_0, y_0))}{\im\epsilon} \\ &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{v(x_0, y_0 + \epsilon) - v(x_0, y_0)}{\epsilon} - \im\lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0, y_0 + \epsilon) - u(x_0, y_0)}{\epsilon} \\ &= v_y(x_0, y_0) - \im u_y(x_0, y_0). \end{aligned}\end{split}\]

Väite seuraa vertailemalla näiden yhtä suurten raja-arvojen reaali- ja imaginaariosia.

Kuten Cauchy-Riemannin yhtälöiden todistuksessa nähtiin, kompleksimuuttujan funktion derivaatta hajoaa sekin reaali- ja imaginaariosiin. CR-yhtälöistä saadaan tälle monta erilaista esitystä.

Seuraus 3.3.2

Merkitään \(z = x + \im y\) ja olkoon \(z_0 = x_0 + \im y\) joillekin reaaliluvuille \(x_0\) ja \(y_0\). Jos kompleksimuuttujan funktio \(f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)\), missä \(u\) ja \(v\) ovat reaalifunktioita, on derivoituva pisteessä \(z_0\), niin

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) & =u_x(x_0,y_0)+\im v_x(x_0,y_0) =v_y(x_0,y_0)-\im u_y(x_0,y_0) \\ & =u_x(x_0,y_0)-\im u_y(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0)+\im v_x(x_0,y_0). \end{aligned}\end{split}\]

Derivoituvat funktiot siis toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt, ja kääntäen jos funktio ei toteuta CR-yhtälöitä, se ei ole derivoituva.

Esimerkki 3.3.3

Todetaan, että joukon \(\C \setminus \{0\}\) jokaisessa pisteessä derivoituva funktio \(f(z)=\frac{1}{z^2}\) toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt niin ikään joukon \(\C \setminus \{0\}\) jokaisessa pisteessä. Aloitetaan etsimällä reaali- ja imaginaariosat. Jos \(z=x+\im y\), missä \(x, y \in \R\), niin

\[f(z)=\frac{1}{z^2}=\frac{\overline{z^2}}{z^2\overline{z^2}}=\frac{\overline{z}^2}{|z|^4}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} - \im\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.\]

Merkitään tämän esityksen reaaliosaa \(u(x, y)\) ja imaginaariosaa \(v(x, y)\), jolloin selvästi

\[\begin{split}\begin{aligned} u_x(x,y) & =-\frac{2x(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3}=v_y(x,y),\\ u_y(x,y) & =\frac{2y(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}=-v_x(x,y), \end{aligned}\end{split}\]

eli CR-yhtälöt ovat voimassa aina, kun \(z \not= 0\). Lisäksi derivaataksi saadaan

\[f'(z) = -\frac{2x(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3} - \im\frac{2y(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}.\]

Esimerkki 3.3.4

Aiemmin osoitetun nojalla funktio \(f(z)=\overline{z} = x - \im y\) ei ole derivoituva missään pisteessä. Tämä voitaisiin perustella myös CR-yhtälöiden avulla. Vaikka \(u_y = 0 = -v_x\), niin

\[u_x(x,y)=1\neq -1=v_y(x,y)\]

ja täten CR-yhtälöt eivät toteudu.

CR-yhtälöiden toteutuminen ei vielä takaa funktion derivoituvuutta.

Esimerkki 3.3.5

Osoita, että origossa derivoitumaton funktio \(f(x+\im y)=\sqrt{|xy|}\) toteuttaa origossa CR-yhtälöt.

Ratkaisu

Koska esityksessä \(z = x + \im y\) luvut \(x\) ja \(y\) ovat reaalisia, funktio \(f\) on reaaliarvoinen. Täten merkitään \(u(x, y) = \sqrt{|xy|}\) ja \(v(x, y) = 0\), jolloin \(f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)\). Nyt luonnollisesti \(v_x(0, 0) = v_y(0, 0) = 0\) ja

\[u_x(0, 0) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{|(0 + h) \cdot 0|} - \sqrt{0 \cdot 0}}{h} = 0 = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{|0 \cdot (0 + h)|} - \sqrt{0 \cdot 0}}{h} = u_y(0, 0),\]

joten CR-yhtälöt \(u_x(0, 0) = v_y(0, 0)\) ja \(u_y(0, 0) = -v_x(0, 0)\) ovat voimassa.

Esimerkki 3.3.6

Funktio \(f(z)=|z|^2=x^2+y^2\) toteuttaa CR-yhtälöt

\[u_x=2x=0=v_y \qquad\text{ja}\qquad u_y=2y=0=-v_x\]

vain, kun \(z=0\), ja se on derivoituva pisteessä \(0\) (voidaan osoittaa helposti määritelmän avulla). Se ei kuitenkaan ole analyyttinen pisteessä \(0\), sillä se ei ole derivoituva missään muualla (eikä siis missään origon ympäristössä).

Jos funktion \(f\) reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteen \((x_0, y_0)\) ympäristössä, niin tällöin Cauchy-Riemannin yhtälöiden toteutuminen takaa funktion \(f\) derivoituvuuden pisteessä \(z_0 = x_0 + \im y_0\).

Lause 3.3.7 (Pisteittäinen versio)

Merkitään \(z = x + \im y\) ja olkoon \(z_0 = x_0 + \im y_0\) joillekin reaaliluvuille \(x_0\) ja \(y_0\). Jos reaalifunktiot \(u(x, y)\) ja \(v(x, y)\) toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt ja niiden osittaisderivaatat \(u_x\), \(u_y\), \(v_x\) ja \(v_y\) ovat jatkuvia pisteen \((x_0, y_0)\) ympäristössä, niin funktio \(f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)\) on derivoituva pisteessä \(z_0\).

Todistus

Pyritään osoittamaan, että

\[\left|\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0)\right| \to 0,\]

kun \(h \to 0\). Olkoon \(h\) kompleksiluku \(a+\im b\), jolloin erotusosamäärä

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} &=\frac{u(x_0+a,y_0+b)+\im v(x_0+a,y_0+b)-(u(x_0,y_0)+\im v(x_0,y_0))}{h}\\ &= \frac{u(x_0+a,y_0+b)-u(x_0,y_0)+\im (v(x_0+a,y_0+b)-v(x_0,y_0))}{h}, \end{aligned}\end{split}\]

ja täten

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0) \\ &\qquad\quad = \frac{u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) - bv_x(x_0, y_0))}{h} \\ &\qquad\qquad\quad + \im\frac{v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bu_x(x_0, y_0))}{h}. \end{aligned}\end{split}\]

Cauchy-Riemannin yhtälöiden \(u_x(x_0, y_0) = v_y(x_0, y_0)\) ja \(u_y(x_0, y_0) = -v_x(x_0, y_0)\) nojalla edelleen

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0) \\ &\qquad\quad= \frac{u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0))}{h} \\ &\qquad\quad\qquad + \im\frac{v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bv_y(x_0, y_0))}{h}. \end{aligned}\end{split}\]

Oletuksen nojalla reaalifunktiot \(u\) ja \(v\) ovat jatkuvasti osittaisderivoituvia pisteen \((x_0, y_0)\) ympäristössä, joten niiden voidaan olettaa olevan jatkuvia suljetussa suorakulmiossa

\[[x_0 - |a|, x_0 + |a|] \times [y_0 - |b|, y_0 + |b|],\]

sekä osittaisderivoituvia avoimessa suorakulmiossa

\[(x_0 - |a|, x_0 + |a|) \times (y_0 - |b|, y_0 + |b|).\]

Tällöin differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa vakio \(\alpha \in (-|a|, |a|)\), jolle

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) &= u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b)(x_0 + a - x_0) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) \end{aligned}\end{split}\]

jos \(a > 0\), tai

\[\begin{split}\begin{aligned} u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) &= -u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b)(x_0 - (x_0 + a)) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) \end{aligned}\end{split}\]

jos \(a < 0\). Täten on olemassa vakio \(\alpha \in (-|a|, |a|)\), jolle

\[u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) = au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b).\]

Vastaavasti päätellään, että on olemassa vakio \(\beta \in (-|b|, |b|)\), jolle

\[u(x_0, y_0 + b) - u(x_0, y_0) = bu_y(x_0, y_0 + \beta).\]

Lopulta

\[\begin{split}\begin{aligned} &u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0)) \\ &= u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) + u(x_0, y_0 + b) - u(x_0, y_0) \\ &\qquad - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0)) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) + bu_y(x_0, y_0 + \beta) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0))| \\ &= a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0)). \end{aligned}\end{split}\]

Vastaavalla differentiaalilaskennan väliarvolausetta hyödyntävällä päättelyllä osoitetaan, että

\[\begin{split}\begin{aligned} &v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bv_y(x_0, y_0)) \\ &= a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0)) \end{aligned}\end{split}\]

joillekin vakioille \(\alpha' \in (-|a|, |a|)\) ja \(\beta' \in (-|b|, |b|)\). Kun \(h = a + \im b \to 0\), myös kaikki vakiot \(\alpha, \alpha', \beta, \beta' \to 0\), jolloin osittaisderivaattojen \(u_x\), \(u_y\), \(v_x\) ja \(v_y\) jatkuvuuden nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} &u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0) \to 0, &&u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0) \to 0, \\ &v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0) \to 0, &&v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0) \to 0. \end{aligned}\end{split}\]

Samoin käy tietysti niiden itseisarvoille. Nyt voidaan osoittaa väite. Kun \(h \to 0\),

\[\begin{split}\begin{aligned} 0 &\leq \left|\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0)\right| \\[1ex] &= \left|\frac{a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right. \\ & \qquad \left. +\,\im\frac{a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\[1ex] &\leq \left|\frac{a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\ & \qquad +\left|\frac{a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\[1ex] &\leq \frac{|a||u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)| + |b||u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ & \qquad + \frac{|a||v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)| + |b||v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\[1ex] &\to \frac{|a| \cdot 0 + |b| \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{|a| \cdot 0 + |b| \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0. \end{aligned}\end{split}\]

Täten funktiolla \(f\) on derivaatta \(u_x(x_0, y_0) + \im v_x(x_0, y_0)\) pisteessä \(z_0\).

Nyt saadaan yksinkertainen riittävä ehto funktion analyyttisuudelle kompleksitason alueessa.

Seuraus 3.3.8 (Alueiden versio)

Merkitään \(z = x + \im y\). Jos reaalifunktiot \(u(x, y)\) ja \(v(x, y)\) toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt ja niiden osittaisderivaatat \(u_x\), \(u_y\), \(v_x\) ja \(v_y\) ovat jatkuvia alueessa \(A \subseteq \C\), niin funktio \(f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)\) on analyyttinen alueessa \(A\).

Todistus

Koska osittaisderivaatat ovat jatkuvia alueessa \(A\), jokaisen sen pisteen \((x_0, y_0)\) ympäriltä löytyy ympäristö, jossa ne ovat jatkuvia. Täten lauseen pisteittäisen version nojalla \(f\) on derivoituva jokaisessa alueen \(A\) pisteessä. Edelleen, koska \(A\) on avoin joukko, \(f\) on analyyttinen jokaisessa alueen \(A\) pisteessä, ja siten analyyttinen alueessa \(A\).

Tätä tulosta voidaan hyödyntää nyt eksponenttifunktion analyyttisuuden (derivoituvuuden) osoittamiseen, sekä siihen liittyvän derivointikaavan johtamiseen.

Esimerkki 3.3.9 (Eksponenttifunktion analyyttisyys)

Osoitetaan, että eksponenttifunktio \(\e^z\) on analyyttinen ja \(\frac{\rd}{\rd z}\e^z = \e^z\) koko kompleksitasossa. Kirjoitetaan

\[f(z)=\e^z=\e^{x+\im y}=\e^x(\cos(y)+\im \sin(y)),\]

jolloin sen reaali- ja imaginaariosat \(u(x, y) = \e^x\cos(y)\) ja \(v(x, y) = \e^x\sin(y)\) ovat jatkuvasti derivoituvia kahden reaalimuuttujan funktioita. Lisäksi ne toteuttavat CR-yhtälöt kaikkialla, sillä

\[u_x=\e^x\cos(y)=v_y \qquad\text{ja}\qquad u_y=-\e^x\sin(y)=-v_x.\]

Täten \(\e^z\) on analyyttinen kaikkialla. Lisäksi havaitaan, että

\[f'(z)=u_x(x,y)+\im v_x(u,y)=u(x,y)+\im v(u,y)=\e^z.\]

Tämän esimerkin myötä voidaan todeta, että alkeisfunktioista polynomi-, rationaali-, trigonometriset ja hyperboliset funktiot, sekä niiden tyypilliset johdannaiset (kuten \(\tan(z)\) ja \(\tanh(z)\)) ovat analyyttisia määrittelyjoukoissaan (ne kaikki ovat alueita). Viimeinen tässä esitettävistä klassisista derivaattatuloksista koskee vakiofunktion derivaattaa.

Lause 3.3.10

Jos alueessa \(A\) analyyttisen funktion \(f\) derivaatta \(f'(z)=0\) aina, kun \(z\in A\), niin \(f(z)\) on vakio alueessa \(A\).

Todistus

Kirjoitetaan funktio reaali ja imaginääriosiensa avulla \(f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)\). Koska \(f'(z)=0\), niin Cauchy-Riemannin yhtälöiden Seurauksen 3.3.2 nojalla kaikki reaali- ja imaginääriosien \(u\) ja \(v\) osittaisderivaatat ovat nollia alueessa \(A\).

Osoitetaan, että funktio on vakio jokaisella alueen pystysuoralla janalla. Olkoot \(z_1\) ja \(z_2\) kaksi alueen \(A\) pistettä siten, että \(\real{z_1}=x_0=\real{z_2}\) ja pisteiden välinen jana kuuluu alueeseen \(A\). Oletetaan lisäksi yleisyyttä rajoittamatta, että \(\imag{z_1}=y_1<y_2=\imag{z_2}\). Janalla \(z_1\to z_2\) funktio on muotoa

\[f(x_0+\im y)=u(x_0,y)+\im v(x_0,y)=u_0(y)+\im v_0(y),\]

missä \(y\in[y_1,y_2]\). Differentiaalilaskennan väliarvolauseen (Lause 8.1.1) nojalla löytyy sellainen piste \(y_0\in [y_1,y_2]\), että \(u_0(y_1)-u_0(y_2)=u_0'(y_0)(y_2-y_1)\). Koska \(u_0'(y_0)=u_y(x_0,y_0)=0\), niin saatiin, että

\[u(x_0,y_1)=u_0(y_1)=u_0(y_2)=u(x_0,y_2).\]

Vastaavasti todetaan, että \(v(x_0,y_1)=v(x_0,y_2)\), jolloin yhdistämällä kyseiset tulokset saadaan, että \(f(z_1)=f(z_2)\). Siis havaittiin, että millä tahansa imaginääriakselin suuntaisella alueen \(A\) janalla funktion \(f\) arvot ovat vakiot. Samalla tavalla todetaan, että myös reaaliakselin suuntaisilla janoilla funktion arvot pysyvät vakioina. Koska funktion kaksi erillistä pistettä voidaan alueessa yhdistää reaali- ja imaginääriakselin suuntaisilla janoilla, niin tästä seuraa, että funktiolla on sama arvo kaikissa alueen \(A\) pisteissä, eli se on alueessa \(A\) vakio.

Cauchy-Riemannin yhtälöiden napakoordinaattiesitys

Kompleksimuuttujan funktion \(f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)\) reaali- ja imaginaariosat ovat pisteen \(z = x + \im y\) itseisarvon \(r\) ja (pää)argumentin \(\phi\) funktiot

\[U(r,\phi)=u(r\cos(\phi),r\sin(\phi)) \qquad\text{ja}\qquad V(r,\phi)=v(r\cos(\phi),r\sin(\phi)).\]

Reaalifunktion \(U\) osittaisderivaatat voidaan laskea ketjusäännön avulla muodossa

\[\begin{split}\begin{aligned} U_r &= u_xx_r + u_yy_r = u_x\cos(\phi)+u_y\sin(\phi),\\ U_{\phi} &= u_xx_{\phi} + u_yy_{\phi} = -u_xr\sin(\phi) + u_y r\cos(\phi), \end{aligned}\end{split}\]

ja funktion \(V\) osittaisderivaatat voidaan tietysti laskea samaan tapaan. Jos funktiot \(u\) ja \(v\) toteuttavat CR-yhtälöt, niin vertaamalla funktion \(V\) osittaisderivaattoja funktion \(U\) osittaisderivaattoihin. voidaan päätellä, että

\[\begin{split}\begin{aligned} V_r &= v_x\cos(\phi)+v_y\sin(\phi)= -u_y\cos(\phi)+u_x\sin(\phi)=-\frac{1}{r} U_\phi, \\ V_\phi & =v_x\cdot (-r\sin(\phi))+v_y\cdot r\cos(\phi)=u_y\cdot r\sin(\phi)+u_x\cdot r\cos(\phi)=r U_r. \end{aligned}\end{split}\]

Täten funktiot \(u\) ja \(v\) toteuttavat CR-yhtälöt, jos ja vain jos funktiot \(U\) ja \(V\) toteuttavat ehdot

\[V_\phi=r U_r \qquad\text{ja}\qquad U_\phi=-r V_r,\]

eli Cauchy-Riemannin yhtälöt napakoordinaateissa. Tämän ja lauseen 3.3.8 nojalla on todistettu ensimmäinen osa seuraavaa tulosta. Funktion derivointikaavan johtaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 3.3.11

Merkitään \(z = r\e^{\im\phi}\) ja oletetaan, että \(z \not= 0\). Jos reaalifunktiot \(U(r, \phi)\) ja \(V(r, \phi)\) toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt

\[rU_r = V_\phi\qquad \text{ja}\qquad U_\phi = -r V_r\]

ja niiden osittaisderivaatat \(U_r\), \(U_\phi\), \(V_r\) ja \(V_\phi\) ovat jatkuvia alueessa \(A \subseteq \C\), niin funktio \(f(z) = U(r, \phi) + \im V(r, \phi)\) on analyyttinen alueessa \(A\). Jos lisäksi \(z_0 = r_0\e^{\im\phi_0} \in A\), niin

\[f'(z_0) = \e^{-\im\phi_0}(U_r(r_0, \phi_0) + \im V_r(r_0, \phi_0)).\]

Esimerkki 3.3.12

Merkitään \(z = r\e^{\im\phi}\). Tällöin funktiolle \(f(z)=z^2\) saadaan origon ulkopuolella esitys

\[f(r\e^{\im \phi}) = r^2\e^{\im 2\phi} = r^2\cos(2\phi) + \im r^2\sin(2\phi) = U(r, \phi) + \im V(r, \phi),\]

missä \(U(r, \phi) = r^2\cos(2\phi)\) ja \(V(r, \phi) = r^2\sin(2\phi)\). Nyt osittaisderivaatat ovat

\[\begin{split}\begin{aligned} U_r &= 2r\cos(2\phi), && V_r = 2r\sin(2\phi), \\ U_{\phi} &= -2r^2\sin(2\phi), && V_{\phi} = 2r^2\cos(2\phi), \end{aligned}\end{split}\]

joten \(rU_r = 2r^2\cos(2\phi) = V_{\phi}\) ja \(U_{\phi} = -2r^2\sin(2\phi) = -rV_r\). Niinpä funktio \(f\) toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt napakoordinaateissa alueessa \(\C \setminus \{0\}\). Koska osittaisderivaatat ovat lisäksi jatkuvia, niin \(f\) on analyyttinen alueessa \(\C \setminus \{0\}\). Lisäksi huomataan, että

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(z) & =\e^{-\im\phi }(U_r(r,\phi)+\im V_r(r,\phi))=\e^{-\im\phi }(2r\cos(2\phi)+\im 2r\sin(2\phi))\\ & =\e^{-\im \phi}2r\e^{2\phi\im }=2r\e^{\im\phi}=2z. \end{aligned}\end{split}\]

Koska \(f\) on derivoituva origossa ja sen ympäristössä, se on tietysi analyyttinen myös origossa, mutta tätä ei voida osoittaa CR-yhtälöiden napakooordinaattimuodon avulla.

Tiivistelmä

previous | next

Funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivoituvuudesta on syytä huomata seuraavaa:

• Kompleksimuuttujan funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta toimivat samoin kuin reaalifunktion vastaavat käsitteet.
• Raja-arvon reaali- ja imaginaariosat ovat reaali- ja imaginaariosien raja-arvot.
• Raja-arvon on oltava riippumaton reitistä, jota pitkin pistettä lähestytään.
• Kaikki alkeisfunktiot, sekä \(\overline{z}\), \(|z|\) ja \(\Arg(z)\) ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan.
• Kaikki alkeisfunktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukossaan.
• Derivoituvuutta voidaan tutkia Cauchy-Riemannin yhtälöiden avulla.

Funktio on analyyttinen pisteessä \(z_0\),

• jos ja vain jos se on derivoituva pisteen \(z_0\) ympäristössä,
• jos ja vain jos sen reaali- ja imaginaariosilla on jatkuvat Cauchy-Riemannin yhtälöt toteuttavat osittaisderivaatat pisteen \(z_0\) ympäristössä.

Funktio on analyyttinen alueessa, jos se on analyyttinen sen jokaisessa pisteessä. Jos analyyttisen funktion derivaatta on \(0\) kaikkialla, se on vakio.

Palautusta lähetetään...