$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}$$

Analyyttiset funktiot ja Cauchy-Riemannin yhtälöt

Kompleksimuuttujan funktion derivaatan tutkiminen funktion reaali- ja imaginaariosien avulla johtaa aivan uudenlaiseen yhteyteen sopivien osittaisderivaattojen välille. Kahden reaalimuuttujan funktion $f(x, y)$ osittaisderivaattaa ensimmäisen muuttujan suhteen pisteessä $(x_0, y_0)$ merkitään

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0),$$

ja vastaavasti toiselle muuttujalle. Jatkossa esitysmuoto $f_x(x_0, y_0)$ on yleisempi.

Lause 3.3.1 (Cauchy-Riemannin yhtälöt)

Merkitään $z = x + \im y$ ja olkoon $z_0 = x_0 + \im y_0$ joillekin reaaliluvuille $x_0$ ja $y_0$. Jos kompleksimuuttujan funktio $f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)$, missä $u$ ja $v$ ovat reaalifunktioita, on derivoituva pisteessä $z_0$, niin funktiot $u$ ja $v$ toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt

$$u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0) \qquad\text{ja}\qquad u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0).$$

Todistus

Oletetaan, että funktio $f$ on derivoituva pisteessä $z_0$, eli että raja-arvo

$$f'(z_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$$

on olemassa. Tällöin se on riippumaton reitistä, joten erityisesti voidaan kulkea reaali- ja imaginaariakseleiden suuntaisesti ja saada samat raja-arvot. Reaaliakselin suunnassa luku $h = \epsilon$ jollekin reaaliluvulle $\epsilon$, jolloin

$$\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0 + \epsilon, y_0) - u(x_0, y_0) + \im (v(x_0 + \epsilon, y_0) - v(x_0, y_0))}{\epsilon} \\ &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0 + \epsilon, y_0) - u(x_0, y_0)}{\epsilon} + \im\lim_{\epsilon \to 0}\frac{v(x_0 + \epsilon, y_0) - v(x_0, y_0)}{\epsilon} \\ &= u_x(x_0, y_0) + \im v_x(x_0, y_0). \end{aligned}\end{split}$$

Vastaavasti imaginaariakselin suunnassa luku $h = \im\epsilon$ jollekin reaaliluvulle $\epsilon$, jolloin

$$\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0, y_0 + \epsilon) - u(x_0, y_0) + \im (v(x_0, y_0 + \epsilon) - v(x_0, y_0))}{\im\epsilon} \\ &= \lim_{\epsilon \to 0}\frac{v(x_0, y_0 + \epsilon) - v(x_0, y_0)}{\epsilon} - \im\lim_{\epsilon \to 0}\frac{u(x_0, y_0 + \epsilon) - u(x_0, y_0)}{\epsilon} \\ &= v_y(x_0, y_0) - \im u_y(x_0, y_0). \end{aligned}\end{split}$$

Väite seuraa vertailemalla näiden yhtä suurten raja-arvojen reaali- ja imaginaariosia.

Kuten Cauchy-Riemannin yhtälöiden todistuksessa nähtiin, kompleksimuuttujan funktion derivaatta hajoaa sekin reaali- ja imaginaariosiin. CR-yhtälöistä saadaan tälle monta erilaista esitystä.

Seuraus 3.3.2

Merkitään $z = x + \im y$ ja olkoon $z_0 = x_0 + \im y$ joillekin reaaliluvuille $x_0$ ja $y_0$. Jos kompleksimuuttujan funktio $f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)$, missä $u$ ja $v$ ovat reaalifunktioita, on derivoituva pisteessä $z_0$, niin

$$\begin{split}\begin{aligned} f'(z_0) & =u_x(x_0,y_0)+\im v_x(x_0,y_0) =v_y(x_0,y_0)-\im u_y(x_0,y_0) \\ & =u_x(x_0,y_0)-\im u_y(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0)+\im v_x(x_0,y_0). \end{aligned}\end{split}$$

Derivoituvat funktiot siis toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt, ja kääntäen jos funktio ei toteuta CR-yhtälöitä, se ei ole derivoituva.

Esimerkki 3.3.3

Todetaan, että joukon $\C \setminus \{0\}$ jokaisessa pisteessä derivoituva funktio $f(z)=\frac{1}{z^2}$ toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt niin ikään joukon $\C \setminus \{0\}$ jokaisessa pisteessä. Aloitetaan etsimällä reaali- ja imaginaariosat. Jos $z=x+\im y$, missä $x, y \in \R$, niin

$$f(z)=\frac{1}{z^2}=\frac{\overline{z^2}}{z^2\overline{z^2}}=\frac{\overline{z}^2}{|z|^4}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} - \im\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.$$

Merkitään tämän esityksen reaaliosaa $u(x, y)$ ja imaginaariosaa $v(x, y)$, jolloin selvästi

$$\begin{split}\begin{aligned} u_x(x,y) & =-\frac{2x(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3}=v_y(x,y),\\ u_y(x,y) & =\frac{2y(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}=-v_x(x,y), \end{aligned}\end{split}$$

eli CR-yhtälöt ovat voimassa aina, kun $z \not= 0$. Lisäksi derivaataksi saadaan

$$f'(z) = -\frac{2x(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3} - \im\frac{2y(3x^2 - y^2)}{(x^2+y^2)^3}.$$

Esimerkki 3.3.4

Aiemmin osoitetun nojalla funktio $f(z)=\overline{z} = x - \im y$ ei ole derivoituva missään pisteessä. Tämä voitaisiin perustella myös CR-yhtälöiden avulla. Vaikka $u_y = 0 = -v_x$, niin

$$u_x(x,y)=1\neq -1=v_y(x,y)$$

ja täten CR-yhtälöt eivät toteudu.

CR-yhtälöiden toteutuminen ei vielä takaa funktion derivoituvuutta.

Esimerkki 3.3.5

Osoita, että origossa derivoitumaton funktio $f(x+\im y)=\sqrt{|xy|}$ toteuttaa origossa CR-yhtälöt.

Ratkaisu

Koska esityksessä $z = x + \im y$ luvut $x$ ja $y$ ovat reaalisia, funktio $f$ on reaaliarvoinen. Täten merkitään $u(x, y) = \sqrt{|xy|}$ ja $v(x, y) = 0$, jolloin $f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)$. Nyt luonnollisesti $v_x(0, 0) = v_y(0, 0) = 0$ ja

$$u_x(0, 0) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{|(0 + h) \cdot 0|} - \sqrt{0 \cdot 0}}{h} = 0 = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{|0 \cdot (0 + h)|} - \sqrt{0 \cdot 0}}{h} = u_y(0, 0),$$

joten CR-yhtälöt $u_x(0, 0) = v_y(0, 0)$ ja $u_y(0, 0) = -v_x(0, 0)$ ovat voimassa.

Esimerkki 3.3.6

Funktio $f(z)=|z|^2=x^2+y^2$ toteuttaa CR-yhtälöt

$$u_x=2x=0=v_y \qquad\text{ja}\qquad u_y=2y=0=-v_x$$

vain, kun $z=0$, ja se on derivoituva pisteessä $0$ (voidaan osoittaa helposti määritelmän avulla). Se ei kuitenkaan ole analyyttinen pisteessä $0$, sillä se ei ole derivoituva missään muualla (eikä siis missään origon ympäristössä).

Jos funktion $f$ reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteen $(x_0, y_0)$ ympäristössä, niin tällöin Cauchy-Riemannin yhtälöiden toteutuminen takaa funktion $f$ derivoituvuuden pisteessä $z_0 = x_0 + \im y_0$.

Lause 3.3.7 (Pisteittäinen versio)

Merkitään $z = x + \im y$ ja olkoon $z_0 = x_0 + \im y_0$ joillekin reaaliluvuille $x_0$ ja $y_0$. Jos reaalifunktiot $u(x, y)$ ja $v(x, y)$ toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt ja niiden osittaisderivaatat $u_x$, $u_y$, $v_x$ ja $v_y$ ovat jatkuvia pisteen $(x_0, y_0)$ ympäristössä, niin funktio $f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)$ on derivoituva pisteessä $z_0$.

Todistus

Pyritään osoittamaan, että

$$\left|\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0)\right| \to 0,$$

kun $h \to 0$. Olkoon $h$ kompleksiluku $a+\im b$, jolloin erotusosamäärä

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} &=\frac{u(x_0+a,y_0+b)+\im v(x_0+a,y_0+b)-(u(x_0,y_0)+\im v(x_0,y_0))}{h}\\ &= \frac{u(x_0+a,y_0+b)-u(x_0,y_0)+\im (v(x_0+a,y_0+b)-v(x_0,y_0))}{h}, \end{aligned}\end{split}$$

ja täten

$$\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0) \\ &\qquad\quad = \frac{u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) - bv_x(x_0, y_0))}{h} \\ &\qquad\qquad\quad + \im\frac{v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bu_x(x_0, y_0))}{h}. \end{aligned}\end{split}$$

Cauchy-Riemannin yhtälöiden $u_x(x_0, y_0) = v_y(x_0, y_0)$ ja $u_y(x_0, y_0) = -v_x(x_0, y_0)$ nojalla edelleen

$$\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0) \\ &\qquad\quad= \frac{u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0))}{h} \\ &\qquad\quad\qquad + \im\frac{v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bv_y(x_0, y_0))}{h}. \end{aligned}\end{split}$$

Oletuksen nojalla reaalifunktiot $u$ ja $v$ ovat jatkuvasti osittaisderivoituvia pisteen $(x_0, y_0)$ ympäristössä, joten niiden voidaan olettaa olevan jatkuvia suljetussa suorakulmiossa

$$[x_0 - |a|, x_0 + |a|] \times [y_0 - |b|, y_0 + |b|],$$

sekä osittaisderivoituvia avoimessa suorakulmiossa

$$(x_0 - |a|, x_0 + |a|) \times (y_0 - |b|, y_0 + |b|).$$

Tällöin differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla on olemassa vakio $\alpha \in (-|a|, |a|)$, jolle

$$\begin{split}\begin{aligned} u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) &= u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b)(x_0 + a - x_0) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) \end{aligned}\end{split}$$

jos $a > 0$, tai

$$\begin{split}\begin{aligned} u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) &= -u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b)(x_0 - (x_0 + a)) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) \end{aligned}\end{split}$$

jos $a < 0$. Täten on olemassa vakio $\alpha \in (-|a|, |a|)$, jolle

$$u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) = au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b).$$

Vastaavasti päätellään, että on olemassa vakio $\beta \in (-|b|, |b|)$, jolle

$$u(x_0, y_0 + b) - u(x_0, y_0) = bu_y(x_0, y_0 + \beta).$$

Lopulta

$$\begin{split}\begin{aligned} &u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0)) \\ &= u(x_0 + a, y_0 + b) - u(x_0, y_0 + b) + u(x_0, y_0 + b) - u(x_0, y_0) \\ &\qquad - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0)) \\ &= au_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) + bu_y(x_0, y_0 + \beta) - (au_x(x_0, y_0) + bu_y(x_0, y_0))| \\ &= a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0)). \end{aligned}\end{split}$$

Vastaavalla differentiaalilaskennan väliarvolausetta hyödyntävällä päättelyllä osoitetaan, että

$$\begin{split}\begin{aligned} &v(x_0 + a, y_0 + b) - v(x_0, y_0) - (av_x(x_0, y_0) + bv_y(x_0, y_0)) \\ &= a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0)) \end{aligned}\end{split}$$

joillekin vakioille $\alpha' \in (-|a|, |a|)$ ja $\beta' \in (-|b|, |b|)$. Kun $h = a + \im b \to 0$, myös kaikki vakiot $\alpha, \alpha', \beta, \beta' \to 0$, jolloin osittaisderivaattojen $u_x$, $u_y$, $v_x$ ja $v_y$ jatkuvuuden nojalla

$$\begin{split}\begin{aligned} &u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0) \to 0, &&u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0) \to 0, \\ &v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0) \to 0, &&v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0) \to 0. \end{aligned}\end{split}$$

Samoin käy tietysti niiden itseisarvoille. Nyt voidaan osoittaa väite. Kun $h \to 0$,

$$\begin{split}\begin{aligned} 0 &\leq \left|\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - u_x(x_0, y_0) - \im v_x(x_0, y_0)\right| \\[1ex] &= \left|\frac{a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right. \\ & \qquad \left. +\,\im\frac{a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\[1ex] &\leq \left|\frac{a(u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)) + b(u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\ & \qquad +\left|\frac{a(v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)) + b(v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0))}{a + \im b}\right| \\[1ex] &\leq \frac{|a||u_x(x_0 + \alpha, y_0 + b) - u_x(x_0, y_0)| + |b||u_y(x_0, y_0 + \beta) - u_y(x_0, y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\ & \qquad + \frac{|a||v_x(x_0 + \alpha', y_0 + b) - v_x(x_0, y_0)| + |b||v_y(x_0, y_0 + \beta') - v_y(x_0, y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\[1ex] &\to \frac{|a| \cdot 0 + |b| \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{|a| \cdot 0 + |b| \cdot 0}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0. \end{aligned}\end{split}$$

Täten funktiolla $f$ on derivaatta $u_x(x_0, y_0) + \im v_x(x_0, y_0)$ pisteessä $z_0$.

Nyt saadaan yksinkertainen riittävä ehto funktion analyyttisuudelle kompleksitason alueessa.

Seuraus 3.3.8 (Alueiden versio)

Merkitään $z = x + \im y$. Jos reaalifunktiot $u(x, y)$ ja $v(x, y)$ toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt ja niiden osittaisderivaatat $u_x$, $u_y$, $v_x$ ja $v_y$ ovat jatkuvia alueessa $A \subseteq \C$, niin funktio $f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)$ on analyyttinen alueessa $A$.

Todistus

Koska osittaisderivaatat ovat jatkuvia alueessa $A$, jokaisen sen pisteen $(x_0, y_0)$ ympäriltä löytyy ympäristö, jossa ne ovat jatkuvia. Täten lauseen pisteittäisen version nojalla $f$ on derivoituva jokaisessa alueen $A$ pisteessä. Edelleen, koska $A$ on avoin joukko, $f$ on analyyttinen jokaisessa alueen $A$ pisteessä, ja siten analyyttinen alueessa $A$.

Tätä tulosta voidaan hyödyntää nyt eksponenttifunktion analyyttisuuden (derivoituvuuden) osoittamiseen, sekä siihen liittyvän derivointikaavan johtamiseen.

Esimerkki 3.3.9 (Eksponenttifunktion analyyttisyys)

Osoitetaan, että eksponenttifunktio $\e^z$ on analyyttinen ja $\frac{\rd}{\rd z}\e^z = \e^z$ koko kompleksitasossa. Kirjoitetaan

$$f(z)=\e^z=\e^{x+\im y}=\e^x(\cos(y)+\im \sin(y)),$$

jolloin sen reaali- ja imaginaariosat $u(x, y) = \e^x\cos(y)$ ja $v(x, y) = \e^x\sin(y)$ ovat jatkuvasti derivoituvia kahden reaalimuuttujan funktioita. Lisäksi ne toteuttavat CR-yhtälöt kaikkialla, sillä

$$u_x=\e^x\cos(y)=v_y \qquad\text{ja}\qquad u_y=-\e^x\sin(y)=-v_x.$$

Täten $\e^z$ on analyyttinen kaikkialla. Lisäksi havaitaan, että

$$f'(z)=u_x(x,y)+\im v_x(u,y)=u(x,y)+\im v(u,y)=\e^z.$$

Tämän esimerkin myötä voidaan todeta, että alkeisfunktioista polynomi-, rationaali-, trigonometriset ja hyperboliset funktiot, sekä niiden tyypilliset johdannaiset (kuten $\tan(z)$ ja $\tanh(z)$) ovat analyyttisia määrittelyjoukoissaan (ne kaikki ovat alueita). Viimeinen tässä esitettävistä klassisista derivaattatuloksista koskee vakiofunktion derivaattaa.

Lause 3.3.10

Jos alueessa $A$ analyyttisen funktion $f$ derivaatta $f'(z)=0$ aina, kun $z\in A$, niin $f(z)$ on vakio alueessa $A$.

Todistus

Kirjoitetaan funktio reaali ja imaginääriosiensa avulla $f(z)=u(x,y)+\im v(x,y)$. Koska $f'(z)=0$, niin Cauchy-Riemannin yhtälöiden Seurauksen 3.3.2 nojalla kaikki reaali- ja imaginääriosien $u$ ja $v$ osittaisderivaatat ovat nollia alueessa $A$.

Osoitetaan, että funktio on vakio jokaisella alueen pystysuoralla janalla. Olkoot $z_1$ ja $z_2$ kaksi alueen $A$ pistettä siten, että $\real{z_1}=x_0=\real{z_2}$ ja pisteiden välinen jana kuuluu alueeseen $A$. Oletetaan lisäksi yleisyyttä rajoittamatta, että $\imag{z_1}=y_1<y_2=\imag{z_2}$. Janalla $z_1\to z_2$ funktio on muotoa

$$f(x_0+\im y)=u(x_0,y)+\im v(x_0,y)=u_0(y)+\im v_0(y),$$

missä $y\in[y_1,y_2]$. Differentiaalilaskennan väliarvolauseen (Lause 8.1.1) nojalla löytyy sellainen piste $y_0\in [y_1,y_2]$, että $u_0(y_1)-u_0(y_2)=u_0'(y_0)(y_2-y_1)$. Koska $u_0'(y_0)=u_y(x_0,y_0)=0$, niin saatiin, että

$$u(x_0,y_1)=u_0(y_1)=u_0(y_2)=u(x_0,y_2).$$

Vastaavasti todetaan, että $v(x_0,y_1)=v(x_0,y_2)$, jolloin yhdistämällä kyseiset tulokset saadaan, että $f(z_1)=f(z_2)$. Siis havaittiin, että millä tahansa imaginääriakselin suuntaisella alueen $A$ janalla funktion $f$ arvot ovat vakiot. Samalla tavalla todetaan, että myös reaaliakselin suuntaisilla janoilla funktion arvot pysyvät vakioina. Koska funktion kaksi erillistä pistettä voidaan alueessa yhdistää reaali- ja imaginääriakselin suuntaisilla janoilla, niin tästä seuraa, että funktiolla on sama arvo kaikissa alueen $A$ pisteissä, eli se on alueessa $A$ vakio.

Cauchy-Riemannin yhtälöiden napakoordinaattiesitys

Kompleksimuuttujan funktion $f(z) = u(x, y) + \im v(x, y)$ reaali- ja imaginaariosat ovat pisteen $z = x + \im y$ itseisarvon $r$ ja (pää)argumentin $\phi$ funktiot

$$U(r,\phi)=u(r\cos(\phi),r\sin(\phi)) \qquad\text{ja}\qquad V(r,\phi)=v(r\cos(\phi),r\sin(\phi)).$$

Reaalifunktion $U$ osittaisderivaatat voidaan laskea ketjusäännön avulla muodossa

$$\begin{split}\begin{aligned} U_r &= u_xx_r + u_yy_r = u_x\cos(\phi)+u_y\sin(\phi),\\ U_{\phi} &= u_xx_{\phi} + u_yy_{\phi} = -u_xr\sin(\phi) + u_y r\cos(\phi), \end{aligned}\end{split}$$

ja funktion $V$ osittaisderivaatat voidaan tietysti laskea samaan tapaan. Jos funktiot $u$ ja $v$ toteuttavat CR-yhtälöt, niin vertaamalla funktion $V$ osittaisderivaattoja funktion $U$ osittaisderivaattoihin. voidaan päätellä, että

$$\begin{split}\begin{aligned} V_r &= v_x\cos(\phi)+v_y\sin(\phi)= -u_y\cos(\phi)+u_x\sin(\phi)=-\frac{1}{r} U_\phi, \\ V_\phi & =v_x\cdot (-r\sin(\phi))+v_y\cdot r\cos(\phi)=u_y\cdot r\sin(\phi)+u_x\cdot r\cos(\phi)=r U_r. \end{aligned}\end{split}$$

Täten funktiot $u$ ja $v$ toteuttavat CR-yhtälöt, jos ja vain jos funktiot $U$ ja $V$ toteuttavat ehdot

$$V_\phi=r U_r \qquad\text{ja}\qquad U_\phi=-r V_r,$$

eli Cauchy-Riemannin yhtälöt napakoordinaateissa. Tämän ja lauseen 3.3.8 nojalla on todistettu ensimmäinen osa seuraavaa tulosta. Funktion derivointikaavan johtaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 3.3.11

Merkitään $z = r\e^{\im\phi}$ ja oletetaan, että $z \not= 0$. Jos reaalifunktiot $U(r, \phi)$ ja $V(r, \phi)$ toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt

$$rU_r = V_\phi\qquad \text{ja}\qquad U_\phi = -r V_r$$

ja niiden osittaisderivaatat $U_r$, $U_\phi$, $V_r$ ja $V_\phi$ ovat jatkuvia alueessa $A \subseteq \C$, niin funktio $f(z) = U(r, \phi) + \im V(r, \phi)$ on analyyttinen alueessa $A$. Jos lisäksi $z_0 = r_0\e^{\im\phi_0} \in A$, niin

$$f'(z_0) = \e^{-\im\phi_0}(U_r(r_0, \phi_0) + \im V_r(r_0, \phi_0)).$$

Esimerkki 3.3.12

Merkitään $z = r\e^{\im\phi}$. Tällöin funktiolle $f(z)=z^2$ saadaan origon ulkopuolella esitys

$$f(r\e^{\im \phi}) = r^2\e^{\im 2\phi} = r^2\cos(2\phi) + \im r^2\sin(2\phi) = U(r, \phi) + \im V(r, \phi),$$

missä $U(r, \phi) = r^2\cos(2\phi)$ ja $V(r, \phi) = r^2\sin(2\phi)$. Nyt osittaisderivaatat ovat

$$\begin{split}\begin{aligned} U_r &= 2r\cos(2\phi), && V_r = 2r\sin(2\phi), \\ U_{\phi} &= -2r^2\sin(2\phi), && V_{\phi} = 2r^2\cos(2\phi), \end{aligned}\end{split}$$

joten $rU_r = 2r^2\cos(2\phi) = V_{\phi}$ ja $U_{\phi} = -2r^2\sin(2\phi) = -rV_r$. Niinpä funktio $f$ toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt napakoordinaateissa alueessa $\C \setminus \{0\}$. Koska osittaisderivaatat ovat lisäksi jatkuvia, niin $f$ on analyyttinen alueessa $\C \setminus \{0\}$. Lisäksi huomataan, että

$$\begin{split}\begin{aligned} f'(z) & =\e^{-\im\phi }(U_r(r,\phi)+\im V_r(r,\phi))=\e^{-\im\phi }(2r\cos(2\phi)+\im 2r\sin(2\phi))\\ & =\e^{-\im \phi}2r\e^{2\phi\im }=2r\e^{\im\phi}=2z. \end{aligned}\end{split}$$

Koska $f$ on derivoituva origossa ja sen ympäristössä, se on tietysi analyyttinen myös origossa, mutta tätä ei voida osoittaa CR-yhtälöiden napakooordinaattimuodon avulla.

Tiivistelmä

previous | next

Funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivoituvuudesta on syytä huomata seuraavaa:

• Kompleksimuuttujan funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta toimivat samoin kuin reaalifunktion vastaavat käsitteet.
• Raja-arvon reaali- ja imaginaariosat ovat reaali- ja imaginaariosien raja-arvot.
• Raja-arvon on oltava riippumaton reitistä, jota pitkin pistettä lähestytään.
• Kaikki alkeisfunktiot, sekä $\overline{z}$, $|z|$ ja $\Arg(z)$ ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan.
• Kaikki alkeisfunktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukossaan.
• Derivoituvuutta voidaan tutkia Cauchy-Riemannin yhtälöiden avulla.

Funktio on analyyttinen pisteessä $z_0$,

• jos ja vain jos se on derivoituva pisteen $z_0$ ympäristössä,
• jos ja vain jos sen reaali- ja imaginaariosilla on jatkuvat Cauchy-Riemannin yhtälöt toteuttavat osittaisderivaatat pisteen $z_0$ ympäristössä.

Funktio on analyyttinen alueessa, jos se on analyyttinen sen jokaisessa pisteessä. Jos analyyttisen funktion derivaatta on $0$ kaikkialla, se on vakio.

Palautusta lähetetään...