\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Raja-arvo¶

Tässä luvussa esitellään kompleksianalyysin tärkeimmät käsitteet, eli funktion raja-arvo, derivaatta ja analyyttisuus. Erityisesti käsitellään analyyttisuuden käsitettä ja sen tutkimista funktion reaali- ja imaginaariosien avulla, mikä johtaa Cauchy-Riemannin yhtälöihin.

Raja-arvon \(\epsilon\)-\(\delta\)-määritelmä ja derivaatan määritelmä ovat formaalisti tuttuja jo reaalianalyysistä, mutta kompleksitason kaksiulotteisuus mutkistaa hiukan tilannetta. Muutama tulos todistetaan esimerkin vuoksi määritelmän avulla, mutta monet tutut tulokset esitellään todistamatta. Raja-arvon määritelmän \(\epsilon\)-\(\delta\)-tekniikkaan liittyvät ajatukset toistuvat lähes sellaisenaan monissa eri yhteyksissä, kuten funktionaalianalyysissa, joten niitä harjoitellaan tässäkin yhteydessä. Tähän ei kuitenkaan käytetä tarpeettoman paljon aikaa, sillä materiaalin jatkon kannalta määritelmän täsmällinen hallitseminen ei ole tärkeää. Oleellista tulevien esimerkkien ymmärtämisen kannalta on pystyä hahmottamaan alkeisfunktioiden ja niiden yhdistelmien analyyttisuus, joka pystytään perustelemaan yleensä käyttäen hyväksi muutaman alkeisfunktion ja derivaatan ominaisuuksia.

Kompleksimuuttujan funktion derivoituvuus ja analyyttisuus palautuuvat sen reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaattojen ominaisuuksiin. Erityisesti huomataan, että derivoituvan funktion reaali- ja imaginaariosat toteuttavat parin yhtälöitä, joita kutsutaan Cauchy-Riemannin yhtälöiksi. Tämä teoreettinen tulos esitetään ja todistetaan, sekä muotoillaan vielä polaarimuodon avulla. Cauchy-Riemannin yhtälöt tarjoavat näppärän tavan todistaa eksponenttifunktion analyyttisyys ja siten myös siitä johdettujen trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden analyyttisuus.

Ryhdytään sitten rakentamaan kompleksimuuttujan funktioiden analyysin teoriaa. Kuten reaalianalyysissakin, lähtökohtana on funktion raja-arvon käsite.

Määritelmä 3.1.1

Oletetaan, että \(A\subseteq \C\), että \(L \in \C\) ja että \(z_0\in\C\) on joukon \(A\) kasautumispiste. Funktiolla \(f : A \to \C\) on raja-arvo \(L\) pisteessä \(z_0\), jos jokaista \(\epsilon > 0\) kohti löytyy sellainen \(\delta > 0\), että

\[\text{jos} \qquad z \in A \text{ ja } 0 < |z - z_0| < \delta, \qquad\text{niin}\qquad |f(z) - L| < \epsilon.\]

Tällöin merkitään

\[\lim_{z\to z_0}f(z)=L \qquad \text{tai}\qquad f(z)\to L, \text{ kun } z\to z_0.\]

Oletetaan, että funktiolla \(f\) on raja-arvo \(L\) pisteessä \(z_0\). Tällöin raja-arvon määritelmä takaa käytännössä sen, että \(f(z)\) saadaan mielivaltaisen lähelle (mielivaltaiselle etäisyydelle \(\epsilon\)) arvosta \(L\), kun \(z\) valitaan tarpeeksi läheltä (korkeintaan etäisyydeltä \(\delta\)) pisteestä \(z_0\). Funktion arvo siis lähestyy arvoa \(L\), kun lähestytään pistettä \(z_0\) mitä tahansa reittiä pitkin.

Käytännössä raja-arvon laskemiseen ei käytetä määritelmää, mutta monien tulosten todistamisessa siihen on palattava. Näitä tuloksia ovat muun muassa laskusäännöt, joilla raja-arvoa myöhemmin lasketaan. Hiukan epätäsmällinen, mutta kätevä tapa tulkita raja-arvon määritelmää on, että

\[|f(z) - L| \to 0, \qquad \text{kun} \qquad z \in A \text{ ja } |z - z_0| \to 0.\]

Esimerkki 3.1.2

Osoitetaan edellistä luonnehdintaa käyttäen, että \(\lim\limits_{z\to 1}\frac{\im \overline{z}}{2}=\frac{\im}{2}\). Tätä varten riittää todeta, että

\[\left|\frac{\im \overline{z}}{2}-\frac{\im }{2}\right|=\left|\frac{\im (\overline{z}-1)}{2}\right|=\frac{|\overline{z}-1|}{2}=\frac{|z-1|}{2}\to 0,\]

kun \(|z - 1| \to 0\).

Jos funktion \(f\) itseisarvo \(|f(z)|\) kasvaa rajatta, kun \(z \to z_0\), niin raja-arvoa ei ole olemassa. Raja-arvoa ei myöskään ole olemassa, jos pistettä \(z_0\) voidaan lähestyä eri käyriä ja pitkin ja saavuttaa erilaiset raja-arvot. Tämän väitteen perustelemista varten palautetaan kompleksimuuttujan funktion raja-arvo sen reaali- ja imaginaariosien raja-arvoihin.

Lause 3.1.3

Oletetaan, että \(A \subseteq \C\), että \(L \in \C\) ja että kompleksiluku \(z_0\) on joukon \(A\) kasautumispiste. Funktiolla \(f : A \to \C\), jolle \(f(z) = u(z) + \im v(z)\) reaaliarvoisille kompleksimuuttujan funktioille \(u, v : A \to \C\), on raja-arvo \(L = L_1 + \im L_2\) pisteessä \(z_0\), jos ja vain jos

\[\lim_{z \to z_0}u(z) = L_1 \qquad\text{ja}\qquad \lim_{z \to z_0}v(z) = L_2.\]

Todistus

Olkoon \(\epsilon > 0\). Oletetaan ensin, että \(\lim\limits_{z \to z_0}f(z) = L\) ja että valittua lukua \(\epsilon\) vastaa raja-arvon määrittelevän ehdon toteuttava \(\delta > 0\). Osoitetaan funktion \(f\) reaaliosaa koskeva osa väitteestä, ja käytetään todistuksessa samaa lukua \(\delta\) kuin edellä. Nyt funktio \(u\) on kompleksimuuttujan funktio, joka saa vain reaalisia arvoja, joten jos \(0 < |z - z_0| < \delta\), niin lemman 1.1.12 kohdan 8 nojalla

\[|u(z) - L_1| = \left|\real(f(z)) - \real(L)\right| = \left|\real(f(z) - L)\right| \leq |f(z) - L| < \epsilon.\]

Niinpä \(\lim\limits_{z \to z_0}u(z) = L_1\). Imaginaariosaa koskeva väite todistetaan vastaavasti.

Oletetaan sitten, että \(\lim\limits_{z \to z_0}u(z) = L_1\) ja \(\lim\limits_{z \to z_0}v(z) = L_2\), ja että valittua lukua \(\epsilon\) vastaa raja-arvot määrittelevät ehdot toteuttavat luvut \(\delta_1 > 0\) ja \(\delta_2 > 0\). Valitaan \(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\} > 0\). Jos nyt \(0 < |z - z_0| < \delta\), missä \(\delta \leq \delta_1\) ja \(\delta \leq \delta_2\), niin kolmioepäyhtälön (lemma 1.1.12) nojalla

\[|f(z) - L| = |u(z) - L_1 + \im(v(z) - L_2)| \leq |u(z) - L_1| + |v(z) - L_2| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon,\]

eli \(\lim\limits_{z \to z_0}f(z) = L\).

Usean muuttujan reaalifunktioiden analyysissa funktion raja-arvo pisteessä ei saa riippua reitistä, jota pitkin pistettä lähestytään, ja sama vaatimus asetetaan myös kompleksimuuttujan funktion raja-arvolle. Molemmissa teorioissa väite seuraa funktion raja-arvon yksikäsitteisyydestä. Jos nimittäin \(L\) ja \(L'\) ovat kompleksimuuttujan funktion \(f\) raja-arvoja pisteessä \(z_0\), niin

\[0 \leq |L - L'| = |f(z) - L' - (f(z) - L)| \leq |f(z) - L'| + |f(z) - L|,\]

missä \(z\) on valittu pisteen \(z_0\) ympäristöstä. Tässä \(|f(z) - L|, |f(z) - L'| \to 0\), kun \(z \to z_0\), joten samalla myös \(|L - L'| \to 0\). Tästä seuraa, että välttämättä \(L = L'\). Jos nyt eri reittejä pitkin kulkien laskettaisiin erisuuret raja-arvot samalle funktiolle, niin syntyisi ristiriita raja-arvon yksikäsitteisyyden kanssa.

Esimerkki 3.1.4

Osoitetaan, että funktiolla \(f(z)=\overline{z}/z\) ei ole raja-arvoa pisteessä \(0\). Lähestyttäessä nollaa pitkin reaaliakselia (eli kun \(z=x+\im \cdot 0\)) nähdään, että

\[f(x+\im 0)=\frac{x-\im 0}{x+\im 0}=1\to 1,\qquad\text{kun } z=x\to 0.\]

Toisaalta lähestyttäessä pitkin imaginaariakselia (eli kun \(z=0+\im y\)) päätellään, että

\[f(0+\im y)=\frac{0-\im y}{0+\im y}=-1\to -1,\qquad\text{kun } z=y\to 0.\]

Koska raja-arvo ei saa riippua reitistä, sitä ei nyt ole olemassa.

Tilanteita, joissa kompleksimuuttujan funktiolla ei ole raja-arvoa voidaan yrittää visualisoida seuraavasti. Voidaan osoittaa, että funktiolla

\[f(x + \im y) = \frac{\sqrt{|xy|}}{x + \im y}\]

ei ole raja-arvoa origossa. Tähän ei kuitenkaan riitä vain tarkastelu reaali- ja imaginaariakseleilla, sillä kummallakin funktion arvo on origoa lukuun ottamatta \(0\). Niinpä

\[\lim_{x \to 0}f(x + \im \cdot 0) = 0 = \lim_{y \to 0}f(0 + \im y).\]

Seuraava yksinkertainen tapaus on rajoittua suoralle \(x = y\). Kuvaan 3.1.1 on piirretty funktion \(f\) reaaliosan

\[u(x, y) = \real(f(x + \im y)) = \frac{x\sqrt{|xy|}}{x^2 + y^2}\]

kuvaaja, sekä merkitty viivalla funktion arvoa suoralla \(x = y\). Tästä nähdään heti, että origon kohdalla funktiolla

\[u(x, x) = \frac{x\sqrt{|x^2|}}{x^2 + x^2} = \frac{|x|}{x}\]

on hyppäysepäjatkuvuus, eikä sillä siten ole raja-arvoa origossa. Koska funktion \(f\) reaaliosalla ei ole raja-arvoa origossa, funktiolla \(f\) ei voi olla raja-arvoa origossa.

Kuva 3.1.1. Funktion \(f(x + \im y) = \sqrt{|xy|}/(x + \im y)\) reaaliosan \(u(x, y)\) kuvaaja osoittaa, että funktiolla \(f\) ei ole raja-arvoa origossa.

Reaali- ja kompleksimuuttujien raja-arvon määritelmät käytännössä vastaavat toisiaan. Siksi niille saadaan myös toisiaan vastaavat raja-arvojen laskusäännöt. Todistukset sivuutetaan, sillä ne ovat täsmälleen samat kuin reaalisille funktioille, ja jo aiemmissa lauseissa on käsitelty raja-arvon määritelmän soveltamista.

Lause 3.1.5 (Raja-arvon laskusäännöt)

Jos funktioiden \(f\) ja \(g\) raja-arvot \(\lim\limits_{z\to z_0} f(z)\) ja \(\lim\limits_{z\to z_0} g(z)\) ovat olemassa, niin

\(\lim\limits_{z\to z_0} f(z)\) on yksikäsitteinen,
\(\lim\limits_{z\to z_0} (\beta f(z))=\beta \lim\limits_{z\to z_0} f(z)\) aina, kun \(\beta\in\C\),
\(\lim\limits_{z\to z_0} (f(z)+g(z))=\lim\limits_{z\to z_0} f(z)+\lim\limits_{z\to z_0} g(z)\),
\(\lim\limits_{z\to z_0} f(z)g(z)=\lim\limits_{z\to z_0} f(z) \lim\limits_{z\to z_0} g(z)\)
\(\displaystyle\lim\limits_{z\to z_0} \frac{f(z)}{g(z)}=\frac{\lim\limits_{z\to z_0} f(z)}{\lim\limits_{z\to z_0} g(z)}\), jos \(\lim\limits_{z\to z_0} g(z)\neq 0\).

Raja-arvon avulla määritellään kompleksimuuttujan funktion jatkuvuus. Käytettävässä määritelmässä vaaditaan funktion arvon ja raja-arvon samuus pisteessä \(z_0\), jolloin raja-arvon määritelmän näkökulmasta pisteen \(z_0\) onkin oltava funktion määrittelyjoukossa.

Määritelmä 3.1.6

Oletetaan, että \(A\subseteq \C\). Funktio \(f:A\to\C\) on jatkuva pisteessä \(z_0\in A\), jos

\[\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0).\]

Funktio \(f\) on jatkuva joukossa \(A\), jos se on jatkuva joukon \(A\) jokaisessa pisteessä.

Kaikki tutut alkeisfunktiot, sekä monet kompleksiluvuille määritellyt operaatiot ovat jatkuvia.

Esimerkki 3.1.7

Osoitetaan, että \(f(z)=\overline{z}\) on jatkuva koko kompleksitasossa. Oletetaan, että \(z_0 \in \C\), jolloin

\[|f(z)-f(z_0)|=|\overline{z}-\overline{z}_0|=|\overline{z-z_0}|=|z-z_0|\to 0,\]

kun \(|z-z_0|\to 0\). Täten \(\lim\limits_{z \to z_0}\overline{z} = \overline{z}_0\).

Kuten raja-arvon tapauksessa, myös kompleksimuuttujan funktion jatkuvuus palautuu sen reaali- ja imaginaariosiin.

Lause 3.1.8

Oletetaan, että \(A \subseteq \C\). Funktio \(f : A \to \C\), jolle \(f(z) = u(z) + \im v(z)\) reaaliarvoisille kompleksimuuttujan funktioille \(u, v : A \to \C\), on jatkuva pisteessä \(z_0 \in A\), jos ja vain jos \(u\) ja \(v\) ovat jatkuvia pisteessä \(z_0\).

Todistus

Lauseen 3.1.3 nojalla \(\lim\limits_{z \to z_0}f(z) = \lim\limits_{z \to z_0}u(z) + \im\lim\limits_{z \to z_0}v(z)\), joten

\[\lim_{z \to z_0}f(z) - f(z_0) = \lim_{z \to z_0}u(z) - u(z_0) + \im\left(\lim_{z \to z_0}v(z) - v(z_0)\right).\]

Näin päätellään, että \(\lim\limits_{z \to z_0}f(z) - f(z_0) = 0\) täsmälleen silloin, kun

\[\lim_{z \to z_0}u(z) - u(z_0) = 0 \qquad\text{ja}\qquad \lim_{z \to z_0}v(z) - v(z_0) = 0.\]

Väite seuraa tästä.

Vaikka edellinen lause muotoiltiin siten, että funktion \(f\) reaali- ja imaginaariosat \(u\) ja \(v\) ovat kompleksimuuttujan funktioita, ne voidaan aivan yhtä hyvin tulkita kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisina funktioina. Kompleksimuuttujan funktion \(f\) jatkuvuuden tarkastelu palautuu siis kahden reaalifunktion jatkuvuuden tarkasteluun, mitä on havainnollistettu kahdessa seuraavassa esimerkissä. Reaalifunktioiden jatkuvuustulokset oletetaan tunnetuiksi.

Esimerkki 3.1.9

Eksponenttifunktio

\[\e^z=\e^{x+\im y}=\e^x(\cos(y)+\im\sin(y))=\e^x\cos(y)+\im\e^x\sin(y),\]

on jatkuva kaikkialla koska reaalifunktiot \(u(x,y)=\e^x\cos(y)\) ja \(v(x,y)=\e^x\sin(y)\) ovat jatkuvien reaalifunktioiden tuloina jatkuvia kaikkialla.

Esimerkki 3.1.10

Itseisarvofunktio

\[f(z)=|z|=\sqrt{x^2+y^2}+\im \cdot 0\]

on jatkuva, koska \(\sqrt{x^2+y^2}\) ja vakiofunktio \(0\) ovat jatkuvia reaalifunktioita.

Lause 3.1.11

Pääargumenttifunktio \(\mathrm{Arg}(z)\) on jatkuva alueessa \(\C\setminus(-\infty,0]\).

Todistus

Valitaan mielivaltainen \(\epsilon>0\) ja \(z_0 \in \C \setminus (-\infty, 0]\). Ehtoa \(\left|\Arg(z) - \Arg(z_0)\right| < \epsilon\), missä \(z \in \C \setminus (-\infty, 0]\), edustaa nyt kompleksitason sektori, jossa luvun \(z\) pääargumentti on korkeintaan etäisyydellä \(\epsilon\) luvun \(z_0\) pääargumentista (kuva 3.1.2).

Kuva 3.1.2. Kulman \(2\epsilon\) määräämässä sektorissa pisteen \(z_0\) ympärille mahtuu \(|z_0|\sin(\epsilon)\)-säteinen kiekko.

Jotta tämä sektori sisältyy alueeseen \(\C \setminus (-\infty, 0]\), sen kulman puolikkaan \(\epsilon\) on oltava pienempi kuin \(\pi\). Rajoitutaan siis yleisyyttä loukkaamatta tapaukseen, jossa \(0 < \epsilon < \pi\).

Jos sektorin sisään piirretään ympyrä pisteen \(z_0\) ympärille, sen säde voi olla korkeintaan \(\delta_0 = |z_0|\sin(\epsilon)\) (kuva 3.1.2). Koska \(0 < \epsilon < \pi\), tämä suure on positiivinen. Valitaan jokin positiivinen \(\delta < |z_0|\sin(\epsilon)\), jolloin selvästi \(B_{\delta}'(z_0)\) sisältyy sektoriin, eli

\[\text{jos}\qquad 0 < |z - z_0| < \delta, \qquad\text{niin}\qquad \left|\Arg(z) - \Arg(z_0)\right| < \epsilon.\]

Täten \(\lim\limits_{z \to z_0}\Arg(z) = \Arg(z_0)\).

Koska reaali- kompleksimuuttujien funktioiden raja-arvoilla on toisiaan vastaavat ominaisuudet, niin niiden jatkuvuutta koskevat tulokset vastaavat myös toisiaan.

Lause 3.1.12

Olkoot \(f\) ja \(g\) kompleksimuuttujan funktioita, sekä \(z_0\) ja \(\beta\) kompleksilukuja. Olkoon lisäksi \(f\) jatkuva pisteessä \(z_0\).

Jos \(g\) on jatkuva pisteessä \(z_0\), niin \(\beta f\), \(f+g\) ja \(fg\) ovat jatkuvia pisteessä \(z_0\).
Jos \(g\) on jatkuva pisteessä \(z_0\) ja \(g(z_0)\neq 0\), niin \(\frac{f}{g}\) on jatkuva pisteessä \(z_0\).
Jos \(g\) on jatkuva pisteessä \(f(z_0)\), niin yhdistetty funktio \((g\circ f)(z)=g(f(z))\) on jatkuva pisteessä \(z_0\).

Tästä lauseesta seuraa käytännössä kaikkien alkeisfunktioiden, sekä niistä laskutoimituksin ja yhdistetyn funktion avulla muodostettujen funktioiden jatkuvuus määrittelyjoukossaan.

Esimerkki 3.1.13

Eksponenttifunktion jatkuvuudesta ja siitä että \(\e^{-z}=\frac{1}{\e^z}\) on määritelty kaikkialla (\(\e^z\neq 0\)) seuraa, että \(\sin(z)\) on jatkuva kaikkialla. Koska kompleksitason identtinen kuvaus \(\id_{\C}(z) = z\) on jatkuva, myös \(\im z\) on jatkuva funktio. Edelleen, koska \(\e^z\) on jatkuva, myös \(\e^{-z}\) on jatkuva, ja täten myös \(\e^{\im z}\) ja \(-\e^{-\im z}\) ovat jatkuvia funktioita. Niinpä

\[\sin(z) = \frac{1}{2\im}(\e^{\im z} + (-\e^{-\im z}))\]

on jatkuvien funktioiden vakiolla skaalattuna summana jatkuva. Vastaavasti voidaan osoittaa, että \(\cos(z)\), \(\sinh(z)\) ja \(\cosh(z)\) ovat jatkuvia kaikkialla.

Esimerkki 3.1.14

Koska funktiota \(f(z)=\overline{z}\) on jatkuva, minkä tahansa jatkuvan funktion \(g\) liittofunktio \(\overline{g}(z) = \overline{g(z)}\) on jatkuva. Samoin lausekkein \(z\overline{z} = |z|^2\) ja \(\overline{z}/z\) määritellyt funktiot ovat jatkuvia silloin, kun ne on määritelty.